2023-2024学年山东省日照市高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省日照市2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数是2和8的等差中项，则（）A. B.-4 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由题意：.故选：D2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，，A错；对B，，B正确；对C，，C错；对D，，D错.故选：B3.在等比数列中，是方程的两个根，则（）A.7 B.8 C.或8 D.〖答案〗D〖解析〗等比数列中，是方程的两个根，则，再根据等比数列性质可以求出.故选：D.4.已知函数，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，令得.故选：A5.已知数列满足：，则（）A.34 B.42 C.46 D.64〖答案〗B〖解析〗，则，，，；则．故选：B.6.若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗等差数列满足，，，，则，等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，当的前项和最大时的值为8.故选：B7.若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A. B.C.或 D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：C.8.已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（）A.1 B. C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗令，则，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在出取得极小值，当，，，，所以函数图像如图所示，由可化为，结合图像可知方程有两个不同的实数根，故或，不妨设方程的两根为，，若，与矛盾，故不成立；若，则方程的两根为一正一负，不妨设，结合的性质可得，，故，又因为，，所以.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.为函数的零点B.函数在上单调递减C.为函数的极小值点D.是函数的最小值〖答案〗BC〖解析〗由的图象可知，当或时，，当或时，，所以在和上单调递增，在和上单调递减，所以在和处取得极小值，在处取得极大值，正确，不一定是最小值，D错误，由条件不能确定为函数的零点，A错误，故选：.10.等差数列满足，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是递增数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设等差数列的公差为，则由得，解得，所以，故A正确；对于B，由A以及等差中项公式得，故，当且仅当时等号成立，由知，故，故由题意得，所以B为递减数列，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，则当时，；当时，；当时，；当时，，故，故D正确故选：ACD.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，则，即，解得故A正确；对于B，函数，则，时，，单调递减，时，，单调递增，，即，时，等号成立，已知，所以，故B正确；对于C，已知则，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，得，故C错误；对于D，设因为则，设，则，设，则，在上单调递增，当时，所以，即，所以在上恒成立，得在单调递增，所以，即，故D错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列中，，且，则__________.〖答案〗7〖解析〗由已知得，所以为等差数列公差为2，所以.故〖答案〗为：7.13.已知函数是函数的极值点，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗，，令，解得.所以，，在上为增函数.所以时，.，，因为是函数的极值点，所以，解得，所以.所以，，在上为增函数，且，则时，．因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，所以，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知各项均不为0的数列，其前项和为，且，对任意的，恒成立，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，当时，，所以,所以,,可得数列的奇数项是首项为

，公差为2的等差数列，偶数项是首项和公差均为2的等差数列，由任意的

,

恒成立，可得，即有

，解得

,①又，即，解得

②由①②，可得,因为各项均不为0,所以，则由于，且，可得,所以，都有

,综上，可得的取值范围为.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在区间上的最值.解：（1），，又∵曲线在处的切线方程为.，，即得：，解得：，（2）由（1）得：，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，，所以.在区间上的最大值为13，最小值为5.16.已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，.（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，，解得：，，，，，两式作差得：.（2）由（1）得：.则.17.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，对，，求正整数的最大值.解：（1）函数的定义域为，求导得，①当时，有，此时函数在区间上单调递减；②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；当时，，此时函数在区间上单调递减.所以当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）当，时，恒成立，等价于恒成立，设，，则，当时，有，函数在上单调递增，且，，则存在唯一的，使得，即，当时，，；当时，，，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则当时，，函数在上单调递减，又因为，所以.所以正整数的最大值是3.18.已知数列满足，且对任意正整数都有.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；（3）设是数列的前项和，求证：.解：（1）因为对任意正整数都有，故，，令，可得，所以.当时，，当时，，符合上式，所以；（2）由（1）得，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，.综上所述，；若为偶数，则为奇数，由，得，解得（舍去）或；若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，不合题意，舍去.综上，所求的值为2.（3）由现在我们来证明时，，令，求导得，所以在上单调递增，所以，结合当时，，有，所以.故19.已知函数.（1）判断函数在区间上零点的个数并证明；（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，①证明：；②是否存在，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）零点有两个，证明如下：，则，当时，单调递增，，故在上无零点；当时，单调递减，，故在上有唯一零点；当时，单调递增，，故在上有唯一零点；综上，函数在区间上恰有两个零点.（2）①，由（1）知在上无极值点,在上有极小值点，即，在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点，,在有极值点，由得，，，，，则，由函数在单调递增得，，由在单调递增得，.②不存在，理由如下，同①有，则，由在上单调递增，得，，且，当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即；当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，综上，对一切成立，故不存在使得.山东省日照市2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数是2和8的等差中项，则（）A. B.-4 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由题意：.故选：D2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A，，A错；对B，，B正确；对C，，C错；对D，，D错.故选：B3.在等比数列中，是方程的两个根，则（）A.7 B.8 C.或8 D.〖答案〗D〖解析〗等比数列中，是方程的两个根，则，再根据等比数列性质可以求出.故选：D.4.已知函数，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，令得.故选：A5.已知数列满足：，则（）A.34 B.42 C.46 D.64〖答案〗B〖解析〗，则，，，；则．故选：B.6.若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗等差数列满足，，，，则，等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，当的前项和最大时的值为8.故选：B7.若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A. B.C.或 D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：C.8.已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（）A.1 B. C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗令，则，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在出取得极小值，当，，，，所以函数图像如图所示，由可化为，结合图像可知方程有两个不同的实数根，故或，不妨设方程的两根为，，若，与矛盾，故不成立；若，则方程的两根为一正一负，不妨设，结合的性质可得，，故，又因为，，所以.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.为函数的零点B.函数在上单调递减C.为函数的极小值点D.是函数的最小值〖答案〗BC〖解析〗由的图象可知，当或时，，当或时，，所以在和上单调递增，在和上单调递减，所以在和处取得极小值，在处取得极大值，正确，不一定是最小值，D错误，由条件不能确定为函数的零点，A错误，故选：.10.等差数列满足，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是递增数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设等差数列的公差为，则由得，解得，所以，故A正确；对于B，由A以及等差中项公式得，故，当且仅当时等号成立，由知，故，故由题意得，所以B为递减数列，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，则当时，；当时，；当时，；当时，，故，故D正确故选：ACD.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，则，即，解得故A正确；对于B，函数，则，时，，单调递减，时，，单调递增，，即，时，等号成立，已知，所以，故B正确；对于C，已知则，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，得，故C错误；对于D，设因为则，设，则，设，则，在上单调递增，当时，所以，即，所以在上恒成立，得在单调递增，所以，即，故D错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列中，，且，则__________.〖答案〗7〖解析〗由已知得，所以为等差数列公差为2，所以.故〖答案〗为：7.13.已知函数是函数的极值点，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗，，令，解得.所以，，在上为增函数.所以时，.，，因为是函数的极值点，所以，解得，所以.所以，，在上为增函数，且，则时，．因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，所以，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知各项均不为0的数列，其前项和为，且，对任意的，恒成立，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，当时，，所以,所以,,可得数列的奇数项是首项为

，公差为2的等差数列，偶数项是首项和公差均为2的等差数列，由任意的

,

恒成立，可得，即有

，解得

,①又，即，解得

②由①②，可得,因为各项均不为0,所以，则由于，且，可得,所以，都有

,综上，可得的取值范围为.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在区间上的最值.解：（1），，又∵曲线在处的切线方程为.，，即得：，解得：，（2）由（1）得：，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，，所以.在区间上的最大值为13，最小值为5.16.已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，.（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，，解得：，，，，，两式作差得：.（2）由（1）得：.则.17.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，对，，求正整数的最大值.解：（1）函数的定义域为，求导得，①当时，有，此时函数在区间上单调递减；②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；当时，，此时函数在区间上单调递减.所以当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）当，时，恒成立，等价于恒成立，设，，则，当时，有，函数在上单调递增，且，，则存在唯一的，使得，即，当时，，；当时，，，函数在上单调递减，在上单调递增