一、几何与函数问题的参考答案

几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】（上海市）（1）取中点，联结，为的中点，，．又，．，得；（2）由已知得．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，即．解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；②当时，，．．又，．，即，得．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．图=1\*GB3①BAQPC图=1\*GB3①BAQPCH由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，∴．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴，∴，∴，∴．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴，解得：．若PQ把△ABC面积平分，则，即－＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．P′BAQPC图=2\*GB3②MN（4）过点P′BAQPC图=2\*GB3②MN若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴，∴，∴，∴，∴，解得：．∴当时，四边形PQP′C是菱形．此时，，在Rt△PMC中，，∴菱形PQP′C边长为．【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．ABCMND图（2）OABCMND图（2）OQ由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，ABCMNP图（1）O∴．过M点作MQ⊥ABCMNP图（1）O在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．ABCMNP图（3）O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠ABCMNP图（3）O∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：=1\*GB3①当0＜≤2时，．ABCMNP图（4）OEABCMNP图（4）OEF=2\*GB3②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）ABCMND图（2）OQ（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则ABCMND图（2）OQ在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．ABCMNP图（1）O∴，．∴ABCMNP图（1）O∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．ABCMNP图（3）O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠BABCMNP图（3）O∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：=1\*GB3①当0＜≤2时，．∴当＝2时，ABCMNP图（4）OEF=2\*GB3②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BCABCMNP图（4）OEF∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．CDABEFNMGH∵DG＝CH，ADCDABEFNMGH∴△AGD≌△BHC（HL）．∴AG＝BH＝＝3．∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，∴DG＝4． ∴．CDABEFNMGH（2）∵MN∥AB，CDABEFNMGH∴ME＝NF，ME∥NF．∴四边形MEFN为矩形．∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠A＝∠B．∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，∴△MEA≌△NFB（AAS）．∴AE＝BF．设AE＝x，则EF＝7－2x．∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，∴△MEA∽△DGA．∴．∴ME＝．∴．当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．（3）能．由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．即7－2x．解，得．∴EF＝＜4．∴四边形MEFN能为正方形，其面积为．00000000………….2、（浙江温州市）（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM21①ABCDERPHQM21，，．，，ABCDEABCDERPHQABCDERPABCDERPHQ．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．3、（湖南郴州）（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以所以所以（2）的周长之和为定值．理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，所以BC＋CH＋BH＝24理由二：由AB＝5，AM＝4，可知在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：，所以，△BEF的周长是，△ECG的周长是又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．（3）设BE＝x，则所以配方得：．所以，当时，y有最大值．最大值为．4、（浙江台州）（1）如图，四边形是矩形，．又，，，，．，．，．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，，DQCBPDQCBPRA（图1）由（1）知，，，．，，．在中，根据题意得：，解这个方程得：．（3）①当点在矩形的内部或边上时，，，，当时，当在矩形的外部时（如图（2）），，DQCBPRDQCB