全国初中物理自主招生专题大揭秘专题03速度合成及小船过河（教师版）

页一．选择题（共7小题）1．如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为时，细杆与水平面间夹角θ为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】A、B两点沿杆方向的分速度大小相等，根据题意求出细杆与水平面间的夹角。【解答】解：A、B两点速度如图所示A、B两点沿细杆方向的分速度相等，则vAsinθ＝vBcosθ由题意可知：vA：vB＝：1，解得：θ＝60°，故A正确，BCD错误。故选：A。2．《综合国力“十三五”国家科技创新规划》提出，要加强“深空”“深海”“深地”“深蓝”领域的战略高科技部署，其中“深海”领域主要是深海探测和研究。如图所示是上海交通大学某科研小组在某次深海探测结束后，利用牵引汽车将某探测器M从海面起吊上岸的过程简化图，不计滑轮摩擦和绳子质量，牵引汽车以速度v向左匀速运动，当牵引汽车端绳子与水平方向的夹角为θ时，探测器M的速率为（）A．v B．vsinθ C．vcosθ D．【分析】将汽车的运动分解为沿绳和垂直于绳的方向，沿绳方向的分速度的大小等于探测器M的速度大小。【解答】解：将汽车的速度按沿绳方向和垂直绳子方向进行分解，如图汽车沿绳子方向的速度的大小等于M的速度的大小，根据平行四边形定则得，v∥＝vcosθ探测器M上升的速率即为v∥，故C正确，ABD错误。故选：C。3．如图所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变．船行驶时相对水的速度大小始终不变．一开始船从岸边A点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿AB航线到达对岸B点耗时t1，AB与河岸的夹角为60°．调整船速方向，从B点出发沿直线BA返航回到A点耗时t2．则t1：t2为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据船头指向始终与河岸垂直，结合运动学公式，可列出河宽与船速的关系式，当路线与河岸垂直时，可求出船过河的合速度，从而列出河宽与船速度的关系，进而即可求解．【解答】解：设水流速度为v，去程时船头朝向始终与河岸垂直，且航线AB与岸边夹角为60°，那么小船在静水中的速度大小为vc＝v，当船头指向始终与河岸垂直，则有：t1＝＝；当回程时行驶路线与去程时航线相同，则有：t2＝；设合速度与船在静水中速度方向夹角为α，依据正弦定理，则有：＝，解得：α＝30°因此回头时的船的合速度为：v合＝＝v那么合速度在垂直河岸方向的分速度为v′＝v；则t2＝＝因此去程与回程所用时间之比为1：2，故B正确，ACD错误；故选：B。4．如图所示，河宽L＝200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u＝0.2x（x是离最近的河岸的距离）。一小船在静水中的速度v＝10m/s，小船自A处出发，渡河时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B处，设船的运动方向与水流方向的夹角为θ，下列说法正确的是（）A．小船渡河时间大于20s B．A、B两点间距离为200m C．到达河中央前小船加速度大小为0.2m/s2 D．在河中央时，θ最小，且tanθ＝0.5【分析】将船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间；水流速与到河岸的最短距离x成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于处的水流速；根据平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，从而求出AB的直线距离，最后根据水流速度与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小值。【解答】解：A、渡河的时间t＝＝s＝20s，故A错误；B、水流速的平均速度等于处的水流速，则有：u＝0.2×＝0.2×m/s＝10m/s所以沿河岸方向上的位移为：x＝ut＝200m所以AB的直线距离为：s＝m＝200m，故B错误；C、船在静水中速度是不变，而水流速度满足u＝0.2x（x是离河岸的距离），因x＝vt，那么u＝2t，因此到达河中央前小船加速度大小为2m/s2，故C错误；D、当到达中央时，水流速度为u＝0.2x＝0.2×100m/s＝20m/s，由三角知识，则有tanθ＝＝0.5，故D正确。故选：D。5．宽为d的河中水速为v1，船速为v2，船过河的最短路程为s，则下列关系正确的是（）A．若v1＞v2，s＝（）d B．若v1＞v2，s＝（）d C．若v1＜v2，s＝（）d D．若v1＜v2，s＝d【分析】（1）当船速大于水速时，船头斜向上，船的合速度与河岸垂直，船可以垂直渡河，船渡河的最短路程等于河宽；（2）船速小于水速时，船不可能垂直渡河，船的最短路程大于河宽，当船速垂直于船的合速度时，船渡河的路程最短。【解答】解：C、D、当船速大于水速即：v1＜v2时，船可以垂直渡河，船的最小路程等于河宽，s＝d，如图（1）所示；故C错误，D错误；A、B、当船速小于水速即：v1＞v2时，船不能垂直渡河，当船的合速度与船速垂直时，船的路程最短，如图（2）所示：cosθ＝＝，船的最小路程s＝＝d．故A正确，B错误；故选：A。6．如图所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为v。出发时两船相距d，行驶过程中两船船身均与岸边成45°，乙船最终到达正对岸的A点，两船始终没有相遇。则下列说法正确的是（）A．v：u＝1： B．两船行驶的路程相等 C．两船同时到达河对岸 D．L＞【分析】根据乙船恰好能直达正对岸的A点，知v＝u．小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，可以比较出两船到达对岸的时间以及甲船沿河岸方向上的路程，再根据渡河时间，从而确定不相撞时，两船间距。【解答】解：AC、乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解，知vcos45°＝u，解得：v＝u。将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，两船在垂直河岸方向的速度大小相等，则有甲乙两船到达对岸的时间相等，故A错误，C正确。B、由图可知，甲船在水中行驶的路程大于乙船的路程，故B错误；D、由题意可知，两船在垂直河岸方向的位移总是相等，且两船在水流方向的速度大小相等，因不相遇，则d不得小于2L，即L小于或等于，故D错误。故选：C。7．如图所示，小车在岸上拉船，轻绳一端固定在竖直墙壁上，另一端跨过车后的定滑轮与船相连，拉车的两段轻绳水平。小车以速度v匀速向左运动，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度大小为（）A．2vcosθ B． C． D．【分析】先判断出小船的运动为合运动，将其运动沿着绳子和垂直绳子分解，由于动滑轮的存在，绳子方向的速度为小车速度的2倍。【解答】解：将船的速度分解为沿绳子方向的速度v1和垂直绳子方向的速度，可知v1＝v船cosθ结合动滑轮的特点，对小车而言v1＝2v则故ABD错误，C正确；故选：C。二．多选题（共3小题）（多选）8．如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为u，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2．若AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则有（）A．t1＝t2 B．t1＜t2 C．s1＜s2 D．s1＞s2【分析】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据垂直于河岸方向上的分速度比较运行的时间．再通过比较沿河岸方向上的位移，根据平行四边形定则比较出实际的位移大小．【解答】解：A、因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝．所以两次渡河时间相等。故A正确，B错误；C、船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向的分速度v∥＝ucosθ+v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向行驶的分速度v∥′＝v﹣ucosθ＜v∥，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，则s1＞s2．故C错误，D正确。故选：AD。（多选）9．如图所示，MN、PQ分别表示小河的两岸．小河流水速度恒定，方向由M指向N，甲、乙两只小船先后在河岸的A处开始渡河，小船甲以最短时间过河，小船乙以最短位移过河，两只小船都沿轨迹AB到达对岸的B点，AB与河岸的夹角为θ，则（）A．两船在静水中的速度大小之比V甲：V乙＝1：cosθ B．两船在静水中的速度大小之比V甲：V乙＝1：sinθ C．两船过河的时间之比t甲：t乙＝cosθ：1 D．两船过河的时间之比t甲：t乙＝cos2θ：1【分析】根据运动的合成可知，由题意可知，小船甲垂直河岸过河时，时间才是最短；而乙由于在静水中的速度小于水流速度，因此当合速度与在静水中的速度相垂直时，小船乙能以最短位移过河，从而根据三角函数关系，即可求解．【解答】解：A、根据题意可作出，两船运动的速度合成图，如图所示，则有：因而解得：V甲：V乙＝1：cosθ，故A正确，B错误；C、过河时间与两船在垂直河岸方向的分速度成正比，因此将乙船速度沿垂直河岸分解，则有v⊥＝v乙cosθ，所以两船过河的时间之比t甲：t乙＝V甲：V⊥＝cos2θ：1，故C错误，D正确；故选：AD。（多选）10．甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，河水流速为v0，已知在静水中划船速度大小均为v，出发时两船相距为2d，甲乙两船的船头均与河岸成45°角，且乙船正好垂直岸到达对岸的O点，如图所示，则下列判断正确的是（）A．两船同时到达对岸 B．乙船先到达对岸 C．v＝2v0 D．甲船也在O点靠岸【分析】由运动的独立性可知，渡河时间取决于船垂直于河岸的速度，由两船的速度可求得渡河时间；根据乙船的合运动可知船速与水速的关系；先求得甲船沿水流方向的速度，根据渡河时间可求得甲过河时在水流方向上通过的距离，则可判断在何处靠岸．【解答】解：A、由于两船的速度大小相等，且与河岸的夹角相同，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性原理，船速度平行于河岸的分量将不影响船行驶到对岸所用的时间，所以两船同时到岸，A正确，B错误；C、因乙船正对垂直河岸过河，故vcos45°＝v0，故v＝v0，故C错误；D、甲船沿水流方向的速度为vcos45°+v0＝2v0，在相同的时间内，甲船通过的位移x甲＝2v0t，船到达对岸的时间t＝＝，故船沿水流方向通过的位移x甲＝2d，故甲船也在O点靠岸，故D正确；故选：AD。三．填空题（共7小题）11．某河流两岸相距120米，河水流速为2米/秒，某人要从A点到对岸下游B点AB间距为150米，此人在水中的游泳速度为1.2米/秒，在岸上奔跑的速度为5米/秒，如果此人要用最短的时间过河，则他从A点到B点需用时122s。【分析】该题要分为两个过程，一是以最短的时间过河，到达河的对岸时，此时并没有到达B点，人还要沿河岸向B点奔跑。两个过程所用时间的和即为最短时间。【解答】解：人以最短的时间渡河，设时间为t1，则有t1＝＝＝100s此过程人随河水向下游漂游的距离为：s＝v水t1＝2×100＝200m人到达河对岸时距离B的距离为：L＝s﹣＝200﹣＝110m人渡河后在以5m/s的速度向B点跑去，到达B的时间为t2，则有：t2＝＝＝22s所以从A点到B点需用时为：t＝t1+t2＝100+22＝122s故答案为：122s12．如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为V1，B端沿地面的速度大小为V2，则V1、V2的关系是V1＝V2tanθ．【分析】将A、B两点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，抓住两点沿杆子方向上的分速度相等，求出v1和v2的关系．【解答】解：将A点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度为v1∥＝v1cosθ，将B点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度v2∥＝v2sinθ．由于v1∥＝v2∥，所以v1＝v2tanθ．故答案为：v1＝v2tanθ．13．物体A穿在光滑的竖直杆上，人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉A，使其向上运动，到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，物体A速度大小为vo，此刻人拉绳的速度大小是v0cosθ，若物体的重力是mg，人的拉力是F，此刻物体的加速度大小为。【分析】将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，根据平行四边形定则结合A的运动的速度，即可求解人拉绳的速度，对A受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度。【解答】解：将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，拉绳子的速度等于A沿绳子方向的分速度，根据平行四边形定则得，运动速度为：v人＝v0cosθ；若物体的重力是mg，人的拉力是F，此刻物体的加速度大小为a＝＝。故答案为：v0cosθ；。14．如图所示，飞机起飞时以300km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平方向夹角为37°，则飞机在水平方向上的分速度大小约为240km/h。（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）【分析】飞机以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平方向成37°角，合速度为飞机的实际速度，将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，根据平行四边形定则作图求解．【解答】解：将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，如图所示：故水平方向的分速度为：v2＝vcos37°＝300km/h×0.8＝240km/h故答案为：240.15．如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，使它沿水平路面运动，在图示位置时，若小车的速度，则物体的瞬时速度v1＝6m/s。【分析】将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，抓住车和物体沿绳子方向的分速度相等，求出物体的瞬时速度．【解答】解：将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，如图，有v1cos60°＝v2cos30°．则v1＝＝m/s＝6m/s．故答案为：6。16．如图所示，光滑直角细杆POQ固定在竖直平面内，OP边水平，OQ边竖直，OP与OQ在O点用一小段圆弧杆平滑相连，质量均为m的两小环A、B用长为L的轻绳相连，分别套在OP和OQ杆上。初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后同时释放两小环，已知重力加速度为g。（1）当B环下落时，A环的速度大小为。（2）A环到达O点时速度大小为。【分析】A与B下降的过程中系统的机械能守恒，先由速度的合成与分解求出A、B速度的关系，然后即可求出A、B在不同点的速度。【解答】解：（1）当B环下落时，两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：mg＝A、B两小环沿绳方向速度相等，将两小环的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向如图所示：则vAcosα＝vBcosβ由几何关系得α＝30°，β＝60°联立解得：vA＝（2）B下降的过程，当绳子与水平方向之间的夹α接近90°时，β接近0，vAcosα＝vBcosβ则vB接近0，则当A到达O点时，B的速度等于0两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgL＝解得：vA＝故答案为：（1）；（2）。17．如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子对水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为vcosθ（用v、θ表示），绳子的拉力大于（选填：大于、等于、小于）物体M的重力。【分析】小车参与两个分运动，沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动，由于绳子长度一定，故物体上升的速度等于小车沿绳子方向的分速度．【解答】解：小车参与两个分运动，沿绳子拉伸方向和垂直绳子方向（绕滑轮转动）的两个分运动，将小车合速度正交分解，如图物体上升速度等于小车沿绳子拉伸方向的分速度v物＝v1＝vcosθ可知物体的速度再增大，所以拉力大于物体重力；故答案为：vcosθ．大于四．计算题（共2小题）18．在有雾的早晨，一辆小汽车以25m/s的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方50m处有一辆大卡车以10m/s的速度在同向匀速直线行驶小汽车立即刹车做加速度大小为5m/s2的匀减速直线运动。从刹车时开始计时，求：（1）3s末小汽车的速度大小；（2）通过计算（要写过程）说明小汽车会不会碰上前面的大卡车。【分析】（1）根据速度时间公式计算汽车3s末的速度；（2）当两车速度相等时距离最近，分别计算出他们速度相等时的位移，然后做出判断即可。【解答】解：（1）设小汽车初速度的方向为正方向，则根据速度与时间的关系：v＝v0+at则3s末小汽车的速度：v＝25m/s﹣5×3m/s＝10m/s（2）由（1）可知，两车达到速度相同所用的时间为3s这段时间内小汽车的位移大卡车的位移x2＝vt＝10×3m＝30m因为x2+50＞x1故小汽车不会碰上卡车。答：（1）3s末小汽车的速度大小为10m/s；（2）小汽车不会碰上前面的大卡车。19．已知小船在静水中的速率是v1＝5m/s，现让该船渡过某条河流，假设这条河流的两岸是理想的平行线，河宽d＝100m，河水均匀流动且速率为v2＝3m/s，方向与河岸平行，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，回答下列问题：（1）若要以最短时间过河，小船船头的指向朝哪里？（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间t1是多少？小船到达对岸时向下偏移的位移x是多少？（3）欲使小船到达河的正对岸，则船头应与河岸上游方向的夹角α为多大？渡河时间t2为多少？【分析】（1）小船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短；（2）根据匀速直线运动的位移—时间关系计算时间；（3）欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向对岸，结合运动学公式，及矢量的合成法则，即可解答。【解答】解：（1）行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则过河时间最短。（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间为：小船到达对岸时向下偏移的位移为：x＝v2t1＝3.2×20m＝64m；（3）欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向对岸，设船头应河岸上游的夹角为α，则有：解得：α＝53°渡河时间为：。答：（1）若要以最短时间过河，行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸；（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间为20s，小船到达对岸时向下偏移的位移x是64m；（3）欲使小船到达河的正对岸，则船头应与河岸上游方向的夹角α为53°，渡河时间t2为25s。五．解答题（共4小题）20．一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。【分析】在两种运动情况下，分别列出速度时间与河宽的关系式，分析第二次时船速与水速之间的关系，联立即可得出河的宽度。【解答】解：t1＝10min＝600s，t2＝12.5min＝750s设河宽为d，河水流速为v1，船速第一次为v2，第二次为，（v2、大小相同，方向不同）船两次运动速度合成如图所示：由题意有：在垂直于河岸的方向上：d＝v2•t1＝•sinα•t2…①在沿河流的方向上：SBC＝v1•t1…②＝cosα…③v2＝…④以上各式联立，代入数据可求得：河宽d＝200m答：河的宽度为200m21．一艘小艇在静水中的速度大小为15m/min，河中水的流速大小为12m/min．小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min到达对岸的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成θ角的方向行驶，恰好到达正对岸的B处，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）试求：（1）这条河的宽度是多少？（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的θ角多大？【分析】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，抓住分运动与合运动具有等时性，求出河的宽度．当实际航线与河岸垂直，则合速度的方向垂直于河岸，根据平行四边形定则求出船头与河岸所成的夹角．【解答】解：（1）小艇保持与河岸垂直的方向行驶，这条河的宽度：d＝vt＝15×10＝150m；（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的θ角，恰好到达正对岸的B处，则有：cosθ＝＝＝0.8；解之得：θ＝37°；答：（1）这条河的宽度是150m；（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的θ角37°．22．2017年5月9日，中国广州地区突降大雨，开始雨点竖直下落到地面，落地时速度为10m/s。若在地面