2022-2023学年福建省三明市高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位,复数z满足,则()A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗由,得,.故选:.2.已知圆锥底面半径为1,高为2,则该圆锥侧面积为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为圆锥底面半径为1,高为2,所以圆锥的母线长为,所以该圆锥侧面积为.故选:B.3.已知平面向量、满足,,则与的夹角为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,则,解得,因为,故,故与的夹角为.故选:A.4.一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本,计算出他们的平均命中次数为6,方差为3,后来这个小组又增加了一个同学,投篮命中次数为6,那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是()A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设10个同学的命中次数分别为,则有,得,于是新样本的平均数,新样本的方差为,.故选:B.5.在平行四边形ABCD中,,,G为EF的中点,则()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选:D.6.设是两个不同平面,是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,且与所成的角和与所成的角相等,则〖答案〗B〖解析〗A选项,若,则与可能平行,所以A选项错误;B选项,两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行,所以B选项正确;C选项,若,则可能含于,所以C选项错误;D选项,若,且与所成的角和与所成的角相等,则可能与异面或相交.故选:B.7.麒麟山位于三明市区中部,海拔262米,原名牛垄山.在地名普查时,发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑,故更现名.山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁.小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC,如图,测得,,米,则麒麟阁的高度CD约为(参考数据:,)()A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗因为,,所以,又,所以,又米,所以,解得米.故选:C.8.设为的内心,,,,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点,连,因为,,所以,,所以的内心在线段上,为内切圆的半径,因,所以,所以,得,所以,所以,又,所以,又已知,所以,所以.故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.设复数,则下列命题中正确的是()A.在复平面内对应的点在第一象限 B.的虚部是C. D.为实数〖答案〗ACD〖解析〗复数在复平面内对应的点在第一象限,故A正确;的虚部为,故B错误;,,故C正确;为实数,故D正确.故选:ACD.10.袋子中有5个大小质地完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地依次随机摸出2个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”,丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”,则()A.甲与乙是对立事件 B.甲与乙是互斥事件C.丙与丁相互独立 D.甲与丁相互独立〖答案〗BD〖解析〗设甲、乙、丙、丁事件分别对应,则,,丁包含的基本事件有,则,,;对于A、B,显然甲乙事件不能同时发生,又,则A错误;B正确;对于C,,则,则C错误;对于D,,则,D正确.故选:BD.11.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的是()A.若则是等腰三角形B.若,,,则满足条件的三角形有且只有一个C.,,BC边上中线,则的面积为D.若,则为钝角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A:由正弦定理得,则,则中或,故A错误;对于B:由,则,可得,故,满足条件的三角形有一个,故B正确;对于C:设,容易知,故可得,可得,解得,由余弦定理可得;由,可得,故可得三角形面积为,故C正确;对于D,即,为锐角,故不一定为钝角三角形,故D错误.故选:BC.12.如图,若正方体的棱长为2,点是正方体在侧面上的一个动点(含边界),点是的中点,则下列结论正确的是()A.三棱锥的体积为定值B.四棱锥外接球的半径为C.若,则的最大值为D.若,则的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A:三棱锥的体积为,因为点是的中点,所以的面积是定值,且点到平面的距离是正方体的棱长,所以三棱锥的体积为定值,故A正确;对于B:由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥,设,则平面,所以四棱锥外接球的球心在直线上,设外接球的半径为,则,,,所以,在中,,即,解得,故B正确;对于C:过点作,则点是的中点,连接,取的中点,连接,,,因为且,且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,又,所以,所以,又平面,平面,所以,又,平面,所以平面,所以平面,因为平面平面,又,所以点的轨迹是线段,在中,,,,所以的最大值为,此时与重合,故C错误;对于D:在中,,所以,所以点到的距离为,所以的最小值为,故D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,,若,则m的值为______.〖答案〗〖解析〗因为向量,,且,所以,得.故〖答案〗为:.14.某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测,按首选科目(物理和历史)进行分层抽样得到一个样本,样本中选物理类的学生占,该次质量检测的数学平均成绩为100分,选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分,则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是______.〖答案〗95〖解析〗由题可知,样本中选历史类的学生占,所以估计该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分为.故〖答案〗为:95.15.刘徽是魏晋时代著名的数学家,他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方,即把排成的方阵,使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方,现从中随机抽取和为15的三个数,则含有5的概率是______.816357492〖答案〗〖解析〗随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个,其中含有5的基本事件有共4个,则含有5的概率是.故〖答案〗为:.16.已知正三棱柱木料各棱长都为2,如图所示,,分别为和的中心,为线段上的点,且,过三点的截面把该木料截成两部分,则截面面积为______.〖答案〗〖解析〗如图,连接,延长分别交于,易知,连接并延长交于,过作交于,连接,因为,所以,故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面,因为,分别为和的中心,,又,所以,又是等边三角形,所以,故,即是的中点,所以,易知四边形为等腰梯形,所以为等腰梯形的高,又正三棱柱各棱长都为2,所以,,,所以.故〖答案〗为:.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角的对边分别,满足.(1)求;(2)若,,求的面积.解:(1)因为,由正弦定理得,由余弦定理得,因为,所以.(2)由(1)知,,因为,所以,即,又,解得,所以.18.某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神,组织全体120位党员开展“学习二十大,争当领学人”党史知识竞赛,所有党员的成绩均在内,成绩分成5组,按照下面分组进行统计分析:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,并绘制成频率分布直方图如图所示,按比例分配的分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者.(1)根据频率分布直方图,估计党员成绩的样本数据的第80百分位数;(2)若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动,求第3组中至多有一人被选中的概率.解:(1)根据频率分布直方图,小于90分的党员成绩所占比例为,所以党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内,由,可以估计党员成绩的样本数据的第80百分位数为92.5.(2)由频率分布直方图可知,第3,4,5组党员人数的比例为,按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数为人,将第3组三位党员编为A,B,C,其他组三位党员编为D,E,F,用,表示两位党员,则可以用表示随机选取两人的组合,设事件“从宣传使者中随机选取两人,第3组中至多有一人被选中”,试验的样本空间,,所以,从而.19.在如图所示的几何体中,底面是正方形,四边形是直角梯形,,,平面平面,分别为的中点,,.(1)求证:平面平面;(2)求多面体的体积.解:(1)因为G,F分别为PB,PC的中点,所以,又因为四边形是正方形,所以,所以,又因为平面,平面.所以平面,因为G,E分别为PB,MB的中点.所以,又因为平面,平面.所以平面,又因为,EG,平面EFG,所以平面平面.(2)连接,则多面体的体积,因为四边形是直角梯形,,,所以,又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以PD是四棱锥的高,又因为.所以,因为平面,平面.所以,因为四边形是正方形,所以,又,AD,平面,所以平面,即AB是三棱锥的高,所以,所以多面体PMABCD的体积.20.猜灯谜是我国元宵节传统特色活动.在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中,组织者设置难度相当的若干灯谜,某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜,根据以往数据分析可知,甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为,.(1)任选一道灯谜,求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率;(2)任选一道灯谜,若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为,求丙猜对该难度的每道灯谜的概率.解:(1)设事件A=“任选一道灯谜,甲猜对”,事件B=“任选一道灯谜,乙猜对”,事件C=“任选一道灯谜,甲、乙两位同学恰有一个人猜对”,则,,故,,因为事件A与事件B相互独立,所以.(2)设事件D=“任选一道灯谜,甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”,事件E=“任选一道灯谜,丙猜对”,因为事件A、事件B、事件C两两独立,那么,所以,,所以.21.如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,且,,.(1)求证:;(2)在线段PD上是否存在一点M,使得BM与平面所成角的正切值为,若存在,求二面角的大小,若不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为,,,,所以四边形是直角梯形,且,,故,即,又平面,平面,所以,又,且PA,平面PAC,所以平面PAC,又平面PAC,所以.(2)存在符合条件的点M,且M为PD的中点,证明如下,过点M作于点N,连接BN,因为平面,平面,所以,因为MN,平面PAD,所以,因为,所以,因为,平面,所以平面,则∠MBN为BM与平面所成的角,设,则,,,由得,解得或(舍去),所以M为PD的中点,过点N作于点G,连接MG,因为平面,平面,所以,又,平面MGN,故平面MGN,因为平面MGN,所以,所以∠MGN为二面角的平面角,在中,,所以,即当点M为PD的中点时,符合题意,且二面角的大小为.22.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.点D在BC上,且.(1)若,求c;(2)若AD是∠BAC的角平分线,且,求周长的最小值.解:(1)因为,在中由正弦定理得,即,所以,.(2)由得,即,在中,由余弦定理得,所以,所以周长,由得,当且仅当时等号成立,所以周长,所以周长的最小值为.福建省三明市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位,复数z满足,则()A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗由,得,.故选:.2.已知圆锥底面半径为1,高为2,则该圆锥侧面积为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为圆锥底面半径为1,高为2,所以圆锥的母线长为,所以该圆锥侧面积为.故选:B.3.已知平面向量、满足,,则与的夹角为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,则,解得,因为,故,故与的夹角为.故选:A.4.一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本,计算出他们的平均命中次数为6,方差为3,后来这个小组又增加了一个同学,投篮命中次数为6,那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是()A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设10个同学的命中次数分别为,则有,得,于是新样本的平均数,新样本的方差为,.故选:B.5.在平行四边形ABCD中,,,G为EF的中点,则()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选:D.6.设是两个不同平面,是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,且与所成的角和与所成的角相等,则〖答案〗B〖解析〗A选项,若,则与可能平行,所以A选项错误;B选项,两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行,所以B选项正确;C选项,若,则可能含于,所以C选项错误;D选项,若,且与所成的角和与所成的角相等,则可能与异面或相交.故选:B.7.麒麟山位于三明市区中部,海拔262米,原名牛垄山.在地名普查时,发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑,故更现名.山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁.小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC,如图,测得,,米,则麒麟阁的高度CD约为(参考数据:,)()A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗因为,,所以,又,所以,又米,所以,解得米.故选:C.8.设为的内心,,,,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点,连,因为,,所以,,所以的内心在线段上,为内切圆的半径,因,所以,所以,得,所以,所以,又,所以,又已知,所以,所以.故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.设复数,则下列命题中正确的是()A.在复平面内对应的点在第一象限 B.的虚部是C. D.为实数〖答案〗ACD〖解析〗复数在复平面内对应的点在第一象限,故A正确;的虚部为,故B错误;,,故C正确;为实数,故D正确.故选:ACD.10.袋子中有5个大小质地完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地依次随机摸出2个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”,丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”,则()A.甲与乙是对立事件 B.甲与乙是互斥事件C.丙与丁相互独立 D.甲与丁相互独立〖答案〗BD〖解析〗设甲、乙、丙、丁事件分别对应,则,,丁包含的基本事件有,则,,;对于A、B,显然甲乙事件不能同时发生,又,则A错误;B正确;对于C,,则,则C错误;对于D,,则,D正确.故选:BD.11.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的是()A.若则是等腰三角形B.若,,,则满足条件的三角形有且只有一个C.,,BC边上中线,则的面积为D.若,则为钝角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A:由正弦定理得,则,则中或,故A错误;对于B:由,则,可得,故,满足条件的三角形有一个,故B正确;对于C:设,容易知,故可得,可得,解得,由余弦定理可得;由,可得,故可得三角形面积为,故C正确;对于D,即,为锐角,故不一定为钝角三角形,故D错误.故选:BC.12.如图,若正方体的棱长为2,点是正方体在侧面上的一个动点(含边界),点是的中点,则下列结论正确的是()A.三棱锥的体积为定值B.四棱锥外接球的半径为C.若,则的最大值为D.若,则的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A:三棱锥的体积为,因为点是的中点,所以的面积是定值,且点到平面的距离是正方体的棱长,所以三棱锥的体积为定值,故A正确;对于B:由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥,设,则平面,所以四棱锥外接球的球心在直线上,设外接球的半径为,则,,,所以,在中,,即,解得,故B正确;对于C:过点作,则点是的中点,连接,取的中点,连接,,,因为且,且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,又,所以,所以,又平面,平面,所以,又,平面,所以平面,所以平面,因为平面平面,又,所以点的轨迹是线段,在中,,,,所以的最大值为,此时与重合,故C错误;对于D:在中,,所以,所以点到的距离为,所以的最小值为,故D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,,若,则m的值为______.〖答案〗〖解析〗因为向量,,且,所以,得.故〖答案〗为:.14.某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测,按首选科目(物理和历史)进行分层抽样得到一个样本,样本中选物理类的学生占,该次质量检测的数学平均成绩为100分,选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分,则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是______.〖答案〗95〖解析〗由题可知,样本中选历史类的学生占,所以估计该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分为.故〖答案〗为:95.15.刘徽是魏晋时代著名的数学家,他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方,即把排成的方阵,使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方,现从中随机抽取和为15的三个数,则含有5的概率是______.816357492〖答案〗〖解析〗随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个,其中含有5的基本事件有共4个,则含有5的概率是.故〖答案〗为:.16.已知正三棱柱木料各棱长都为2,如图所示,,分别为和的中心,为线段上的点,且,过三点的截面把该木料截成两部分,则截面面积为______.〖答案〗〖解析〗如图,连接,延长分别交于,易知,连接并延长交于,过作交于,连接,因为,所以,故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面,因为,分别为和的中心,,又,所以,又是等边三角形,所以,故,即是的中点,所以,易知四边形为等腰梯形,所以为等腰梯形的高,又正三棱柱各棱长都为2,所以,,,所以.故〖答案〗为:.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角的对边分别,满足.(1)求;(2)若,,求的面积.解:(1)因为,由正弦定理得,由余弦定理得,因为,所以.(2)由(1)知,,因为,所以,即,又,解得,所以.18.某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神,组织全体120位党员开展“学习二十大,争当领学人”党史知识竞赛,所有党员的成绩均在内,成绩分成5组,按照下面分组进行统计分析:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,并绘制成频率分布直方图如图所示,按比例分配的分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者.(1)根据频率分布直方图,估计党员成绩的样本数据的第80百分位数;(2)若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动,求第3组中至多有一人被选中的概率.解:(1)根据频率分布直方图,小于90分的党员成绩所占比例为,所以党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内,由,可以估计党员成绩的样本数据的第80百分位数为92.5.(2)由频率分布直方图可知,第3,4,5组党员人数的比例为,按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数为人,将第3组三位党员编为A,B,C,其他组三位党员编为D,E,F,用,表示两位党员,则可以用表示随机选取两人的组合,设事件“从宣传使者中随机选取两人,第3组中至多有一人被选中”,试验的样本空间,,所以,从而.19.在如图所示的几何体中,底面是正方形,四边形是直角梯形,,,平面平面,分别为的中点,,.(1)求证:平面平面;(2)求多面体的体积.解:(1)因为G,F分别为PB,PC的中点,所以,又因为四边形是正方形,所以,所以,又因为平面,平面.所以平面,因为G,E分别为PB,MB的中点.所以,又因为平面,平面.所以平面,又因为,EG,平面EFG,所以平面平面.(2)连接,则多面体的体积,因为四边形是直角梯形,,,所以,又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以PD是四棱锥的高,又因为.所以

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