12二次函数中的应用题学生版

第第页第讲二次函数中的应用题适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域课时时长（分钟）120分钟知识点二次函数与最值问题学习目标1二次函数中涉及到最值问题，往往利用函数思想，通过设元列出相关量的函数表达式，然后通过二次函数顶点求解方法进行最值的求解。学习重点1函数思想的运用以及对于函数的综合问题的了解。学习难点函数思想与数形结合思想的运用以及求值的问题。教学过程复习预习上节课我们对于掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题，理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法，理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法，理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法进行了学习。知识讲解1、求分段函数的最值，关键是把每一段的解析式表示正确．最值问题分为最短距离、三角形面积的最值、最大利润、一般函数的最值、分段函数的最值等，求分段函数的最值方法是求出每一段函数的最值，最后作比较，得出最值．2、二次函数的利润问题的应用三、例题精析例一.2015南京·27某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式；[来源:学_科_网]（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？例二、（2015南通，第26题，10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？例三．（2015无锡，第28题，10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB；（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形；①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；②设菱形OMPQ的面积为，△NOC的面积为，求的取值范围．课堂运用1、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CPQCPQBAMNCPQBAMN2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3．如图所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当三慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米。设AP=ｘ分米.（1）求ｘ的取值范围；（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；（3）设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留π）课后作业1、如图12，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。（1）求∠CPQ的度数。（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。FEFE图12（2）PDCQABRB图12（1）PRQACD2、如图，在梯形ABCD中，,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持，，，垂足分别为E、F求梯形ABCD的面积探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由.3．某公司有甲、乙两个绿色农场品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农场品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售。根据经验，该农场品在收获过程中两个种植基地累积总产量y（吨）与收获天数x（天）满足函数关系y=2x+3（1≤x≤10且x为整数）。该农场品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：百分比种植基地该基地的累积产量占两基地累积总产量的百分比该基地累积存入仓库的量占该基地的累积产量的百分比甲60%85%乙40%22.5%（1）请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量；（2）设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p（吨），请求出p（吨）与收获天数x（天）的函数关系式；（3）在（2）的基础上，若仓库内原有该种农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品揉入本地市场，若现在本地市场售出的该种农产品总量m（吨）与收获天数x（天）满足函数关系式（1≤x≤10且x为整数）。问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？课堂练习答案：1.【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t即得t=1.5.此时Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面积为.(2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ=(3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为·MN·(MP+QN)=×(t+(3-t))=为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求1<t<2.若t<=1或者t≥2则M，N两点都在底边中线同侧，如第二个图和第三个图所示.在第二个图中，BM=t，BN=1+t，所以梯形面积为S=×1×[t+(3-t))]=(2t+1)，此时0≤t≤1.类似地也可求得2≤t≤=3时的情况，此时面积为S=(7-2t).2.【答案】解：（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需元，故；当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤+100=250．即100≤x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；当x>250时，购买一个需3500元，故；所以，．(2)当0<x≤100时，y1=5000x≤500000<1400000；当100<x≤250时，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000；所以，由，得；由，得．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．3.【答案】23.解（1）因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10所以ｘ的取值范围是因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．所以CP=6所以AP=AC-PC=12-6=6即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米连接MN、EF，分别交AC与0、H，因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形。所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线在中，PM=6，又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC。因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，所以，所以MO/EH=CM/CE所以所以所以课后作业答案：【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC又AB=6,AD=2,∠C=90°∴CD=6,BC=2∴tan∠CBD＝=∴∠CBD=60°∵PQ∥BD∴∠CPQ=∠CBD=60°………2分（2）如题图12（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=60°,∴RP=2BP∵CP=x∴RP=x,PB=2-x.………4分∴在△RPB中，有2（2-x）=x∴x=………………6分（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图12（2）），﹤x﹤2在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）∴RP=CP=x∴ER=RF-PF=3x-4………7分在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30°∴ER=RF·tan30°=x-4∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)(3x-4)=-12x+8………8分又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF∴当﹤x﹤2时，函数的解析式为y=-（-12x+8）=-+12x-8（﹤x﹤2）…………10分∵y=-+12x-8=-(x-2)+4∴当﹤x﹤2时，y随x的增大而增大∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4…………12分2.【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因为AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，AG==3.所以梯形ABCD的面积是=18.（2）设MN=x，则EF=MN=x，所以DE==.因为ME⊥DC，NF⊥DC，所以ME//AG,∠MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以=，所以=，所以ME=，所以四边形MEFN的面积是S=MN·ME=x·==.所以当x=5时，四边形MEFN的面积的最大值是.（3）四边形MEFN能为正方形，且边长为x，则由（2）知道，=，所以=，所以x=.此时四边形的面积是.3.【答案】解：（1）①甲基地累积存入仓库的量：85%×60%y=0.51y（吨）………………