2022-2023学年江苏高一年级下册数学同步讲义苏教版2019必修第二册第02讲 向量的加减运算含详解

第9章平面向量

第02讲向量的加减法

0目标导航

课程标准重难点

1.理解并掌握向量加法的概念.

2.理解向量减法的意义

3.掌握向量加法和减法的三角形法则和平

1.向量的加减运算

行四边形法则，并能熟练地运用这两个法

2向.量的运算律

则作两个向量的加法减法运算.

.向量加法减法的综合运用

4.了解向量加法、减法的交换律和结合律，3

并能作图解释向量加法运算律的合理性.

知识精讲

知识点一向・加海1定叉及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫作向量的加法.

任一向量与其相反向量的和是零向量.

2.向量求和的法则

向己知非零向量”，b,在平面内取任意一点0,作次=a,Ah=b,

量则向量仍叫作。与b的和，记作a+方，即。+》=温+牯=仍.

求这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

和三角形法则对于零向量与任意向量访规定。+0=0+。=〃

的

法

则\及

对于任意两个不共线的非零向量a,b,分别作次=a,Ot=b,

以04,0C为邻边作。OABC,则以。为起点的对角线表示的向

量彷就是向量。与力的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量

平行四边形法则

加法的平行四边形法则

Ca

0^-------八

位我的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的

物理模型.

思考M+例与⑷，网有什么关系？

答案(1)当向量a与6不共线时，的方向与a,不同，且|a+Z>|<|a|+步|.(2)当a与6同向时，a+b,a,

b同向,且|a+b|=|a|+M(3)当a与b反向时,若|a|>步则a+b的方向与a相同，且|a+Z||=|a|一步|；若

则a+Z>的方向与。相同，且|a+b|=|6|—|Q|.

知识点二向量加法的运算律

交换律

结合律(〃+5)+c=a+S+c)

知识点三向量的减法

1.定义：若Z>+x=a,则向量x叫作a与b的差，记为a—》=。+(一力，因此减去一个向量，相当于加上

这个向量的相反向量,求两个向量差的运算，叫作向量的减法.

2.减法的作图方法：在平面内任取一点。，作OA=a,防=方，则向量a-b=成,如图所示.

B

3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量

的终点为终点的向量.

思考若a,〃是不共线向量，则|a+例与|a—目的几何意义分别是什么？

答案如图所示，设次=Q,彷=4根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有求=a+Z),

法=”一人因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+例=|戌1,一例=|或即分别是以0A,。8为邻边

的平行四边形的两条对角线的长.

B___________C

oA

【思考辨析】

1.O+a=〃+O=a.(«)

23+求=祀.(4)

3.A&+BA=0.(4)

4.|霜|+|说］=|犯.(x)

5.相反向量就是方向相反的向量.(x)

6.向量彳&与成是相反向量.(q)

7.两个相等向量之差等于0.(x)

8.向量a与向量力的差和5与a的差互为相反向量.(«)

考法01向量加法法则

(1)如图①所示，求作向量。+);

(2)如图②所不，求作向量a+b+c.

b

图①图②

【方法技巧】

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

区别联系

(1)首尾相接

三角形法则当两个向量不共线时，三角形法

(2)适用于任何两个非零向量求和

则作出的图形是平行四边形法

⑴共起点

平行四边形法则则作出图形的一半

(2)仅适用于不共线的两个向量求和

【跟踪训练】如图所示，。为正六边形A8CDEb的中心，化简下列向量.

AB

⑴次+求=;

(2)Bt+Fk=；

(3)0A+Fk=.

考法02向量加法运算律的应用

化简：

⑴求+屈：

⑵踮+B+肥

⑶显+阱+口+沅+成.

【方法总结】

向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实

际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来

进行.

(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

【跟踪训练】

1.已知正方形ABC£＞的边长等于1,则|翁+⑰+发'+成|=.

考法03向量加法的实际应用

河水自西向东流动的速度为10km/h,小船在静水中的速度为1OV3km/h,小船自南岸沿正北

方向航行，求小船的实际航行速度.

【方法总结】

应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三南形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题.

【跟踪训练】

1.如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，ZACW=150°,ZBCW=120°,求A和B

处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

AB

考法04向量的减法运算

【素养提升】

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a—b,可以先作一乩然后作a+(一力即可.

(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减

向量的终点的向量.

【跟踪训练】

1.如图，已知向量a,b,c,求作向量a—b—c.

考法05向量减法的应用

(1)如图,P,Q是AA8C的边上的两点，且屏＞=双,则化简油+祀一介一役的结果为()

A.0B.BP

C.苑D死

(2)化简：①或+色一次一选；

②(公+劭+殖)一(皮一加一两.

【方法技巧】

(1)向量减法运算的常用方法

（2）向量加威法化简的两种形式

①首尾相连且为和.

②起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

【跟踪训练】

1.（多选）下列各向量运算的结果与祀相等的有（）

C.oX-otD.0t-0X

2.化简下列各式：

①威一励+讲一磁；

②（初一腑+（炭-ATt）.

［解析］①加一曲+称一殖=就+称一加=而一或=#.

②（初一丽+僦-X7t）=劝+励+就+现=在+丽+就+函=在+0=初.

考法06用已知向量表示其他向量

如图，在五边形ABCDE中，若四边形AC0E是平行四边形，且屈=a,At=b,Ak=c,试用

a,b,c表示向量斑，Bt,聒，仍及球.

【方法技巧】

（1）解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，

确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

（2）主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可

利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养.

分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为而的是（）

A.AB+BC-DCB.AB+CB+DC

C.BC-DCD.AE-ED

,uniuuii\muiuuur

2.化简下列各式：®AB+BC+CAi@（AB+MBj+BO+OM；®OA+OC+BO+cdt④

通+赤+而+觉.其中结果为。的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列四式不能化简为而的是（）

A.AB+（PA+BQ）

B.（AB+PC）+（R4-0C）

C.QC+CQ-QP

D.PA+AB-BQ

4.五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华

人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36。，则下列说法正确的是（）

A

A.CH+7D=QB.AB//FEC.AF+FG^2HGD.AF=AB+AJ

二、多选题

5.如图，在平行四边形A8C£＞中，下列计算错误的是（）

联一ffT

B・AC+CD+DO=OA

cf-->TffT

C・AB+AC+CD=ADD•AC+BA+DA=O

6.已知点O,E,尸分别是△ABC的边AR8C,AC的中点，则下列等式中正确的是（）

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=6

C.DE+DA^ECD.DA+DE=FD

三、填空题

7.下列命题中正确的是.

①空间向量而与丽是共线向量，则A,B,C,。四点必在一条直线上；

②单位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④A,B,C,D四点不共线，则A8CO为平行四边形的充要条件是AB=DC，

⑤模为0的向量方向是不确定的.

8.若向量d表示向东走1千米，6表示向南走1千米，则向量d+5表示.

四、解答题

9.如图，已知方=。，丽=],OC=c,OD=d,OF=f,试用。，b,c,d,，表示以下向量:

（1）ACi

（2）AD；

⑶AD-AB;

（4）AB+CFt

（5）BF-BD.

题组B能力提升练

一、单选题

1.在四边形ABC。中，AC=AB+AD,则一定有（）

A.四边形A5CZ）是矩形B.四边形A8CD是菱形

C.四边形A8C。是正方形D.四边形A8C。是平行四边形

2.如图，向量旃=a,AC=b,CD=c,则向量丽可以表示为（）

A.a+b+cB.a—b+cC・b-a+cD.b-a-c

3.已知1、〃•是不平行的向量，若丽=彳+2万，BC=-4a-h,CD=-5a-3b,则下列关系中正确的是（）

A.AD=CBB.AD=BC

c.AD=2BCD.AD=-2BC

4.已知点。是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）.

A.AB+CB=ACB.AB+AD=AC

C.AD+CD^BDD.AO+CO+OB+OD^O

二、多选题

5.下列四式可以化简为所的是（）

A.AB+（PA+BQ]B.（AB+PC）+（S4-GC）

C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ

6.在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为而的是（）

A.AB+BC-DCB.AE+ED

C.BC-DCD.AE-ED

三、填空题

7.已知下列各式：①通+反+国；®（AB+MB）+BO+OM；③函+反+的+的；④

AB+CA+BD+觉.其中结果为0的是—.（填序号）

四、解答题

8.如图，点。是QABCD的两条对角线的交点，AB=a»DA=b»OC=c»求证：b+c-a-OA-

题组c培优拔尖练

一、单选题

1.已知A,B,C,。是以。为球心，半径为2的球面上的四点，OA+6B+OC=Z'则|明+|叫+|CD|不

可能等于（）

A.6B.7C.8D.6&

2.如图，A、B、C、。是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）

A.AB+CD=BC+DAB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD=DC+BAD.AB+DA=AC=DB

3.如图，AB是圆。的一条直径，C,。是半圆弧的两个三等分点，则而=

A.AC-ADB.2AC-2ADC.AD-ACD.2AD-2AC

二、多选题

4.对于菱形ABCD,给出下列各式，其中结论正确的为（）

A.AB=BCB.网=|网

c.\AB-CD^=\AD+BC\D.\AD+CC^=\CD-CB\

三、填空题

5.化简以下各式：

®AB+BC+CA;

@AB-AC+BD-CDi

@OA-OD+AD;

©NQ+QP+MN-MP.

结果为零向量的是.（填序号）

四、解答题

6.化简下列向量表达式：

(I)OM-OM+MP—NA;

(2)(AD-BM)+(BC-MC).

第9章平面向量

第02讲向量的加减法

0目标导航

课程标准重难点

1.理解并掌握向量加法的概念.

2.理解向量减法的意义

3.掌握向量加法和减法的三角形法则和平

1.向量的加减运算

行四边形法则，并能熟练地运用这两个法

2向.量的运算律

则作两个向量的加法减法运算.

4.了解向量加法、减法的交换律和结合律，3.向量加法减法的综合运用

并能作图解释向量加法运算律的合理性.

湛《知识精讲

知识点一向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫作向量的加法.

任一向量与其相反向量的和是零向量.

2.向量求和的法则

向已知非零向量a,h,在平面内取任意一点。，作次=a,通=b,

量则向量仍叫作a与方的和，记作a+方，即。+》=况+屈=彷.

求这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

和三角形法则对于零向量与任意向量规定。+0=0+。=〃

的

\及

法

则

对于任意两个不共线的非零向量a,b,分别作次=a,Ot=b,

以04,0C为邻边作。OABC,则以。为起点的对角线表示的向

量彷就是向量。与力的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量

平行四边形法则

加法的平行四边形法则

Ca

0^-------八

位我的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的

物理模型.

思考M+例与⑷，网有什么关系？

答案(1)当向量a与6不共线时，的方向与a,不同，且|a+Z>|<|a|+步|.(2)当a与6同向时，a+b,a,

b同向,且|a+b|=|a|+M(3)当a与b反向时,若|a|>步则a+b的方向与a相同，且|a+Z||=|a|一步|；若

则a+Z>的方向与。相同，且|a+b|=|6|—|Q|.

知识点二向量加法的运算律

交换律

结合律(〃+5)+c=a+S+c)

知识点三向量的减法

1.定义：若Z>+x=a,则向量x叫作a与b的差，记为a—》=。+(一力，因此减去一个向量，相当于加上

这个向量的相反向量,求两个向量差的运算，叫作向量的减法.

2.减法的作图方法：在平面内任取一点。，作OA=a,防=方，则向量a-b=成,如图所示.

B

3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量

的终点为终点的向量.

思考若a,〃是不共线向量，则|a+例与|a—目的几何意义分别是什么？

答案如图所示，设次=Q,彷=4根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有求=a+Z),

法=”一人因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+例=|戌1,一例=|或即分别是以0A,。8为邻边

的平行四边形的两条对角线的长.

B___________C

oA

【思考辨析】

1.O+a=〃+O=a.（«）

23+求=祀.（4）

3.A&+BA=0.（4）

4.|霜|+|说］=|犯.（x）

5.相反向量就是方向相反的向量.（x）

6.向量彳&与成是相反向量.（q）

7.两个相等向量之差等于0.（x）

8.向量a与向量力的差和5与a的差互为相反向量.（«）

考法01向量加法法则

（1）如图①所示，求作向量。+）;

（2）如图②所不，求作向量a+b+c.

b

图①图②

【解析】（1）首先作向量次=m然后作向量屈=），则向量彷=。+人如图③所示.

,ab

6AB

图③

（2）方法一（三角形法贝（I）如图④所示，

首先在平面内任取一点。，作向量流=。，再作向量屈=。，则得向量彷=。+瓦然后作向量质1=c,则向

量OC=m+〃)+c=a+b+c即为所求.

图④图⑤

方法二（平行四边形法则）如图⑤所示,

首先在平面内任取一点。，作向量ob—b,ot—c,

以。4,08为邻边作。。4D8,连接0£>,

则用=温+彷=a+6.再以0。，0c为邻边作。OOEC,连接0E,

则注=0力+比=a+》+c即为所求.

【方法技巧】

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

区别联系

(1)首尾相接

三角形法则当两个向量不共线时，三角形法

(2)适用于任何两个非零向量求和

则作出的图形是平行四边形法

⑴共起点

平行四边形法则则作出图形的一半

(2)仅适用于不共线的两个向量求和

【跟踪训练】如图所示，。为正六边形A3COEF的中心，化简下列向量.

⑴温+求=；

(2僦+度=；

⑶温+屋=.

【答案】(1)彷(2)Ab(3)0

【解析】(1)因为四边形0A8C是以04,0C为邻边的平行四边形，。8是其对角线，故次+灰1=时.

(2)因为选=屋，故就+度与就方向相同，

长度为求长度的2倍，

故比+危=废).

(3)因为包=屋，故次+屋=况+济=0.

考法02向量加法运算律的应用

例

化简:

⑴求+屈；

⑵协+⑦+此

⑶油+励+出+就+贰

【解析】⑴而+屈=屈+求=祀.

⑵踮+劭+犹=武+劭+踮

=（就+仍）+协=防+彷=0.

⑶屈+〃+劭+觉+成

=荏+就+劭+苏+成

=At+cb+Dp+fA

=At>+群+或

=#+成=0.

【方法总结】

向量加法运算律的意义和应用原则

（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实

际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来

进行.

（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

【跟踪训练】

1.已知正方形A8CD的边长等于1,则|屈+劝+比+比1=.

【答案】2啦

【解析】|公+力+或+比|=|屈+就+冠>+成］=|&+独=2|&1=2啦.

考法03向量加法的实际应用

同河水自西向东流动的速度为10km/h,小船在静水中的速度为km/h,小船自南岸沿正北

方向航行，求小船的实际航行速度.

【解析】设a,。分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点。作次=a,彷=瓦以

OA,0B为邻边作矩形OACB,连接0C,如图，则求=a+Z),并且历即为小船的实际航行速度.

二|回=#\+肝=4|砰+|肝=20(km/h),

：tan/AOC」^=小，

ZAOC=60°,

.••小船的实际航行速度为20km/h,沿北偏东30。的方向航行.

【方法总结】

应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题.

【跟踪训练】

1.如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子A8上，ZACW=150°,ZBCW=]20°,求A和8处

所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

【解析】如图所示，设徒,乃分别表示4,8所受的力，10N的重力用武表示，则及+0=4.

由题意可得/£：。6=180。-150。=30。,

ZFCG=180°-120°=60°.

二|函=|两cos30°

=10x^=5小,

3(N),

|C?l=|C&|cos60o

10x^=5(N).

处所受的力为N,8处所受的力为5N.

考法04向量的减法运算

如图，己知向量a,b,c不共线，求作向量a+b-c.

【解析】方法一如图①，在平面内任取一点O,作次=a,A^=b,则彷=。+力，再作比=c,则荏=a

①②

方法二如图②，在平面内任取一点O,作醇=a,A^=b,则昌=a+。，再作动=c,连接0C,则灰'=

一C.

【素养提升】

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a一①可以先作一乩然后作0+(—6)即可.

(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减

向量的终点的向量.

【跟踪训练】

1.如图，己知向量。，b,c,求作向量a—〜一c.

【解析】如图，在平面内任取一点。，作向量次=。，Oh=b,则向量西=a一瓦再作向量送=c,则向量

cA=a-b-c.

考法05向量减法的应用

（1）如图,P,Q是ZkABC的边BC上的两点，且昉=发,则化简显+祀一办一双的结果为（)

A.0B.BP

C.丽D.Pt

【答案】A

【解析】霜+祀一#一用=（屈-#）+流-电=闻+岌=四一即=0.

（2）化简：①或+用一流一求；

②就+励+次）一（成一函一两.

【解析】①成+历一|一武=（或一宿+（用一次）=/+初=金.

②（祀+就+殖）一（皮一Db-oh）

=祀十或一反'十彷

^At+Cb+Ob+BA

【方法技巧】

（1）向量减法运算的常用方法

一

常

用

方

法

一

（2）向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和.

②起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

【跟踪训练】

1.（多选）下列各向量运算的结果与证相等的有（）

\.Ab+ob

C.oA-otD.ot-oA

答案AD

2.化简下列各式：

①双一曲+宓一磁；

②（初一的+（选一饱.

［解析］①加一加+称一就=就+/一仍=诉一稿=#.

②（初一脑+（就一论=初+范+比+加=m+（励+就+函=劝+0=砧

考法06用已知向量表示其他向量

如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACOE是平行四边形，月.屈=a,At=b,嬴=c,试用

a,b,c表示向量前，Bt,聒，Ct）及《：.

【解析】•.•四边形4CDE是平行四边形，.•.仍=硅=<:,

—Ah=b—a,Bk—At—A^—c—a,

&：=曲一忒=c-b,：.Bb=Bt+cb=b~a+c.

【方法技巧】

（1）解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，

确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

（2）主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可

利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养.

分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为标的是（）

A.AB+BC-DCB.AB+CB+DC

C.BC-DCD.AE-ED

【答案】A

ULllHIBIUUUUUWUL1ULlUUi

【解析】A,48+8C-DC=AC+CD=4£＞，止确；

B,AB+CB+DC=AB+DB^DA-不正确；

C,BC-DC=BC+CD=BD,不正确；

D,AE-ED=AE+DE^AD'不正确.故选：A.

2.化简下列各式：@AB+BC+CA;@（AB+MB^+BO+OM；③诙+反+的+而；④

通+至+丽+反.其中结果为。的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①：AB+BC+CA=AC+CA=O^

/Umuuir、iiuuuuirUUDuumuuiruuuruuuruuurum

对于②：+=AB+BO+OM+MB=AM+MB=ABf

对于③：OA+OC+BO+CO={BO+OA^+[cd+OC]=BA+Q=BA,

对于④：AB+CA+BD+DC=CAB+BD\+CDC+CA\=AD+DA=O,

所以结果为。的个数是2,故选：B

3.下列四式不能化简为所的是（）

A.AB+（PA+BQ）

B.（AB+PC）+（BA-CC）

C.QC+CQ-QP

D.PA+AB-BQ

【答案】D

【解析】A项中，A8+（M+B0）=（AB+B0）-AP=A0-AP=Pe：

B项中，（A^+卮）+（丽一反）=（A月-A月）+（4+&）=P0；

C项中，QC+CQ-QP=-QP=PQ-.

D项中，PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ.^：D.

4.五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华

人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36。，则下列说法正确的是（）

A.CH+!D=6B.AB//FEC.AF+FG=2HGD.AF=AB+Xl

【答案】D

【解析】A,由图可知C”与〃）相交，所以国•与历不是相反向量，故A错误；

B,而与诙共线，所以屁与而不共线，所以而与而不共线，故B错误；

c,AF+FG=AG^2HG<故C错误；

D,连接8尸,JF,由五角星的性质可得AB/尸为平行四边形,

根据平行四边形法则uj•得标=通+再，故D正确.

故选：D

二、多选题

5.如图，在平行四边形A8C。中，下列计算错误的是（）

A・AB+AD=ACB・4C+CD+DO=OA

c-AB+AC+CD=ADD-AC+BA+DA=Q

【答案】BC

【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，

•+&>=/，，A正确;

AC+CD+DO=AD+DO=AO',B错误；

AB+AC+cb=AB+Ab=AC''C错误；

AC+BA+DA=BC+DA=Q'，D正确•

故选：BC

6.已知点。，E,尸分别是AABC的边AB,BC,AC的中点，则下列等式中正确的是（)

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=Q

c.DE+DA=ECD.DA+DE=FD

【答案】ABC

【解析】对于A选项，FD+DA=FA，正确；

对于B选项，FD+DE+EF^FE+EF=6,正确；

对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知屁+丽=丽=反\正确;

对于D选项，DA+DE=DF^FD<所以D错误.

故选：ABC

三、填空题

7.下列命题中正确的是.

①空间向量而与丽是共线向量，则A,B,C,。四点必在一条直线上；

②单位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④A,B,C,D四点不共线，则ABC。为平行四边形的充要条件是AB=DC,

⑤模为0的向量方向是不确定的.

【答案】④⑤

【解析】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量旃，而在

同一条直线上，所以①不正确.

由单位向量的模均相等且为1,但方向并不一定相同，所以②不正确.

零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，.

若丽=反，可得A8=£>C且他/ADC,所以四边形A8CO为平行四边形，

当A8C。为平行四边形时，可得而=反，所以④正确.

由模为0的向量为。，其中。的方向是不确定的，所以⑤正确.

故答案为：④⑤.

8.若向量。表示向东走1千米，石表示向南走1千米，则向量a+b表示.

【答案】沿东南方向走近千米

【解析】若向量方表示向东走1千米，8表示向南走1千米，

则向量a+5表示的方向为东南方向，大小为应的向量

即口+5表示沿东南方向走近「米.

故答案为：沿东南方向走五千米.

四、解答题

9.如图，已知次=1，OB=b>OC=c,历=2，OF=f,试用b,c,/表示以下向量:

(2)AD；

⑶AD-AB;

(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

【答案】

⑴

⑵d-a

⑶d-b

(4)b-a+f-c

⑸f-d

【解析】⑴AC=OC-OA=c-a

⑵JjD^OD-OA-d-a

(3)AD-AB^BD-OD-OB=d-b-

（4）AB+CF=OB-dA+OF-OC=h-a+f-c-

（5）BF-BD=DF=OF-OD^f-d

题组B能力提升练

一、单选题

1.在四边形A8C。中，AC=AB+AD,则一定有（）

A.四边形A8CZ）是矩形B.四边形A3C。是菱形

C.四边形A8C。是正方形D.四边形A8C。是平行四边形

【答案】D

【解析】因为而=通+而，所以亚二衣-丽二及，即AD=BC且AO〃BC,

所以四边形A8CO的一组对边平行且相等，

所以四边形ABC。是平行四边形，故选：D.

2.如图，向量丽=a,AC=b,CD=c,则向量而可以表示为（）

A.a+b+cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c

【答案】C

【解析】BD=AD-AB=AC+CD-AB=b-a+cC.

3.已知々、弓是不平行的向量，若丽=G+2b,BC=-4a-b,丽=-5]-35,则下列关系中正确的是（

A.AD=CBB.AD=BC

C.AD^IBCD.AD=-2BC

【答案】C

【解析】AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2（-4a-b）=2BC.故选：C

4.已知点。是oABCD的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）.

A.AB+CB=ACB.AB+AD=AC

c.AD+CD^BDD.AO+CO+OB+OD^

【答案】B

【解析】对于A：AB+CB=AB+DA=DB＞故A错误；

对于B：AB+AD=AC，故B正确；

对于C：而+而=亚+丽=而，故C错误；

对于D：Ad+CO+dB+OD=6＜故D错误；故选：B

二、多选题

5.下列四式可以化简为而的是()

A.AB+(PA+BQ]B.(J\B+PC]+(BA-QC]

C.QC+CQ-QPD.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【解析]A项中，AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)-AP=AQ-AP=PQ.

B项中,(AB+PC)+(BA-0C)=(AB-AB)+(PC+Cg)=P0；

C项中,QC+CQ-QP=-QP=PQ-.

D项中,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ.

故选：ABC.

6.在五边形A8C/宏中（如图），下列运算结果为标的是（）

A.AB+BC-DCB.AE+ED

C.BC-DCD.AE-ED

【答案】AB

uuuuuununUUIUUUUUUU1

【解析】对于A,AB+BC-DC=AC+CD=ADA正确;

对于B,AE+ED=AD^B正确;

对于C,BC-DC=BC+Cb=BD,B不正确；

对于D,AE-ED=AE+DE^AD^D不正确.

故选：AB

三、填空题

7.已知下列各式：①通+元+5；®(,AB+MB)+BO+OM；③丽+1+的+1；④

通+m+而+反.其中结果为0的是—.(填序号)

【答案】①④

UlIUUUUUUUUIUUU1

【解析】①AB+8C+C4=AC+CA=O；

®（AB+MB）+