3.1.2 椭圆的简单几何性质-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆的简单几何性质知识储备椭圆的标准方程和几何性质标准方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.[熟记常用结论]1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝|PF1||PF2|·sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.4．AB为椭圆(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－. 典例剖析考点一椭圆的简单几何性质[考法全析]考法(一)求椭圆的离心率的值(范围)[例1](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A. B.C. D.(2)(2019·福州模拟)过椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.[解析](1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝(2)由题设知，直线l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.[答案](1)D(2)A考法(二)与椭圆有关的范围(最值)问题[例2]P为椭圆上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是()A．[0,15] B.[5,15]C．[5,21] D．(5,21)[解析]由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为＝()·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以的取值范围是[5,21]．[答案]C[规律探求]看个性考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系[口诀记忆]离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻踪迹，等式藏在图形中．找共性1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形能力检测姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、单选题1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，，故选C项.2．已知正方体，P是平面上的动点，M是线段的中点，满足PM与所成的角为，则动点P的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】在正方体中，连接相交于点所以，又平面，所以又，所以平面以为原点，分别为轴和轴，然后过点作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系设，所以由PM与所成的角为所以化简可得，即所以点的轨迹为椭圆，故选：B3．已知椭圆的离心率为，若面积为的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的离心率为，解得，所以椭圆的方程为，不失一般性，设，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积，所以，即或，可得，所以，故选：D.4．定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）A．圆 B．直线 C．双曲线 D．椭圆【答案】D【解析】如图所示：因为，所以，因此点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆．故选：D．5．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为，因为，所以，即；所以，由于，所以；因为线段PF与圆相切于点Q，所以，所以，所以；因为，所以；根据椭圆定义可得，所以有，整理得，所以离心率.故选：B.6．已知椭圆的两焦点，和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，不妨设在第一象限，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，则，解得，在中由余弦定理得，∴，，，，∴，∴，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．故选：A．7．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足，则C的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据对称性知在轴上，，故，，解得，，故椭圆方程为：.故选：D.8．已知抛物线与椭圆交于点，若抛物线C的焦点F也是椭圆E的焦点，则实数a的值为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意：对于抛物线，有，所以抛物线C的焦点为，所以对于椭圆E，有，解得或，又因，即，所以，所以.故选：A9．若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（）A．，方程C表示椭圆 B．，方程C表示双曲线C．，方程C表示椭圆 D．，方程C表示抛物线【答案】B【解析】∵当时，方程C：即表示单位圆使方程不表示椭圆．故A项不正确；∵当a时，方程C：表示焦点在轴上的双曲线方程表示双曲线，得B项正确；，方程不表示椭圆，得C项不正确

∵不论取何值，方程C：中没有一次项方程不能表示抛物线，故D项不正确，综上所述，可得B为正确答案，故选B10．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到其另一个焦点的距离等于（）A．2 B．3 C．1 D．【答案】C【解析】根据题意，椭圆的标准方程为：，则其焦点在轴上，且，若椭圆上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离为，故选：C．11．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对【答案】C【解析】由题意可得：，解得：，当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，本题选择C选项.12．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，则椭圆的离心率为，故选B.二、填空题13．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________．【答案】【解析】设），则，由，则，再由B，M，Q三点共线，则，故，故即，又因为，，即，所以，故椭圆C的离心率是．故答案为：14．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_____【答案】【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而，于是，即，⇒，又，故，故答案为.15．已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点，且的最大值为，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】因为是椭圆上的动点，当的最大值为，由椭圆性质得此时是短轴顶点且，所以，解得故答案为：16．已知直线为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且与椭圆相交于两点，点为椭圆上异于的任意一点，若直线和的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】由题知：设，，.则，.因为，所以.又因为，在椭圆上，所以，，两式相减得，即.所以，即.则.故答案为：三、解答题17．已知椭圆的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形面积S的最大值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由已知得，，（2）因为过的直线与交于两点（不在轴上），所以设，设则，，由对勾函数的单调性易得当即18．已知F1，F2是椭圆C