2022-2023学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市西城区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题设，对应点为在第四象限.故选：D.2.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，的最小正周期为：，故A不正确；对于B，的最小正周期为：，的定义域为，关于原点对称，令，则，所以为奇函数，故B不正确；对于C，的最小正周期为：，令的定义域为关于原点对称，则，所以为偶函数，故C正确；对于D，的最小正周期为：，的定义域为，关于原点对称，令，则，所以为奇函数，故D不正确.故选：C.3.在中，，，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故选：B.4.某城市一年中12个月的月平均气温（单位）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28，最低值为18，则（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依题意可得，解得.故选：A.5.复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B.6.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或与异面，故A错误；对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；对于C，若，过作平面，使得，则，因为，，则，又，则，故C正确；对于D，若，，则或或与相交，故D错误.故选：C.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为O为坐标原点，，，所以，，，所以.故选：D.8.已知等边的边长为4，P为边上的动点，且满足，则点P轨迹的长度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗当点在边上时，，得，此时点P轨迹长度为；当点在边上时，，得，此时点P轨迹是线段，其长度为；当点在边上时，，得，此时点P轨迹的长度为，所以点P轨迹的长度是.故选：B.9.已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为且，则，若在上既不是增函数也不是减函数，则，解得，又因为，所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.10.已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗设的中点为，因为，，所以，，，因为，所以.故选：A.二、填空题.共5小题，每小题5分，共25分．11.已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______．〖答案〗1〖解析〗由已知得该复数，则.故〖答案〗为：1.12.设向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以，得.故〖答案〗为：.13.已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．〖答案〗2〖解析〗设球的半径为，则，得，则圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故〖答案〗为：.14.写出一个同时满足下列两个条件的函数______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函数的周期为，由，恒成立可知，函数在上取到最大值，则满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，，满足，，另一方面，，满足，恒成立.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得是等腰直角三角形；③若，则点P轨迹的长度为；④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．〖答案〗①③④〖解析〗对于①，当点和点重合时，平面平面，连接交于点，连接交于点，连接，，，，∵∥，且∥，∴四边形平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正确；对于②，分别以所在的直线为轴，轴，轴，由几何关系可知，要使是等腰直角三角形，则，由已知得，，设点，则，，∵，∴，此方程无解，则不存在点P，使得是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因，则，，，即，则P轨迹是在上的线段，不包括端点、，如下图所示，由已知得△为等腰三角形，则△底边上的高，随着P向点运动，逐渐减小，故在线段上存在一点P使得，同理可知靠近点处也存在一点P使得，设线段，由勾股定理可知，所以点P轨迹的长度为，故③正确；对于④，连接，过点作的平行线交于点，连接，则为平面截正方体所得的截面图形，由已知得，由△∽△可知，又因为，且∥，所以四边形为等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面积为，故④正确.故〖答案〗为：①③④.三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，，又因为，所以，所以．（2）因为，，所以.17.如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面．解：（1），所以平面，因为平面，所以，因为为正方形，所以，又因为，平面，所以平面.（2）设，连接OE，因为为正方体，所以，且，所以，且，因为E，F分别，的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又因为平面，平面，所以平面．18.已知在中，．（1）求A的大小；（2）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为．解：（1）由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，即，又因为，所以．（2）选择①，因为，即，即，所以，又因为，即，所以，所以的周长为．若选择②，因为，且，所以不唯一，所以②不合题意.选择③，因为AB边上的高线CD长为，即，所以，又因为，即，所以，所以的周长为．19.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．解：（1）.（2），由，，得，，所以的单调递增区间是．（3）因为，所以，依题意，解得，所以m的取值范围为．20.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．（1）求证：；（2）求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．解：（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（2）因为平面平面SCD，平面平面，平面平面，所以，又因为E为AD的中点，所以M为线段BC中点，由（1）知，平面，又平面，所以平面平面，所以点到平面的距离等于点到的距离，因为，所以为正三角形，又为的中点，所以点到的距离为，因为平面平面SCD，所以点M到平面SCD的距离为．（3）存在，当N为SC中点时，平面平面，证明如下：连接EC，DM交于点O，连接SE，因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以，又因为N为SC中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，又平面SAD，由已知，所以平面ABCD，所以平面ABCD，又因为平面DMN，所以平面平面ABCD，所以存在点N，使得平面平面ABCD，．21.对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：①；②．（2）若为阶梯函数，求的所有可能取值；（3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．解：（1），则；，则，故①否；②是.（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：，所以，对任意，，因为是最小正周期为的周期函数，又因为，所以，．（3）．函数，则有：，，取，则有：，，由于在上单调递减，因此在上单调递减，结合，则有：在上有唯一零点，在上有唯一零点，又由于，则对任意，有：，，因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，，综上所述，存在，使得在上有4046个零点：，，，，…，，，其中，．北京市西城区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题设，对应点为在第四象限.故选：D.2.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，的最小正周期为：，故A不正确；对于B，的最小正周期为：，的定义域为，关于原点对称，令，则，所以为奇函数，故B不正确；对于C，的最小正周期为：，令的定义域为关于原点对称，则，所以为偶函数，故C正确；对于D，的最小正周期为：，的定义域为，关于原点对称，令，则，所以为奇函数，故D不正确.故选：C.3.在中，，，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故选：B.4.某城市一年中12个月的月平均气温（单位）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28，最低值为18，则（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依题意可得，解得.故选：A.5.复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为为纯虚数，所以，所以，，所以，.故选：B.6.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或与异面，故A错误；对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；对于C，若，过作平面，使得，则，因为，，则，又，则，故C正确；对于D，若，，则或或与相交，故D错误.故选：C.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为O为坐标原点，，，所以，，，所以.故选：D.8.已知等边的边长为4，P为边上的动点，且满足，则点P轨迹的长度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗当点在边上时，，得，此时点P轨迹长度为；当点在边上时，，得，此时点P轨迹是线段，其长度为；当点在边上时，，得，此时点P轨迹的长度为，所以点P轨迹的长度是.故选：B.9.已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为且，则，若在上既不是增函数也不是减函数，则，解得，又因为，所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.10.已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗设的中点为，因为，，所以，，，因为，所以.故选：A.二、填空题.共5小题，每小题5分，共25分．11.已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______．〖答案〗1〖解析〗由已知得该复数，则.故〖答案〗为：1.12.设向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以，得.故〖答案〗为：.13.已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．〖答案〗2〖解析〗设球的半径为，则，得，则圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故〖答案〗为：.14.写出一个同时满足下列两个条件的函数______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函数的周期为，由，恒成立可知，函数在上取到最大值，则满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，，满足，，另一方面，，满足，恒成立.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得是等腰直角三角形；③若，则点P轨迹的长度为；④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．〖答案〗①③④〖解析〗对于①，当点和点重合时，平面平面，连接交于点，连接交于点，连接，，，，∵∥，且∥，∴四边形平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正确；对于②，分别以所在的直线为轴，轴，轴，由几何关系可知，要使是等腰直角三角形，则，由已知得，，设点，则，，∵，∴，此方程无解，则不存在点P，使得是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因，则，，，即，则P轨迹是在上的线段，不包括端点、，如下图所示，由已知得△为等腰三角形，则△底边上的高，随着P向点运动，逐渐减小，故在线段上存在一点P使得，同理可知靠近点处也存在一点P使得，设线段，由勾股定理可知，所以点P轨迹的长度为，故③正确；对于④，连接，过点作的平行线交于点，连接，则为平面截正方体所得的截面图形，由已知得，由△∽△可知，又因为，且∥，所以四边形为等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面积为，故④正确.故〖答案〗为：①③④.三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，，又因为，所以，所以．（2）因为，，所以.17.如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面．解：（1），所以平面，因为平面，所以，因为为正方形，所以，又因为，平面，所以平面.（2）设，连接OE，因为为正方体，所以，且，所以，且，因为E，F分别，的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又因为平面，平面，所以平面．18.已知在中，．（1）求A的大小；（2）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为．解：（1）由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，即，又因为，所以．（2）选择①，因为，即，即，所以，又因为，即，所以，所以的周长为．若选择②，因为，且，所以不唯一，所以②不合题意.选择③，因为AB边上的高线CD长为，即，所以，又因为，即，所以，所以的周长为．19.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．解：（1）.（2），由，，得，，所以的单调递增区间是．（3）因为，所以，依题意，解得，所以m的取值范围为．20.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．（1）求证：；（2）求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离；（3）在棱上是否存在点，使得平