高中数学 3.1 第1课时基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学3.1第1课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝xlnx＋m的单调递增区间是()A．(eq\f(1,e)，＋∞) B．(0，e)C．(0，eq\f(1,e)) D．(eq\f(1,e)，e)[答案]A[解析]定义域为{x|x>0}，由y′＝lnx＋1>0，得x>eq\f(1,e).2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增[答案]A[解析]f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案]D[解析]f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)(2，＋∞)f′(x)－＋f(x)单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.二、填空题4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．[答案](－1,11)[解析]f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令(x－11)(x＋1)<0，解得－1<x<11.所以单调减区间为(－1,11)．5．函数f(x)＝x3－x的增区间是________和________，减区间是________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))[解析]∵f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>eq\f(\r(3),3)或x<－eq\f(\r(3),3)，令f′(x)<0，得－eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(3),3).三、解答题6．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．[解析]解法一：(区间法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.解法二：(数形结合)如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′4≤0，,f′6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35－a≤0，,57－a≥0，))所以5≤a≤7.解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.[点评]本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想.一、选择题1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)) B．(π，2π)C．(eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)) D．(2π，3π)[答案]B[解析]y′＝－xsinx.当x∈(π，2π)时，y′>0，则函数y＝xcosx－sinx在区间(π，2π)内是增函数．2．(·陕西理，10)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)x B．y＝eq\f(2,125)x3－eq\f(4,5)xC．y＝eq\f(3,125)x3－x D．y＝－eq\f(3,125)x3＋eq\f(1,5)x[答案]A[解析]4a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，lgx＝a＝eq\f(1,2)，∴x＝eq\r(10).3．(·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f()>efB．f(2)<e2f(0)，f()>efC．f(2)<e2f(0)，f()<efD．f(2)>e2f(0)，f()<ef[答案]C[解析]∵函数F(x)＝eq\f(fx,ex)的导数F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f()<ef(0)．故选C.4．(·陕西文，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝eq\f(1,2)x3－eq\f(1,2)x2－x B．y＝eq\f(1,2)x3＋eq\f(1,2)x2－3xC．y＝eq\f(1,4)x3－x D．y＝eq\f(1,4)x3＋eq\f(1,2)x2－2x[答案]A[解析]本题考查了导数公式，切线方程等．应采取逐项验证法．A项中y′＝eq\f(3,2)x2－x－1，当x＝0时y′|x＝0＝－1，则过(0,0)点的切线方程恰为y＝－x，同理过(2,0)点的切线也为y＝3x－6.选A.5．(·辽宁理，11)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3] B．[－6，－eq\f(9,8)]C．[－6，－2] D．[－4，－3][答案]C[解析]当x>0时，a≥eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立．令eq\f(1,x)＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.∴a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2对称轴t＝－eq\f(8,18)＝－eq\f(4,9)，∴函数g′(t)在[1，＋∞)上减函数而且g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立．∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝－6.当x<0时，a≤eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立∵x∈[－2,0)，∴t≤－eq\f(1,2)，令g′(t)＝0，∴t＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－eq\f(1,2)]上为增函数，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴－6≤a≤－2.二、填空题6．(·郑州网校期中联考)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．[答案]b≤－1[解析]f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，∴－x＋eq\f(b,x＋2)≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.7．下图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为__________________．[答案](－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(3))[解析]由f(x)的图像知，f(x)在(－∞，－eq\r(3))和(eq\r(3)，＋∞)上为增函数，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上为减函数，∴当x∈(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－eq\r(3)，eq\r(3))时，f′(x)<0.∴x·f′(x)<0的解集为(－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(3))．三、解答题8．已知函数f(x)与g(x)均为[a，b]上的可导函数，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，证明：x∈[a，b]时，f(x)≥g(x)．[解析]设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0.所以F(x)＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上单调递增．所以任取x∈[a，b]，有F(x)≥F(a)，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)＝0，即f(x)≥g(x)．9．当0<x<eq\f(π,2)时，求证：tanx>x＋eq\f(x3,3).[解析]设f(x)＝tanx－(x＋eq\f(x3,3))，则f′(x)＝eq\f(1,cos2x)－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx＋x)(tanx－x)．∵x∈(0，eq\f(π,2))，∴tanx>x>0.∴f′(x)>0，即f(x)在(0，eq\f(π,2))内是增加的．又∵f(0)＝0，∴当x∈(0，eq\f(π,2))时，f(x)>0，即tanx>x＋eq\f(x3,3).10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a