初中数学《几何旋转》重难点模型汇编（四大题型）含解析

水不撩不知深浅专题旋转重难点模型汇编12”】3构造旋转模型解题】4511如图1△ABC中，∠A=90°AB=AC=2DE分别在边ABAC上AD=AE=2-2DE．现将△ADE绕点Aα0°<α<360°CEBD．(1)如图20°<α<90°CE=BD；(2)如图3α=90°CE交BD于点F：CF垂直平分BD；(3)连接CD△BCDα的度数．(1)见解析(2)见解析(3)△BCD的面积的最大值为3-2α=135°(1)AB=ACAD=AE∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，人不拼怎知输赢·1·水不撩不知深浅AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE≌△ABDSAS，∴CE=BD；(2)AB=ACAD=AE∠CAB=∠EAD=90°，在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD∴△ACE≌△ABDSAS，∴∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠AEC=90°∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90°，∴∠EFB=90°，∴CF⊥BD，∵AB=AC=2AD=AE=2-2∠CAB=∠EAD=90°，∴BC=AB+AC2=2CD=AC+AD=2，∴BC=CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；(3)解：在△BCDBCBC边上的高取最大值时，△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD∵AB=AC=2AD=AE=2-2∠CAB=∠EAD=90°DG⊥BC，12∴AG=BC=1∠GAB=45°，∴DG=AG+AD=3-2∠DAB=180°-45°=135°，1212∴△BCD的面积的最大值为：BC⋅DG=×2×3-2=3-2，此时旋转角α=135°．2如图1Rt△ABC中，∠C=90°AC=BC=2DE分别为AC,BC△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△E(如图2)E恰好过点．B人不拼怎知输赢·2·水不撩不知深浅(1)判断与(2)求BE的长；(3)若将△CDE绕点CE过Rt△ABCBE长的其它所有值．(1)⊥14-2(2)(3)22+1414-2或22(1)解：与的位置关系为⊥．∵AC=BCDE分别为AC,BC的中点，∴CD=CE=CE，∵∠C=90°∠BCA=∠CE=90°，∴∠=∠BCE,∴△A≌△CEB，∴∠CEB=∠A，∵∠C=90°=CEAC=BC，∴∠E=∠CE=∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CEB=∠A=135°，∴∠B=135°-45°=90°，即：⊥．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC+BC2=22E=2，∵△A≌△CEB，∴=BE，设=BE=x，在Rt△Bx+2+x=222，14-2解得：x=∴BE=(舍负)，214-2．2人不拼怎知输赢·3·水不撩不知深浅14-2(3)B(2)已求BE=；2②经过点A同理可证：△A≌△CEB，∴∠AC=∠EBCBE=∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠BCA=90°，设BE==x，在Rt△AEBx+x-2=222，2+14解得：x=即：BE=(舍负)，22+14；2③再次经过点B，，同理可证：△A≌△CEB⊥BE设BE==x，在Rt△Bx+x-2=222，2+14解得：x=(舍负)，22+14即：BE=；22+1414-2综上所述：BE=或BE=．22题的关键．3如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．(11E在BC上D在ACBE与AD的数量关系是；(2△DCE绕点C旋转到如图2ADBE(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3△DCE绕点CAC=6CE=22AED三点在同一直线上时，人不拼怎知输赢·4·水不撩不知深浅直接写出BE的长．(1)BE=ADBE⊥AD(2)(1)(3)42-2或42+2(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=ACEC=DC∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=ADBE⊥AD；(2)解：(1)中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=ACEC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)E在线段AD3C作CM⊥AD于M，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CM⊥AD，12∴CM=EM=DE=2，在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC+AB2=62，在Rt△ABE中，人不拼怎知输赢·5·水不撩不知深浅BE=AB-AE2=42+2；②当点D在线段AE4C作CN⊥AE于N，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CN⊥AD，12∴CN=EN=DE=2，在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB-AE2=42-2；综上，BE的长为42-2或42+2．41△ABC中，AB=AC∠BAC=60°DE分别是ABAC上的点，AD=AE发现BDCE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2位BDCE的数量关系；(2)当∠BAC=90°△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点CDE∠ADB的度数．(1)BD=CE(2)①BD=CEBD⊥CE45°或135°(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，人不拼怎知输赢·6·水不撩不知深浅∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；(2)①BD=CEBD⊥CE，BD交AC于点FCE于点M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CEBD⊥CE；②如图，当点CDED在线段CEI所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；当点CDEE在线段DEII所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，人不拼怎知输赢·7·水不撩不知深浅∴∠ADB=∠EDB+∠ADE=135°；故∠ADB的度数为：45°或135°．5△ABCD是△ABCADAB=AC=2AD=6AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AEEDCEBD．(1)如图1D在线段ECEC与线段BD的数量关系是；(2)如图2EC交BD于点P(1)中线段EC与线段BD(3)如图3EC交BD于点PQ是ACDCPQDC=32PQ的长．(1)BD=CEBD⊥CE(2)(1)中线段EC与线段BD32(3)PQ的长为(1)解：BD=CEBD⊥CE∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°AB=AC，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，AB=AC在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥CE；故答案为：BD=CEBD⊥CE；(2)解：(1)中线段EC与线段BD的关系依然成立；理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°AB=AC，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，人不拼怎知输赢·8·水不撩不知深浅∴∠DAE=90°AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，AB=AC在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)PQ，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵点Q是AC边的中点，1232∴PQ=AE=．掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．2”】6ABCD是正方形，MN分别在边CDBC∠MAN=45°△ADM绕点A顺时针旋转90°D与点BAMANMN．(1)试判断DMBNMN之间的数量关系；(2)MN分别在正方形ABCD的边BCCD的延长线上，∠MAN=45°MN人不拼怎知输赢·9·水不撩不知深浅MNDMBN(3)ABCD中，AB=AD∠BAD=120°∠B+∠D=180°NM分别在边BCCD上，∠MAN=60°BNDMMN之间数量关系．(1)MN=DM+BN(2)MN=BN-DM(3)MN=DM+BN(1)解：MN=DM+BN，证明如下：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=∠D=90°，AE=AMBE=DM∠ABE=∠D=90°∠DAM=∠BAE，∴∠ABE+∠ABC=180°，∴点EBC共线，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAE+∠BAM=90°=∠EAM，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，AE=AM在△EAN和△MAN中，∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MANSAS，∴EN=MN，∵EN=BE+BN，∴MN=DM+BN；(2)解：MN=BN-DM，证明如下：BC上取BE=MDAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°AB=AD，∵∠ADC+∠ADM=180°，∴∠ADC=∠ADM=∠ABE=90°，AB=AD在△ABE和△ADM中，∠ABE=∠ADM，BE=DM∴△ABE≌△ADMSAS，人不拼怎知输赢·10·水不撩不知深浅∴AE=AM∠BAE=∠MAD，∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN，AE=AM在△EAN和△MAN中，∠EAN=∠MAN，AN=AN∴△EAN≌△MANSAS，∴EN=MN，∵EN=BN-BE，∴MN=BN-DM；(3)△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，∴∠B=∠ADEAB=ADAE=AN，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠ADC=180°，∴点EDC共线，∵∠BAN+∠NAD=∠BAD=120°，∴∠DAE+∠NAD=∠NAE=120°，∵∠MAN=60°，∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=60°=∠MAN，AE=AN在△EAN和△MAN中，∠EAM=∠NAM，AM=AM∴△EAM≌△NAMSAS，∴EM=MN，∴MN=DM+BN．构造全等三角形是解题的关键．7△ABC中，AB=ACDE是BC△ABD绕点A△接E．(1)当∠BAC=120°∠DAE=60°DE=E；人不拼怎知输赢·11·水不撩不知深浅(2)当DE=E时，∠DAE与∠BAC(3)在(2)∠BAC=90°BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？(直)(1)见解析12(2)∠DAE=∠BAC(3)DE=2BD(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△，∴AD=∠=∠BAD，∵∠BAC=120°∠DAE=60°，∴∠AE=∠+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠AE，在△ADE和△E中，AD=∵∠DAE=∠AE，AE=AE∴△ADE≌△E(SAS)，∴DE=E；12(2)解：∠DAE=∠BAC．AD=AE=AEDE=E△ADE和△E中，，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，12∴∠DAE=∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠=45°，∴∠CE=45°+45°=90°，∵△EC是等腰直角三角形，∴E=2，由(2)DE=E，∵△ABD绕点A旋转得到△，∴BD=C，∴DE=2BD．人不拼怎知输赢·12·水不撩不知深浅记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．81ABCD中，∠EAF=45°：EF=BE+DF小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∠B=∠ADC=90°．把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE△AFE≌△AFEEF=EF．EF=ED+DF=BE+DF(112如图2ABCD中，AB=AD∠B=∠D=90°∠EAF=∠BADEFBEDF之间的数量关系．12(23ABCD中，AB=AD∠B+∠D=180°∠EAF=∠BAD：EF=BE+DF．(34ABPC是⊙O的内接四边形，BC是直径，AB=ACPB+PC与AP的关系．(1)BE+DF=EF(2)证明见解析(3)PB+PC=2PA(1)BE+DF=EF△ABE绕点A∠BADAB与ADE转到点E所示，人不拼怎知输赢·13·水不撩不知深浅可知△ABE≌△ADE，∴BE=DE．由∠ADC+∠ADE=180°知，CDE共线，12∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE+∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AEF，∴EF=EF=BE+DF．(2)△ABE绕点A∠BADAB与ADE转到点E的位置，如图所示，由旋转可知△ABE≌△ADE，∴BE=DE∠B=∠ADE∠BAE=∠DAEAE=AE．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADE=180°，∴点CDE在同一条直线上．12∵∠EAF=∠BAD，1212∴∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠DAE+∠DAF=BAD，12∴∠FAE=∠BAD，∴∠EAF=∠FAE．∵AF=AF，∴△FAE≌△FAE，∴FE=FEBE+DF=EF．(3)结论：PB+PC=2PA△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ABAC与人不拼怎知输赢·14·水不撩不知深浅由圆内接四边形性质得：∠+∠ACP=180°即PC在同一直线上．∴BP=AP=，，∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠+∠PAC=∠，∴△为等腰直角三角形，∴=2PA，即PB+PC=2PA．直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．9阅读下面材料．1EF分别在正方形ABCD的边BCCD上，∠EAF=45°EFEF=BE+DFABAD△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG(如图2)．(1)写出小炎的推理过程；(2)如图3ABCD中，AB=AD∠BAD=90°EF分别在边BCCD上，∠EAF=45°∠B∠D∠B与∠D满足于EF=BE+DF；(3)如图4△ABC中，∠BAC=90°AB=ACDE均在边BC∠DAE=45°BD=1EC=2DE的长．(1)见解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5(1)△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∠B=∠ADC=∠BAD=90°，人不拼怎知输赢·15·水不撩不知深浅由旋转的性质可得AE=AGBE=DG∠BAE=∠DAG∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°CDG三点共线，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGFSAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DGDG=BE，∴EF=BE+DF；(2)∠B+∠ADC=180°EF=BE+DF△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=DGAE=AG∠BAE=∠DAG∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°CDG三点共线，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGFSAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DGDG=BE，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；(3)△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴∠B=∠ACGBD=CG=1AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°∠ACG+∠ACB=90°∠ECG=90°∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，人不拼怎知输赢·16·水不撩不知深浅又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGESAS，∴GE=DE，在Rt△CEGGE=CE∴DE=GE=5．+CG2=5，助线构造全等三角形是解题的关键．10如图1EF分别是正方形ABCD的边CDBC∠EAF=45°BF，EFED△DAE顺时针旋转90°△BAH请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．(1)线段BFEFED之间的数量关系是．(2)如图2ABCD中，∠EAF=45°BDAFAE于点MNBM，MNND(1)EF=BE+DF(2)MN=BM+DN2(1)EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE∠ADE=∠ABH=90°HB=DE∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴FBH三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFHSAS，∴EF=FH，人不拼怎知输赢·17·水不撩不知深浅∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)结论：MN=BM+DN,证明如下：△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG∠ABG=∠ADB=45°∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANMSAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM+BG=GM2，∴MN=BM+DN．3构造旋转模型解题】11ABCD中EF分别在线段BCCD∠EAF=45°AEAF分别与BD相交于点MNBE+DF=EFA到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE=2DF=3SAEF=15AB=62BM=3MN=5．其中结论正确的个数是()A.4B.3C.21ABH=DFAH=AF∠BAH=∠DAF∠EAH=∠EAF=45°等三角形的性质得到EH=EF∠AEB=∠AEFBE+BH=BE+DF=EFA人不拼怎知输赢·18·水不撩不知深浅作AG⊥EF于GAB=AGA到线段EF的距离一定等于正方EF=BE+DF=5BC=CD=nSAEF=15△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ△AMQ≌△AMN(SAS)MQ=MN，再证明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°MN=xx即可．△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DFAH=AF∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45o，AE=AE∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE与△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEG，AE=AE∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴点A到线段EF∵BE=2DF=3，∴EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，∴CE=n-2CF=n-3，∴EF=CE+CF2，∴25=(n-2)+(n-3)2，∴n=6(负值舍去)，∴AG=6，12∴SAEF=×6×5=15．故③正确；人不拼怎知输赢·19·水不撩不知深浅△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQQM，由旋转的性质得，BQ=DNAQ=AN∠BAQ=∠DAN∠ADN=∠ABQ=45°，∵∠EAF=45°，∴∠MAQ=∠BAQ+∠BAE=∠DAN+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠MAQ=∠MAN=45°，在△AMQ和△AMN中，AQ=AN∠MAQ=∠MAN，AM=AM∴△AMQ≌△AMN(SAS)，∴MQ=MN，∵∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，∴BQ+MB=MQ2，∴ND+MB=MN2，∵AB=62，∴BD=2AB=12，设MN=xND=BD-BM-MN=9-x，∴3+(9-x)=x2，解得：x=5，∴MN=5故选A．是旋转三角形ADF和三角形AND．12P是正方形ABCDPAPBPC．若PA=4PB=2∠APB=135°PC的长为．人不拼怎知输赢·20·水不撩不知深浅26BA=BC∠ABC=90°△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBEPEBP=BE=2CE=AP=4∠PBE=90°∠BEC=∠APB=135°△PBEPE=2PB=22∠PEB=45°∠PEC=90°在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC∠ABC=90°，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBEPE∴BP=BE=2CE=AP=4∠PBE=90°∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PE=2PB=22∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22CE=4，∴PC=4+(22)2=26．故答案为：26．13(1)1△ABC和△DCE△DCA应转至点ADE在同一直线BE△BCE≌△ACD∠BEC=ADBE之间的数量关系；(2)2△ACB和△DCE∠ACB=∠DCE=90°ADE在同一直线AE=12DE=7AB的长度；(3)如图3P为等边三角形ABC∠APC=150°∠APD=30°AP=4CP=3DP=7BD的长．人不拼怎知输赢·21·水不撩不知深浅(1)①120°AD=BE(2)13(3)229本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE∠CDE=∠CED=60°ADE∠ADC=120°∠BEC=120°；(2)证明△ACD≌△BCE(SAS)AD=BE=AE-DE=15-7=8∠ADC=∠BEC∠AEB=∠BEC-∠CED=90°(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BECPE△BEC≌△APC△PCE是等边三角∠BED=90°DPEDE(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CBCD=CE∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．AC=BC在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点ADE在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；120°AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CBCD=CE∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．AC=BC在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，人不拼怎知输赢·22·水不撩不知深浅∴AD=BE=AE-DE=12-7=5∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵点ADE在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BECPEAP=4CP=3DP=7则△BEC≌△APC，∴CE=CP∠PCE=60°BE=AP=4∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即DPE在同一条直线上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE即BD的长为229．+DE2=229，414D是等边△ABCBD=3AD=4CD=5．(1)求∠ADB的度数；人不拼怎知输赢·23·水不撩不知深浅△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕点A逆时针旋转60°；△ABD进行旋转；△ACD进行旋转．∠ADB的度数；(2)若改成BD=6AD=8CD=10∠ADB的度数=°A到BD的距离为；类比迁移：(3)已知，∠ABC=90°AB=BCBE=1CE=3AE=5∠BEC的度数．(1)∠ADB=150°(2)1504.(3)∠BEC=135°(1)解：(1)1∠DBE=60°BE=BDDEAE△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3∠BDE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD+DE=4+3=5=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；2∠BFD=60°∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；3同理可得，∠AGD=60°∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；人不拼怎知输赢·24·水不撩不知深浅(2)同理(1)可得：AD+BD=CD2，∴∠ADB=150°，如图4A作BD的垂线AHH，∴∠ADH=30°，1∴AH=AD=4，2故答案为：1504.(3)如图5△ABE绕着点B顺时针旋转90°△CBFEF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF=BE+BF=2∵EF+EC=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，人不拼怎知输赢·25·水不撩不知深浅∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°15(1)问题发现：如图1△ABC内有一点PP到顶点ABC的距离分别为345∠APB的度数．为了解△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△PA,PB,PC转∠APB的度数．请按此方法求∠APB(2)拓展研究：请利用第(1)①如图2△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°EF为BC∠EAF=45°BE,EF,CF之间的数量关系并证明；②如图3△ABC中，∠ABC=30°AB=4BC=6△ABC内部有一点PPA,PB,PC出PA+PB+PC的最小值．(1)150°(2)①BE+CF=EF2213(1)连接AP==3,∠=60°BP==4∠APB=∠C，，到△'为等边三角形，=AP=3,∠P=60°且∠C=90°∠APB=∠C=150°；△C是直角三角形，(2)①证明∠B=∠ACB=45°△BAE绕点A逆时针旋转90°△CADDF∠BAE=∠DAC∠ACD=∠B=45°AD=AEBE=CD∠DCE=90°DF=CF2+CD=CF+BE2△AEF≌△ADFEF=DFBE+CF=EF；②将△ABP绕点B逆时针旋转60°△C，，∠ABA=∠=60°B=AB=4BP==AP△为等边三角形，∠BC=90°BP=线段最短得到PA+PB+PC=++CP≥CPCPA，，，四点共线时，+PB+PC的值最小为CC=213PA+PB+PC的最小值为213．(1)连接，人不拼怎知输赢·26·水不撩不知深浅∵将△APB绕顶点A逆时针旋转60°到△，∴AP==3,∠=60°BP==4,∠APB=∠C，∴△'为等边三角形，∴=AP=3,∠P=60°，∵P+C=3+4=25PC=5=25，∴P+C=PC2，∴△C是直角三角形，且∠C=90°，∴∠C=∠P+∠P=150°，∴∠APB=∠C=150°；(2)①BE+CF=EF．证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，△BAE绕点A逆时针旋转90°△CADDF，则：∠BAE=∠DAC∠ACD=∠B=45°AD=AEBE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF=CF+CD=CF+BE2，∵∠EAF=45°∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE+CF=EF；②PA+PB+PC的最小值为213△ABP绕点B逆时针旋转60°△C，，，，，，则：∠ABA=∠=60°B=AB=4BP==AP人不拼怎知输赢·27·水不撩不知深浅∴△为等边三角形，∠BC=∠BA+∠ABC=90°，∴BP=，∴PA+PB+PC=++CP≥C，∴当且仅当PC四点共线时，PA+PB+PC的值最小为C的长，∵∠BC=90°，∴C=B+BC2=4+62=213，∴PA+PB+PC的最小值为213．16(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：1ABC内有一点PPA=3PB=4PC=5∠APB的度数．2△AP′C接PP′将问题解决．1中∠APB的度数等于150°．(1)如图3ABCD内有一点PPA=135°ꢀPB=1PD=∠APB的度数等于ꢀ；(2)如图4ABCDEF内有一点PPA=2PB=1PF=120°，∠APB的度数等于正六边形的边长为ꢀꢀ．△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3P′D=PB=4∠PAP′=60°，人不拼怎知输赢·28·水不撩不知深浅∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3∠AP′P=60°，∵PP′+P′C=3+4=25PC=5=25，∴PP′+P′C=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如图3△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=22P′D=PB=1∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4∠AP′P=45°，∵PP′+P′D=4+1=17PD=17=17，∴PP′+P′D=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′PB三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，1212则AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；16(2)如图4∵正六边形的内角为×(6-2)•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2P′F=PB=1∠PAP′=120°，12∴∠APP′=∠AP′P=(180°-120°)=30°，过点A作AM⊥PP′于MPP′与AF相交于N，1212则AM=PA=×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′+P′F=(23)+1=13PF=13=13，人不拼怎知输赢·29·水不撩不知深浅∴PP′+P′F=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，1232∴AN=FNP′N=MN=P′M=，72在Rt△AMN中，AN===，72∴AF=2AN=2×=7．故答案为：150°(1)135°，13(2)120°，7．517ABCD是菱形，AB=6∠ABC=60°MAMBM，CMAM+BM+CM的最小值为．63BM为边作等边△BMNBC为边作等边△BCEBM=BN=MNBC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，人不拼怎知输赢·30·水不撩不知深浅∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当AMNE四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AEAH=EH∠BAH=30°，12∴BH=AB=3AH=3BH=33，∴AE=2AH=63．故答案为63．辅助线是解答本题的关键．18ABC内有一点P．(1)若PA=2PB=3PC=1∠BPC的度数；(2)若等边三角形边长为4PA+PB+PC的最小值；(3)ABCD内有一点PPA=5PB=2PC=1ABCD的边长．(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5(1)解：如图所示，人不拼怎知输赢·31·水不撩不知深浅将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段B∴△BPC≌△A，、，AP∴BP=BA=PC=1∠PB=60°∠AB=∠BPC，∴△BP是等边三角形，∴∠BP=∠PB=60°P=BP=3，∵+=1+3=4=AP2，∴△AP是直角三角形，∠AP=90°，∴∠AB=∠AP+∠BP=150°，∴∠BPC=150°，(2)△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，则△ABP≌△ACDPA=DA∠PAD=60°△APD是等边三角形，∴AP=PD，再将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE△APC≌△ADE∴PC=DE∠CAE=60°CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE当B,P,D,E四点共线时，PA+PB+PCBE的长，设BEAC交于点F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，12∴BE⊥AFBF=EF=BE,∴∠ABF=30°，1∴AF=AB=2,2在Rt△ABF中，BF=AB-AF2=23∴BE=2BF=43，,人不拼怎知输赢·32·水不撩不知深浅即PA+PB+PC的最小值为43；(3)△BPC绕点B逆时针旋转90°△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2AE=PC=1∠PBE=90°∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°PE=2PB=2，∵AE+PE=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，AEB作BF⊥AE于F∠F=90°，∵∠AEP=90°∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF+BF2=2+1=55．19△ABC所在平面上求一点P.这个问题是法国数学家费马1640图1△ABC三个内角均小于120°P在△ABC∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．人不拼怎知输赢·33·水不撩不知深浅(1)如图2△ABC内有一点PP到顶点ABC的距离分别为345∠APB△ABP绕顶点A旋转到△△≌△ABP这样就可以利用旋转变PAPBPC∠APB=；120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC以下问题．(2)如图3△ABC三个内角均小于120°△ABC外侧作等边三角形△：过△ABC的费马点．(3)如图4RT△ABC中，∠C=90°AC=1∠ABC=30°P为△ABCAPBP、CPPA+PB+PC的值．(4)如图5ABCD中EAEBECEAB=2AE+BE+CE的最小值．(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)6+2．(1)PP′，∵△ABP≌△，∴∠BAP=∠CAP′∠APB=∠AP′CAP=AP′=3BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，人不拼怎知输赢·34·水不撩不知深浅∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，+C=3+4=25=PC2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；(2)△APB逆时针旋转60°△AB′P′PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′PB=PB′AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，∵PA+PB+PC=++PC，∴点CPP′B′四点共线时，PA+PB+PC=CB′，∴点P在CB′上，∴过△ABC的费马点．(3)△APB逆时针旋转60°△AP′B′BB′PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=APAB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′