山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M=−1,2,3,N=−1,0,2,5，则M∪N=A.−1,2 B.−1,2,3 C.−1,0,2,5 D.−1,0,2,3,52.在等比数列an中，若a1=1，a4=4A.2 B.±2 C.4 D.±43.若非零向量a,b满足|a|=|a+b|A.12b B.b C.324.已知点P是直线x−y−m=0上的动点，由点P向圆O:x2+y2=1引切线，切点分别为M,N且∠MPN=90A.2 B.±2 C.25.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2−mA.{m∣−1<m<2} B.{m∣m<−1或m>2}

C.{m∣−2<m<1} D.{m∣m<−2或m>1}6.x2−x+y5的的展开式中x3A.30 B.−30 C.20 D.−207.设函数fx=2sinωx+φ−1(ω>0)，若对于任意实数φ,fx在区间π4,A.83,5 B.4,5 C.4,208.已知函数fx=4x+a−2x⋅2A.−3 B.−2 C.−eln2 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1,z2的共轭复数分别为zA.z1+z2=z1+z2 B.z1⋅z210.如图，已知二面角α−l−β

的棱l

上有A,B

两点，C∈α,AC⊥l,D∈β，BD⊥l，若AC=AB=BD=2,CD=22，则(

)A.直线AB与CD所成角的余弦值为45∘

B.二面角α−l−β

的大小为60∘

C.三棱锥A−BCD

的体积为23

D.直线CD11.甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球(这10个球除颜色外，大小､形状完全相同)，先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是(

)A.A，B是对立事件 B.事件B，D相互独立

C.PD=16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为34，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为512，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为

．13.如图，在四面体SABC中，SA=SC=5，AB=BC=6，AC=22，SB=14.已知点P是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0右支上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，▵P四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列an的首项为a1=(1)证明：数列1a(2)设数列1an的前n项和为Sn，求数列−1n16.(本小题12分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos(1)求角A；(2)若▵ABC中BC边上中线AD的长度为3，求▵ABC面积的最大值．17.(本小题12分)如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，M是SB的中点，(1)证明：SA⊥平面ABCD；(2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为3010，求SP18.(本小题12分)已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l叫椭圆C于D、E两点，记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k(3)设d是从椭圆中心到椭圆在点Q处切线的距离，当Q在椭圆上运动时，判断d2Q19.(本小题12分)若函数fx在a,b上存在x1,x2a<x1<x2<b，使得f′x(1)判断函数fx=x(2)已知函数fx=12x2−xlnx−ax，存在m>n>0，使得fm=f①求a的取值范围；②证明：x1+x参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.D

7.B

8.A

9.ABD

10.ABD

11.ABD

12.2313.9π214.2

15.解：(1)因为an+1+4a若an+1an=0，则所以an+1an所以1an+1−1a所以数列1an是以首项为2，公差为(2)由(1)知1a数列1an的前n项和为所以−1n设数列−1nSn的前n当n为偶数时Tn因为n2所以Tn当n为奇数时，n−1为偶数．Tn所以T

16.解：(1)由题意知bcos由正弦定理asinA=所以sinB+C又因A+B+C=π，则B+C=π−A，所以sinB+C因A为▵ABC的内角，所以sinA≠0由sinA=2sinAcosA(2)因AD是▵ABC中BC边上中线，则AD=即2AD=AB则2AD所以36=b所以bc≤12，当且仅当b=c时，等号成立．故S△ABC=12bc

17.解：(1)取AB的中点N，连接MN,CN，BD与CN交于Q点，在底面矩形ABCD中，易知tan∠DBC=所以∠BNC=∠DBC⇒BD⊥CN，因为MC⊥BD,MC∩NC=C,MC、NC⊂平面CMN，所以BD⊥平面CMN，因为MN⊂平面CMN，所以BD⊥MN，易知MN//SA，所以BD⊥SA，由题意可知AC所以SA⊥AC，而AC,BD相交，且AC,BD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD；

(2)由上可知SA⊥AD，SA⊥AB，AB⊥AD，以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、S0,0,2、C2,22,0设平面AMC的法向量为m=(x,y,z)，则AC=2,2则m⋅AC=2x+22设SP=λSC=λ则AP=因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为30则cosAP解得λ=14，即

18.解：(1)设F1(−c,0),F2(c,0)，由▵故kF1H⋅k又因点P(263,1)因b2=a2−1故椭圆C的方程为x2(2)

如图，由(1)知，A(−2,0),F2(1,0)由对称性可得，k1若直线l

的

斜率为k，则l的方程为y=k(x−1)，由y=k(x−1)x24+y2显然Δ>0，设D(x1,于是，k=k[2−3(x1则直线l的方程为7x−y−7=0．(3)先来证明过椭圆C:x2m2+由椭圆C:x2当y>0时，y=n1−x∴当y0>0∴切线方程为y−y整理为：n2两边同时除以m2n2同理可证：y0<0时，切线方程也为当y0=0时，切线方程为x=±m满足综上，过椭圆上一点Q(x0,依题意，设椭圆上的点Q(x0,y0即3x0x+4由椭圆的第二定义，QF1x0+则QF故d2

19.解：(1)函数f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”．理由如下：因为f(x)=x3−3x因为f(3)=1，f(−1)=−3，所以f(3)−f(−1)3−(−1)令f′(x)=1，得3x2−6x=1因为−1<3−233<3+2(2)①因为f(m)=f(n)，所以f(m)−f(n)m−n=0因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”，所以f′由题意可得f′设g(x)=f′(x)=x−lnx−a−1当x∈(0,1)时，g′(x)<0，则g(x)当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)故f′(x)因为f′x1=f′x2=0，所以−a<0，所以②证明：不妨设0<x则x1−lnx1−a−1=0，要证x1+x2设ℎ(x)=g(x)−g(1−ln则ℎ′设φ(x)=x(1