高中数学 3.3模拟方法 概率的应用检测试题 北师大版必修3

【成才之路】-学年高中数学3.3模拟方法概率的应用检测试题北师大版必修3一、选择题1．如图，在地面上放置一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D．1[答案]A[解析]玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且在该圆盘的任何位置是无限多种，因此该问题是几何概型．由于A区域占整个圆形区域面积的eq\f(4,8)，所以玻璃球落入A区的概率为eq\f(1,2).2．在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是()A．0.001 B．0.002C．0.004 D．0.005[答案]C[解析]P＝eq\f(2,500)＝0.004.3．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C.eq\f(4,5) D．eq\f(3,10)[答案]B[解析]可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm2与49cm2之间为事件A，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm，则P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).4．在5万km2的某海域里有表面积达40km2的大陆架储藏着石油．若在这海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是()A.eq\f(1,1250) B．eq\f(1,250)C.eq\f(1,8) D．eq\f(1,125)[答案]A[解析]P＝eq\f(40,50000)＝eq\f(1,1250).5.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分成四个区域(如右图)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动．对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是()A．一样大 B．蓝白区域大C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定[答案]B[解析]由题意可知这是一个几何概型问题，因为指针自由转动时，指向哪个区域是等可能的，但由于矩形的长与宽不等，显然蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些，据几何概型概率公式，可知指针落在蓝白区域的概率要大于指针落在红黄区域的概率．6．在区间[－1,1]上随机地任取两个数x、y，则满足x2＋y2<eq\f(1,4)的概率是()A.eq\f(π,16) B．eq\f(π,8)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)[答案]A[解析]由于在区间[－1,1]上任取两数x，y有无限种不同的结果，且每种结果出现的机率是均等的，因此，本题为几何概型．由条件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴点(x，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴μΩ＝4.记事件A＝“x2＋y2<eq\f(1,4)”，则μA＝eq\f(π,4)，∴P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(π,16)，故选A.二、填空题7．(·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]由几何概型的概率可知，所求概率P＝eq\f(S阴,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∵S正＝1×1＝1，∴S阴＝0.18×1＝0.18.8．甲、乙两位同学玩掷飞镖的游戏，他们分别用如图中(1)、(2)所示的两个靶子，甲用的等边三角形的靶子被其三条角平分线分割成A、B、C三部分；乙用的圆形的靶子被互相垂直的直径和半径也分割成A、B、C三部分．在三角形靶子中，飞镖随机地落在区域A、B、C中的概率分别是________；在圆形靶子中，飞镖没有落在区域C中的概率是________．[答案]eq\f(1,3)、eq\f(1,3)、eq\f(1,3)eq\f(3,4)[解析]由等边三角形的性质知三条角平分线将等边三角形分成面积相等的三部分，则P(落在区域A中)＝eq\f(1,3)，P(落在区域B中)＝eq\f(1,3)，P(落在区域C中)＝eq\f(1,3)；而在圆形靶子中，区域C的面积是圆面积的eq\f(1,4)，则P(没有落在区域C中)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).三、解答题9．已知单位正方形ABCD，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：(1)△AMB面积大于等于eq\f(1,4)的概率；(2)AM的长度不小于1的概率．[解析](1)如图，取BC、AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△ABM的面积大于等于eq\f(1,4)，由几何概型定义得P＝eq\f(S矩形CDFE,S正方形)＝eq\f(1,2).(2)如图，以AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM的长度大于等于1，由几何概率的意义知P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝1－eq\f(1,4)×π×12＝1－eq\f(π,4).一、选择题1.如图，已知O(0,0)，A(30,0)，B(30,30)，C(0,30)，E(12,0)，F(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形OABC内任意取一点，则该点在区域OEFBPQ内的概率为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(1,3)C.eq\f(16,25) D．eq\f(41,50)[答案]C[解析]依题意可得正方形OABC的面积为900，区域OEFBPQ的面积为900－2×eq\f(1,2)×182＝576.记“该点在区域OEFBPQ内”为事件A，所以P(A)＝eq\f(576,900)＝eq\f(16,25).2．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]使f(x0)≤0的概率是()A．1 B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[答案]C[解析]任取一点x0∈[－5,5]的结果有无限多个，属于几何概型．画出函数f(x)的图像(图略)，由图像得当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.设“使f(x0)≤0”为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－1)＝3，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝eq\f(3,10).故选C.二、填空题3．在直角坐标系xOy中，设集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x＋y≤1的概率等于________．[答案]eq\f(1,2)[解析]集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为eq\f(1,2)，则满足x＋y≤1的概率为P＝eq\f(1,2).4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧eq\x\to(AB)的长度小于1的概率为________.[答案]eq\f(2,3)[解析]如图，点B可落在优弧eq\x\to(CAD)上，其弧长为2，由几何概型知概率为eq\f(2,3).三、解答题5．(1)向面积为6的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于2的概率．(2)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率．[解析](1)取△ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，△PBC的面积小于2，故概率为eq\f(1－\f(4,9),1)＝eq\f(5,9).(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”可用距离A长为eq\f(3,4)AB的线段的长度来度量，故其概率为eq\f(\f(3,4)|AB|,|AB|)＝eq\f(3,4).6．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4eq\r(3)cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．[解析]记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)×2\r(3)2,\f(\r(3),4)×4\r(3)2)＝eq\f(1,4).7．如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为eq\f(m,n)·S，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，求落入M中的点的数目．[解析]记“点落入M中”