十五章 分式单元测试 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

十五章分式限时检测卷时间：100分钟分值：120分得分：__________一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1．计算3－1的结果是()A．3 B．eq\f(1,3) C．－eq\f(1,3) D．－32．下列各式中，是分式的是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(xy,2) C．eq\f(4,a－b) D．eq\f(2y－1,π－3)3．(2023日照)芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为()A．1.4×10－8 B．14×10－7 C．0.14×10－6 D．1.4×10－94．要使分式eq\f(2,3－x)有意义，则x应满足的条件是()A．x>3 B．x<3 C．x≠0 D．x≠35．解分式方程eq\f(x,x－1)＝eq\f(3,2x－2)－2时，去分母后得到的式子是()A．2x＝3－2x＋2 B．2x＝3－4x－4 C．2x＝3－4x＋4 D．2x＝3－4x＋26．如果把分式eq\f(x,x＋y)中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值将()A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的eq\f(1,3) D．不变7．化简eq\f(m－1,m)÷eq\f(1－m,m2)的结果是()A．m B．eq\f(1,m) C．－m D．－eq\f(1,m)8．下列运算结果正确的是()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(x－y,xy) B．eq\f(b,a－b)＋eq\f(a,b－a)＝－1C．eq\f(－a－1,a2－1)＝－eq\f(1,a＋1) D．eq\f(a2－1,a)·eq\f(1,a＋1)＝－19．(2023青海)为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意，下列方程正确的是()A．eq\f(15,x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(15,2x) B．eq\f(15,x)＝eq\f(15,2x)＋eq\f(1,2)C．eq\f(15,x)＋30＝eq\f(15,2x) D．eq\f(15,x)＝eq\f(15,2x)＋3010．对于两个非零的实数a，b，规定a⊕b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a).若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(5,4) C．eq\f(3,2) D．－eq\f(1,6)二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分)11．化简eq\f(3,1－x)－eq\f(3x,1－x)的结果为__________．12．(2023北京)方程eq\f(3,5x＋1)＝eq\f(1,2x)的解为__________．13．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b2)))eq\s\up12(－1)·(a2b－3)2＝__________.14．若2n－m＝1，则式子eq\f(m2－4n2,m)·eq\f(2m,m＋2n)的值是__________．15．如果关于x的分式方程eq\f(2x－m,x＋1)＝1的解是负数，那么实数m的取值范围是______________．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分)16．计算：|－3|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＋20240－eq\r(4).17．计算：eq\f(2x,x－2)－eq\f(x2－1,x2－4x＋4)·eq\f(2x－4,x＋1).18．(2023鞍山)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋2)＋1))÷eq\f(x2＋6x＋9,x2－4)，其中x＝4.四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分)19．解方程：(1)(2023泰州)eq\f(x,2x－1)＝2－eq\f(3,1－2x)；(2)eq\f(x＋2,x－2)－eq\f(16,x2－4)＝1.20．(2023盐城)课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a＞b＞0，M＝eq\f(a,b)，N＝eq\f(a＋1,b＋3)，试比较M与N的大小．小华：整式的大小比较可采用“作差法”．老师：比较x2＋1与2x－1的大小．小华：∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，∴x2＋1＞2x－1.老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：eq\f(23,68)______eq\f(22,65).(填“＞”“＝”或“＜”)21．某乡镇政府准备对一条长为3200m的道路进行绿化，工人按原计划绿化800m后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．(1)原计划每天绿化道路多少米？(2)已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分)22．(2023阜新)为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．(1)求足球和排球的单价各是多少元；(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？23．观察下列式子，探索它们的规律并解决问题：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…(1)试用正整数n表示上述式子的规律，并加以证明；(2)运用(1)中得到的规律解方程：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋eq\f(1,（x＋2）（x＋3）)＋…＋eq\f(1,（x＋2022）（x＋2023）)＝1＋eq\f(1,x).1．B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.B10.A11．312.x＝113.eq\f(a3,b4)14.－215.m＜－1且m≠－216．解：原式＝3－4＋1－2＝－2.17．解：原式＝eq\f(2x,x－2)－eq\f(（x＋1）（x－1）,（x－2）2)·eq\f(2（x－2）,x＋1)＝eq\f(2x,x－2)－eq\f(2（x－1）,x－2)＝eq\f(2x－2x＋2,x－2)＝eq\f(2,x－2).18．解：原式＝eq\f(1＋x＋2,x＋2)÷eq\f(（x＋3）2,（x＋2）（x－2）)＝eq\f(x＋3,x＋2)·eq\f(（x＋2）（x－2）,（x＋3）2)＝eq\f(x－2,x＋3).当x＝4时，原式＝eq\f(4－2,4＋3)＝eq\f(2,7).19．解：(1)方程两边乘2x－1，得x＝2(2x－1)＋3.解得x＝－eq\f(1,3).检验：当x＝－eq\f(1,3)时，2x－1≠0.所以，原分式方程的解为x＝－eq\f(1,3).(2)方程两边乘(x＋2)(x－2)，得(x＋2)2－16＝(x＋2)(x－2).解得x＝2.检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，因此x＝2不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．20．解：(1)M－N＝eq\f(a,b)－eq\f(a＋1,b＋3)＝eq\f(a（b＋3）,b（b＋3）)－eq\f(b（a＋1）,b（b＋3）)＝eq\f(ab＋3a－ab－b,b（b＋3）)＝eq\f(3a－b,b（b＋3）).∵3a＞b＞0，∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0.∴eq\f(3a－b,b（b＋3）)＞0.∴M＞N.(2)＜.21．解：(1)设原计划每天绿化道路xm.根据题意，得eq\f(800,x)＋eq\f(3200－800,（1＋20%）x)＝28.解得x＝100.经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天绿化道路100m.(2)800÷100＝8(天)，28－8＝20(天).5000×8＋5000×(1＋40%)×20＝180000(元).答：承包商共需支付工人工资180000元．22．解：(1)设足球的单价是x元，则排球的单价是(x－15)元．根据题意，得eq\f(480,x)＝eq\f(390,x－15).解得x＝80.经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．∴x－15＝65.答：足球的单价是80元，排球的单价是65元．(2)设学校可以购买m个足球，则可以购买(100－m)个排球．根据题意，得80m＋65(100－m)≤7550.解得m≤70.∴m可以取的最大值为70.答：学校最多可以购买70个足球．23．解：(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).证明：右边＝eq\f(n＋1,n（n＋1）)－eq\f(n,n（n＋1）)＝eq\f(n＋1－n,n（n＋1）)＝eq\f(1,n（n＋1）)，∴左边＝右边，即eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)根据(1)中的规律，方程可变形为eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x＋2)