模型16 全等三角形-半角模型-原卷版

全等三角形模型（十六）——半角模型一：正方形中的半角模型【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45o）是另一个角（90o）的一半【结论】①EF=BE+DF①∶延长CB至点P，使得BP=DF连接AP,第一次全等第二次全等在△ABP和△ADF中在△AEP和△AEF中AB=AD（正方形边长相等）AP=AF∠ABP=∠ADF=90oº∠PAE=∠FAEBP=DF（构造）AE=AE∴△ABP≌△ADF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴AP=AF，∠1=∠2∴PE=EF∵∠2+∠3=45oº即PB+BE=EF∴∠1+∠3=45oº,∴DF+BE=EF∴∠PAE=∠FAE②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE由①得：△AEP≌△AEF，则∠4=∠5，∠AFE=∠P又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD∴EA平分∠BEF，FA平分∠DFE③△EFC的周长等于正方形边长的2倍由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF=BC+DC，∴△EFC的周长等于正方形边长的④如图：作AM⊥EF,则AM=AB过A作AM⊥EF，则∠AME=∠B=90º。由①得∠1=∠2，AE=AE，∴△ABE≌△AME（AAS）∴AM=AB⑤如图：∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC²【证明】如图，过点A作AP⊥AF且AP=AF.连接PE∵∠CAB=∠PAF=90º，∠1=∠2第一次全等第二次全等在△ABP和△ACF中在△AEP和△AEF中AB=ACAP=AF∠2=∠1∠PAE=∠FAEAP=AFAE=AE∴△ABP≌△ACF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴BP=CF，∠ABP=∠C=45oº∴PE=EF∵∠EAF=45oº在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²∴∠1+∠3=45oº,即EF²=CF²+BE²∴∠2+∠3=45oºeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)见半角，旋全角，盖半角，得半角。二：等腰三角形中的半角模型【条件】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60o，【结论】①MN=BM+CN;②△MAN的周长等于△ABC边长的2倍;③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线【证明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°.延长AB至点F，使BF=CN，连接DF，如图.在△BDF和△CDN中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，即∠FDM=60°=∠MDN.在△DMN和△DMF中，DN=DF,∠MDN=∠MDF,DM=DM,∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF=BM+CN,∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，∴△AMN的周长是AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长.三：对角互补且邻边相等的半角模型【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD=2∠EAF，AB=AD，【结论】①EF=BE+FD;②EA是∠BEF的平分线，FA是∠DFE的平分线.1．（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为_____．2．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，点在边上，．若，则的长为__________．1．（2022·浙江·南海实验学校旌旗山初中校区八年级期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．2．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．3．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．1．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．2．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC