江苏省常州市西夏墅高级中学2024-2025学年高三上学期期初调研 数学试题含答案

常州市西夏墅高级中学2024—2025学年度第一学期期初调研高三年级数学试卷考试时间120分钟本试卷共22题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知等边三角形的边长为1，那么（

）A． B． C． D．3．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（

）A． B． C． D．4．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．26．已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．已知角是锐角，角是第四象限角,且，，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最小值是910．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．函数的最大值为 D．方程在上有5个实数根11．已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（

）A．已知，，，则有两解B．若是锐角三角形，，，设的面积为S，则C．若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则D．已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．若，则.13．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为.14．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；(2)求函数的单调区间16．已知函数的一段图象过点0,1，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数y=fx的图象向右平移个单位，得函数y=gx的图象，求y=gx在区间(3)若，求的值.17．在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足.(1)求；(2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值.18．已知是奇函数．（1）求实数的值；（2）求函数在上的值域；（3）令，求不等式的解集．19．当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.(1)若，，.①求；②设的周长为，求的值；(2)若，，求实数的最小值.1．C【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.【详解】，，故.故选：C2．D【分析】利用向量的数量积定义即可求解.【详解】因为等边三角形的边长为1，所以.故选：D.3．C【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.故选：C.4．D【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件.【详解】解：令，，因为在定义域上单调递增，由函数在上单调递减，则在上单调递减且恒成立，所以，解得，因为，所以使成立的一个充分不必要条件为.故选：D5．A【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值.【详解】由及，得.所以，所以.故选：A6．A【分析】根据分段函数的单调性求解即可.【详解】当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，所以在上单调递增，无最小值，根据题意，存在最小值，所以，即.故选：A.7．D【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状；【详解】化简得：，，根据正弦定理整理可得，因为即，所以或，可得或或,所以等腰三角形或直角三角形．故选：D．8．C【分析】利用同角三角函数的基本关系求出所有三角函数值，利用两角和的余弦公式判断A；利用两角和的正弦公式判断B；利用二倍角公式结合两角和的正切公式判断C；利用同角三角函数的基本关系结合给定条件判断D即可.【详解】因为，所以，因为角是锐角，角是第四象限角，，因为，解得，.因为，所以，解得，因为，所以，解得，由两角和的余弦公式得，故A正确，由两角和的正弦公式得，故B正确，因为，，所以，故D正确，由二倍角公式得，由两角和的正切公式得，故C错误.故选：C9．ACD【分析】利用三点共线证明.所以选项A正确，选项B错误；利用基本不等式证明选项C和选项D正确.【详解】因为，所以，又三点共线，所以.所以选项A正确，选项B错误；，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以选项C正确；因为当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确.故选：ACD10．ACD【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到，所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，又是的一个单调递增区间，所以，即，，解得，，因为，所以，故，的最小正周期，故A正确；令，，解得，，即的递增区间为，，所以在上单调递增，故B错误；，所以，所以函数的最大值为，故C正确；当时，令，则、、、、，即方程在上有5个实数根，故D正确.故选：ACD.11．BCD【分析】对A，由余弦定理可计算出有唯一解；对B，先利用正弦定理求出，再根据锐角三角形的面积求出的范围，再根据面积公式以及辅助角公式即可求解；对C，设，由余弦定理可得，代入数据计算即可得解；对D，分为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】解：对A，由余弦定理得：，即，解得：，又，故，故有唯一解，故A错误；对B，由正弦定理得：，解得：，又为锐角三角形，，解得：，则的面积为：，，，即,即，即，故B对；对C：设，则在直角三角形中，，，在中，有，即，即有，整理可得，即，故C正确；对D：若为钝角，如图，作于点，有，即，即，若为钝角，如图，作于点，有，即，即，综上所述：的取值范围是，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．2【分析】借助诱导公式化简求值即可得.【详解】原式.故答案为：.13．【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解.【详解】由题意知，又因，，所以，，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：14．##【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案.【详解】，，，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：15．(1)(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导根据直线垂直得到，解得答案.（2）求导得到，考虑和两种情况，讨论导数的正负得到函数单调区间.【详解】（1）函数的定义域为．曲线在点处的切线与直线垂直，所以．即．（2）由于．当时，对于x∈0,+∞，有在定义域上恒成立，即在0,+∞上是增函数．当时，由，得．当时，单调递增；当时，单调递减．综上所述：时，函数单调递增；时，函数在上单调递增，在上单调递减．16．(1)(2)(3)【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出y=gx的解析式，由可求出，进而得到y=gx的值域；（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.【详解】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过0,1，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以y=gx在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以，由，所以.所以，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由向量平行可以列出等式，然后用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可;（2）由题可知，分别利用面积公式即可得到关于的等式，再用基本不等式求解即可.【详解】（1），，即，，，，，.（2），，，,，即，，则，当且仅当时取等号，即面积的最小值为.18．（1）见解析；（2）①当时，值域为2,+∞；②当时，值域为；（3）.【分析】（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，，所以，即a=−1；当a=−1时，，此时为奇函数所以a=−1．（2）令（），所以

所以，对称轴，①当时，，所求值域为；②当时，，所求值域为；（3）因为为奇函数，所以所以为奇函数，

所以等价于，又当且仅当x=0时，等号成立，所以在上单调增，所以，即，又，所以或．所以不等式的解集是．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题.19．(1)①；②(2)【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系.（2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解.【详解】（1