专题03实数-原卷版+解析

专题03实数【思维导图】◎考点题型1实数的概念和分类1、实数概念：有理数和无理数统称为实数2、实数的分类：1.按属性分类：2.按符号分类例．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）下列各数中，无理数是（

）A． B． C．3．14 D．变式1．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③平方根等于它本身的数为0和1；④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4变式2．（2023春·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式3．（2019·八年级课时练习）下列说法不正确的是（

）A．所有的整数和分数都是有理数 B．无理数一定是无限小数C．无限小数一定是无理数 D．无理数不能写成分数的形式◎考点题型2实数和数轴上的点的对应关系实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2、的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001……例．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）实数，，，在数轴上的位置如图，若，则下列结论中正确的是(

)A． B． C． D．变式1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（

）A．或 B．或C．或 D．或变式2．（2023春·七年级课时练习）如图，若，则的值所对应的点可能落在（

）A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处变式3．（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图，数轴上点表示的数可能是（

）A． B． C． D．◎考点题型3实数的大小比较1、实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法2、实数的三个非负性及性质：

（1）、在实数范围内，正数和零统称为非负数。（2）、非负数有三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0（3）、非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0例．（2023春·七年级课时练习）下列实数中，最小的数是（

）A．0 B． C． D．变式1．（2022秋·福建莆田·八年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（

）A． B． C．2 D．3变式2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若0<x<1，则下列关系式成立的是（

）A． B．C． D．变式3．（2021春·湖北咸宁·八年级校联考阶段练习）四个实数，，，中最大的实数是（

）A． B． C． D．◎考点题型4实数的运算1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。2、实数的运算顺序：(1)先算乘方和开方;(2)再算乘除，最后算加;(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算.例．（2023春·七年级课时练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．变式1．（2022春·陕西商洛·七年级统考期末）计算的结果是（

）A．3 B．7 C． D．变式2．（2022春·广西贺州·七年级统考期末）下列说法中，正确的是（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．◎考点题型5程序设计与实数运算例．（2023春·七年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下，当输入时，输出的是（

）A．9 B．3 C． D．变式1．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为4，则输出的结果应为（

）A．2 B． C．1 D．变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（

）A．3 B． C． D．变式3．（2022春·河南洛阳·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下．当输入的x为4时，输出的y是（）A．4 B．2 C． D．◎考点题型6新定义与实数运算例．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（

）A． B． C． D．变式1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）现规定一中新运算“※”：，如，则（

）A．10 B．17 C．18 D．25变式2．（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则（20132014）（20112012）的值是（

）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014变式3．（2023春·七年级课时练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（

）A．13 B．7 C．4 D．5◎考点题型7实数运算的实际应用例．（2023春·七年级课时练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（）A． B． C．2 D．变式1．（2023春·七年级课时练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期中）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（

）A．10 B．89 C．165 D．294变式3．（2018秋·吉林延边·七年级统考期末）一块蛋糕，一只猴子第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，这样继续下去，则第五天这只小猴子吃了后，余下这块蛋糕的（

）A． B． C． D．◎考点题型8实数运算的相关规律题例．（2021春·安徽马鞍山·七年级校考期中）已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（

）A． B． C． D．变式1．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考期中）观察下列等式，，，，，，，，．．．，则的末位数字是（

）A．8 B．4 C．6 D．0变式2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．7变式3．（2022秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）把有理数a代入得到a1，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，以此类推，若，经过第2022次操作后得到的结果是（

）A．－1 B．－7 C．5 D．11专题03实数【思维导图】◎考点题型1实数的概念和分类1、实数概念：有理数和无理数统称为实数2、实数的分类：1.按属性分类：2.按符号分类例．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）下列各数中，无理数是（

）A． B． C．3．14 D．【答案】B【分析】根据无理数的定义逐项判定即可．【详解】解：A．是分数，属于有理数，选项错误，故不符合题意；B．属于无理数，选项正确，符合题意；C．是有限小数，属于有理数，选项错误，故不符合题意；D．是整数，属于有理数，选项错误，故不符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，（每两个8之间依次多1个0）等形式．变式1．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③平方根等于它本身的数为0和1；④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：；③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．综上，正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；故选：D．【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．变式3．（2019·八年级课时练习）下列说法不正确的是（

）A．所有的整数和分数都是有理数 B．无理数一定是无限小数C．无限小数一定是无理数 D．无理数不能写成分数的形式【答案】C【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．【详解】根据有理数的定义，整数属于有理数，分数属于有理数，故A正确；无理数都是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故B正确，C错误；分数不是无理数，故D正确.故选C.【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类、正确区分有理数和无理数是解题的关键，注意无理数是无限不循环小数．◎考点题型2实数和数轴上的点的对应关系实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2、的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001……例．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）实数，，，在数轴上的位置如图，若，则下列结论中正确的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得，根据有理数的运算，可得答案．【详解】解：∵，∴数轴为，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得，且，A、，，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出是解题关键，又利用了有理数的运算．变式1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为，分两种情况，即可得答案．【详解】解：由半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，故滚动一周后A点与1之间的距离是，故当A点在1的左边时表示的数是，当A点在1的右边时表示的数是，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）如图，若，则的值所对应的点可能落在（

）A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处【答案】C【分析】先将a的值代入代数式计算出得数，然后再在数轴上找到对应的点即可．【详解】解：将代入得：，∵，且接近1．故选：C．【点睛】本题主要考查求代数式的值、数轴上的点与实数的对应等知识点，熟练掌握数轴与实数一一对应的关系是关键．变式3．（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图，数轴上点表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴得出点表示的数在3到4之间，分别估算出、、、的大小，再逐个判断即可．【详解】解：∵，，，，根据点在数轴上的位置，可知，四个选项中只有，即，选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，能分别估算出、、、的大小是解此题的关键．◎考点题型3实数的大小比较1、实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法2、实数的三个非负性及性质：

（1）、在实数范围内，正数和零统称为非负数。（2）、非负数有三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0（3）、非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0例．（2023春·七年级课时练习）下列实数中，最小的数是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵，∴最小的是，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．变式1．（2022秋·福建莆田·八年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】把代入程序，重复计算，直到结果小于输出，故可求解．【详解】解：把代入程序，，把代入程序，，输出，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题关键是根据程序进行计算求解．变式2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若0<x<1，则下列关系式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．【详解】解：∵∴令∴，，∵∴．故选B．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．变式3．（2021春·湖北咸宁·八年级校联考阶段练习）四个实数，，，中最大的实数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正数大于，大于负数，再估算出的值即可判断出最大的实数．【详解】解：，，在四个实数，，，中，，最大的数是：，故选：D．【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，准确估算出的值是解题的关键．◎考点题型4实数的运算1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。2、实数的运算顺序：(1)先算乘方和开方;(2)再算乘除，最后算加;(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算.例．（2023春·七年级课时练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．【详解】解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，，∴，又∵点C在点A的左边，∴点C表示的数为，故选B．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．变式1．（2022春·陕西商洛·七年级统考期末）计算的结果是（

）A．3 B．7 C． D．【答案】A【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：，故选A．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．变式2．（2022春·广西贺州·七年级统考期末）下列说法中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方、绝对值、开立方、算术平方根运算法则，对选项一一进行分析，即可得出结果．【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；B、，故该选项错误，不符合题意；C、，故该选项正确，符合题意；D、，故该选项错误，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了实数的混合运算、有理数的乘方、绝对值、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根；立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．变式3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对各选项中算式进行逐一计算即可．【详解】解：∵，∴选项A不符合题意；∵3与不能合并运算，∴选项B不符合题意；∵，∴选项C不符合题意；∵，∴选项D符合题意，故选：D．【点睛】此题考查了实数运算能力，关键是能准确理解并运用各种运算法则进行计算．◎考点题型5程序设计与实数运算例．（2023春·七年级课时练习）有一个数值转换器，原理如下，当输入时，输出的是（

）A．9 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根的定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数为的算术平方根；无理数的定义：即无限不循环小数；据此解答即可．【详解】解：根据题意：，，为无理数，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根的定义以及无理数的定理，熟记相关定义是解本题的关键．变式1．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为4，则输出的结果应为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】根据程序图进行计算即可．【详解】解：＝（2﹣4）×0.5＝（﹣2）×0.5＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查实数混合运算，解题关键是根据程序图正确的进行计算．变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】把m=27按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值．【详解】解：当m=27时27的立方根为3，3是有理数，3的立方根是，是无理数，则输出，所以输出n=，故选：C．【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键．变式3．（2022春·河南洛阳·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下．当输入的x为4时，输出的y是（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据程序进行取算术平方根进行计算即可求解．【详解】解：当输入的x为4时，取算术平方根是，2是有理数，当输入的x为2时，取算术平方根为，是无理数，则输出的y是，故选C【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，理解题意是解题的关键．◎考点题型6新定义与实数运算例．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如：，，按此规定，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，然后根据的意义可求得的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查无理数的估算、无理数整数部分的有关计算等知识，是重要考点，难度较易，估算出是解题关键．变式1．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）现规定一中新运算“※”：，如，则（

）A．10 B．17 C．18 D．25【答案】B【分析】根据新运算的规定以及有理数的乘方计算法则计算即可．【详解】∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了学生的知识迁移能力，能够理解新定义的规定并运用乘方法则正确计算是解题的关键．变式2．（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则（20132014）（20112012）的值是（

）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【答案】C【分析】根据题中定义的新运算，每次运算的结果是“手”指向的那个数，先算括号里的，据此即可得到答案．【详解】解：ab=a和ab=b，（20132014）（20112012）=20132012=2013．故选C．【点睛】此题考查了实数范围内定义的新运算，准确理解定义的新运算的规律是解此题的关键．变式3．（2023春·七年级课时练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（

）A．13 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】根据新运算的定义计算即可．【详解】解：∵•，∴======4，故选：C．【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键．◎考点题型7实数运算的实际应用例．（2023春·七年级课时练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是，2，∴阴影部分的面积故选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.变式1．（2023春·七年级课时练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．【详解】较大阴影的周长为：，较小阴影的周长为：，两块阴影部分的周长和为：=，故两块阴影部分的周长和为16．故选B．【点睛】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．变式2．（2022秋·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期中）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（

）A．10 B．89 C．165 D．294【答案】D【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．【详解】依题意，还在自出生后的天数是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，故选：D．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．变式3．（2018秋·吉林延边·七年级统考期末）一块蛋糕，一只猴子第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，这样继续下去，则第五天这只小猴子吃了后，余下这块蛋糕的（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，第一天剩下：1－；第二天剩下：；