2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）第三次质检数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）第三次质检数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|y=2x−x2},B={y|y=2x+1,x∈R}A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cosπ3,sinA.0 B.12 C.223.已知函数f(x)为偶函数，其图像在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y+1=0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(−1)=(

)A.−12 B.12 C.−24.设函数f(x)=log2|x|−x−2，则不等式A.[−4,0] B.[−4,0)

C.[−4,−1)∪(−1,0] D.[−4,−1)∪(−1,0)5.已知函数f(x)=x2+2x+aln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是A.a≥0 B.a<−4 C.a≥0或a≤−4 D.a>0或a<−46.设方程3x⋅|log3x|=1的两根为x1A.0<x1<1，x2>3 B.x17.若a=0.001+sin0.001，b=ln1.001，c=A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b8.已知可导函数f(x)的定义域为R，f(x2−1)为奇函数，设g(x)是f(x)的导函数，若g(2x+1)为奇函数，且g(0)=12A.132 B.−132 C.11二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)的图像的对称轴方程为x=3，则函数f(x)的解析式可以是(

)A.f(x)=x+1x+3 B.f(x)=ex−3+e10.已知函数f(x)=(2sinx+2)(cosx+1)sinx+cosx+1，则(

)A.f(x)的值域为[−2,2]

B.f(x)是周期函数

C.f(x)在(π4+2kπ,π+2kπ),k∈Z11.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=−2，其导函数f′(x)满足：f′(x)−2f(x)e2x=2x−1，则下列结论正确的是A.函数f(x)有且仅有两个零点

B.函数g(x)=f(x)+2e2有且仅有三个零点

C.当0≤x≤2时，不等式f(x)≥3e4(x−2)恒成立

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=lnx+(x−b)22在[1213.max{x1,x2,x314.已知函数f(x)=(x+1)ex,x≤0lnxx,x>0，函数g(x)=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

求下列函数的导数．

(1)y=excosx−t2(t为常数16.(本小题12分)

已知函数f(x)=axlnx−32x−12x+2．

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)对∀x∈[1,+∞)17.(本小题12分)

为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛−校际联赛−选拔性竞赛−国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县(区)地(市)、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得−1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．

(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；

(2)若经过n轮踢球，用pi表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②规定p0=0，且有pi=Api+1+Bpi−1，请根据①18.(本小题12分)函数f(x)=ln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，曲线y=f(x)上两点(x1,f(x(3)盒子中有编号为1∼100的100个小球(除编号外无区别)，有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：p<1e19.(本小题12分)已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn，其中m>0，n>0，且m≠n，记点(1)求C的方程，并说明轨迹的形状;(2)设点B(−m,0)，若曲线C上两动点M，N均在x轴上方，AM/​/BN，且AN与BM相交于点Q．(ⅰ)当m=22，n=4时，求证：1|AM|+(ⅱ)当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立?若存在，求λ(用m，n表示);若不存在，请说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.BD

10.BCD

11.AC

12.(−∞,913.2

14.(−115.解：(1)解：由函数y=excosx−t2，

可得y′=(excosx)′−(t2)′=(16.解：(1)当a=1时，f(x)=xlnx−32x−12x+2，x>0，

f′(x)=lnx+x⋅1x−32+12⋅1x2=lnx−12+12⋅1x2，

令g(x)=lnx−12+12x2，x>0，

g′(x)=1x−1x3=x2−1x3，

令g′(x)=0得x=1，

所以在(0,1)上g′(x)<0，g(x)单调递减，

在(1,+∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)min=g(1)=0，

所以g(x)≥0，即f′(x)≥0，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，无单调递减区间．

(2)f′(x)=alnx+12x2+a−32，

令ℎ(x)=alnx+12x2+a−32，

ℎ′(x)=ax−1x17.解：(1)甲命中为事件A，乙命中为事件B，A，B相互独立，P(A)=12，P(B)=23，甲的得分X的可能取值为−1，0，1，

P(X=−1)=P(A−B)=P(A−)P(B)=(1−X−101P111所以E(X)=−1×13+0×12+1×16=−16，

(2)①由(1)知p1=16，p2=P(X=0)P(X=1)+P(X=1)[P(X=0)+P(X=1)]=12×16+16×(12+16)=736，

经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：

一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，四是两轮各得1分，1轮得−1分，

18.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，

对于方程x2+(2−2a)x+1=0，△=(2−2a)2−4=4(a2−2a)，

当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+(2−2a)x+1≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当△>0，即a<0或a>2时，方程x2+(2−2a)x+1=0有两个不等根，

x1=a−1−a2−2a，x2=a−1+a2−2a，而x1+x2=2(a−1)，x1x2=1，

所以当a<0时，x1<x2<0，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a>2时，0<x1<x2，x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)时，f′(x)>0，x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，

综上，当a≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a>2时，f(x)在(0,a−1−a2−2a)和(a−1+a2−2a19.解：(1)设点P(x,y)，由题意可知(x−m即(x−m)经化简，得C的方程为x2当m<n时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆;当m>n时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线．(2)设点M(x1,y1)，N(x2,y2(ⅰ)由(1)可知C的方程为x216+y2因为AM/​/BN，所以y1因此，M，A，M′三点共线，且|BN|=(法一)设直线MM′的方程为x=ty+22，联立C的方程，得则y1+y由(1)可知|AM|=22所以1|AM|+=4−2(法二)设∠MAx=θ，则有|AM|22同理由|AM′|22所以1|AM|+1由椭圆定义|BQ|+|QM|+|MA|=8，得|QM|=8−|BQ|−|AM|，∵AM//BN，∴|AM|解得|BQ|=(8−|AM|)⋅|BN|同理可得|AQ|=(8−|BN|)⋅|AM|所以|AQ|+|BQ|=(8−|BN|)|⋅|AM||AM|+|BN|=8−2因为|AB|=42，所以△ABQ的周长为6+4(ⅱ)当m>n时，曲线C的方程为x2根据(i)的证明，同理可得M，A，M′三点共线，且|BN|=|AM′|，(法一)设直线MM′的方程为x=sy+m，联立C的方程，得[(m∴y1+y因为|AM|=mn(所以1=(m=sm将(∗)代入上式，化简得1|AM