2023-2024学年浙江省强基联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B．2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C．3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因为，可得，解得.故选：A.4.为虚数单位，则（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D．5.已知正数x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，即，当且仅当时等号成立，所以．故选：C．6.圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为.故选：D．7.对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．所以甲是乙充要条件.故选：C．8.袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是（）A.是3的倍数的概率为0.4 B.是3的倍数的概率为0.6C.是3的倍数的概率为0.2 D.是3的倍数的概率为0.8〖答案〗A〖解析〗样本空间：个样本点，是3的倍数的情况包括，共4个样本点，所以其概率为0.4．T是3的倍数的情况数为，所以其概率为0.6．故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗设圆心到直线的距离为，由于直线恒过原点，且，故，又，即，故选：BCD．10.已知，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗对于AB，，故A错误，B正确；对于CD，故C错误，D正确；故选：BD．11.下列定义在上的函数中，满足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对A：，则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对B：，则，当且仅当时，等号成立，不满足条件，故B错误；对C：，故C正确；对D：，，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______．〖答案〗40

〖解析〗展开式的通项公式为，令，则，所以的系数为．故〖答案〗为：40.13.已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．〖答案〗〖解析〗由题意，由椭圆对称性不妨设，且，因为，可得，可得，可得，解得，即，代入椭圆的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗为：.14.若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为x，y，z为正实数，所以，因为，所以，即，又，所以.当且仅当时上式最右侧等号成立.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．解：（1）函数，导函数，所以在处切线的斜率为，切点的纵坐标为，所以切点为，所以切线方程为，即；（2）函数，导函数，由得，得或，所以单调递增区间为，单调递减区间为．所以极大值为，极小值为.16.已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后刚好停止摸球，则前两次摸到黑球第三次一定摸到白球，则．（2）分析得，，所以的分布列为123．17.如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．（1）求证：平面平面．（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．解：（1）连接，交于点，再连接、、,根据题意得，四边形是矩形，则M为的中点．因为为侧棱的中点，所以,在和中，两组直角边相等，根据勾股定理得两条斜边相等，即，所以，同理可证．因为与交于点M，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）当时，三个侧面均为正方形，由，同（1）易证，且都在面内，所以面，故是面的一个法向量，由题设知：是面的一个法向量，且平面与平面所成二面角是锐角，由图知：所成二面角的大小为18.如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：设直线，联立，得，所以．又因为是的中点，所以，又，代入化简得，解得．故抛物线的方程为．解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为，代入抛物线方程得，化简得．则，，因为是的中点，所以，即．又因为，将代入化简得，即，所以抛物线的方程为．（2）解法一：，由（1）可得，，因为，同理，所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．，而，所以CD的倾斜角为或，同理可求得，即，当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为．19.对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．（1）求和．（2）求的前3项．（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．（ⅰ）求证：函数是增函数．（ⅱ）求证：．解：（1），所以．（2），，．（3）（ⅰ）对任意正整数，总有，且一定存，使得，此时有，即当时，．因为，所以，又，所以，所以．因为．若和的变换数列分别为和，且，数列满足，且当时，，数列满足，且当时，．当时，，则．当时，若，则．若，则，所以是增函数．若，则，与矛盾，所以这种情况不存在．若，则，所以是增函数．（ⅱ）若数列的变换数列为，数列的变换数列为，即证．数列满足，且当时，．若，则，若，则，，．综上，.浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B．2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C．3.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因为，可得，解得.故选：A.4.为虚数单位，则（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D．5.已知正数x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，即，当且仅当时等号成立，所以．故选：C．6.圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为.故选：D．7.对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．所以甲是乙充要条件.故选：C．8.袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是（）A.是3的倍数的概率为0.4 B.是3的倍数的概率为0.6C.是3的倍数的概率为0.2 D.是3的倍数的概率为0.8〖答案〗A〖解析〗样本空间：个样本点，是3的倍数的情况包括，共4个样本点，所以其概率为0.4．T是3的倍数的情况数为，所以其概率为0.6．故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗设圆心到直线的距离为，由于直线恒过原点，且，故，又，即，故选：BCD．10.已知，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗对于AB，，故A错误，B正确；对于CD，故C错误，D正确；故选：BD．11.下列定义在上的函数中，满足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对A：，则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对B：，则，当且仅当时，等号成立，不满足条件，故B错误；对C：，故C正确；对D：，，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______．〖答案〗40

〖解析〗展开式的通项公式为，令，则，所以的系数为．故〖答案〗为：40.13.已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．〖答案〗〖解析〗由题意，由椭圆对称性不妨设，且，因为，可得，可得，可得，解得，即，代入椭圆的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗为：.14.若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为x，y，z为正实数，所以，因为，所以，即，又，所以.当且仅当时上式最右侧等号成立.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．解：（1）函数，导函数，所以在处切线的斜率为，切点的纵坐标为，所以切点为，所以切线方程为，即；（2）函数，导函数，由得，得或，所以单调递增区间为，单调递减区间为．所以极大值为，极小值为.16.已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后刚好停止摸球，则前两次摸到黑球第三次一定摸到白球，则．（2）分析得，，所以的分布列为123．17.如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．（1）求证：平面平面．（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．解：（1）连接，交于点，再连接、、,根据题意得，四边形是矩形，则M为的中点．因为为侧棱的中点，所以,在和中，两组直角边相等，根据勾股定理得两条斜边相等，即，所以，同理可证．因为与交于点M，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）当时，三个侧面均为正方形，由，同（1）易证，且都在面内，所以面，故是面的一个法向量，由题设知：是面的一个法向量，且平面与平面所成二面角是锐角，由图知：所成二面角的大小为18.如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：设直线，联立，得，所以．又因为是的中点，所以，又，代入化简得，解得．故抛物线的方程为．解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为，代入抛物线方程得，化简得．则，，因为是的中点，所以，即．又因为，将代入化简得，即，所以抛物线的方程为．（2）解法一：，由（1）可得，，因为，同理，所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．，而，所以CD的倾斜角为或，同理可求得，即，当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为．19.对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．（1）求和．（2）求的前3项．（3）存在，使得