11.2平面的基本事实与推论课件高一下学期数学人教B版

11.2平面的基本事实与推论一、点、线、面之间的位置关系及表示【问题思考】

1.“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?提示:不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交.2.填写下表:一、点、线、面之间的位置关系及表示3.做一做:下列图形中,满足α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB的图形是(

)C二、平面的基本性质【问题思考】

1.经过空间中的三点,能作出几个平面?提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过该三点作出唯一的一个平面.2.填写下表:二、平面的基本性质3.做一做:如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么(

)A.l⊂α

B.l⊄α

C.l∩α=M

D.l∩α=NA4.做一做:若两个不重合的平面有公共点,则公共点有(

)A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上D三、平面基本性质的推论【问题思考】

1.给你一些半径相同(无限小)的球和小棍，如何支撑起一张白卡纸？2.填写下表:三、平面基本性质的推论三、平面基本性质的推论【问题思考】

确定一个平面的条件有哪些？四、空间两条直线的位置关系【问题思考】

1.如图所示长方体ABCD-A1B1C1D1,你能找出一个平面能同时经过棱AB和棱B1C1所在的直线吗?提示:找不到,因为这两条棱所在的直线既不平行,也不相交.它们是不能同在任何一个平面内的,这样的两条直线就是本节所要研究的异面直线.判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线。2.填写下表:四、空间两条直线的位置关系思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线.(

)(2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合.(

)(3)平面α与平面β只有一个公共点.(

)(4)不共线的四点最多可确定4个平面.(

)(5)两两相交的三条直线必共面.(

)×××√×探究一探究二探究三探究四思维辨析文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】

如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.图(1)可以用几何符号表示为

.

图(2)可以用几何符号表示为

.

探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟在立体几何中使用符号语言时,应明确符号语言在代数与几何中的差异.首先是结合集合知识了解规定符号的背景,然后找出它们的区别与联系:(1)“∈,∉,⊂,∩”等符号来源于集合符号,但在读法上用几何语言,例如,A∈α,读作“点A在平面α内”,a⊂α读作“直线a在平面α内”,α∩β=l读作“平面α,β相交于直线l”.(2)在“A∈α,A∉α,l⊂α,l⊄α”中“A”视为平面α(集合)内的点(元素),直线l(集合)视为平面α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.探究一探究二探究三探究四思维辨析点线共面问题【例2】

(1)有下列四个说法:①过三点确定一个平面;②矩形是平面图形;③三条直线两两相交则确定一个平面;④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误的序号是(

)A.①和② B.①和③ C.②和④ D.②和③(2)如图所示,已知直线a与两平行直线b,c都相交.求证:a,b,c三线共面.B探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)思路分析:有两种方法.①先用两平行直线b,c确定一个平面,再证a也在这个平面内;②先由两条相交直线a,b确定一个平面,再证c也在这个平面内.证法一因为b∥c,所以b,c确定一个平面,设为α,如图.令a∩b=A,a∩c=B,

所以A∈α,B∈α,

所以AB⊂α,即直线a⊂α.

所以a,b,c三线共面.证法二因为a与b是相交直线,所以a,b确定一个平面,设为α,如图.设a∩c=A,过A点在α内作直线c’∥b,

因为c∥b,c'∥b,所以c∥c'.又因为c与c'相交于点A,

所以c与c'重合.所以a,b,c三线共面.反思感悟1.本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式,但整体套路都是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象都在这个平面内.2.证明点线共面还可以先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.探究一探究二探究三探究四思维辨析线共点问题【例3】

(1)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点E,F,G,H,若EH,FG所在直线相交于点P,则(

)A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面BCD外D.点P必在平面ABC内B探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟证明三线共点常用的方法1.先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.2.先说明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再说明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.注意:证明线共点主要利用基本性质1,基本性质3作为推理的依据.探究一探究二探究三探究四思维辨析交线问题【例4】

如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及直线AC;(2)过三点E,F,D1.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析思路分析:找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本性质1和基本性质3,一般是用基本性质1找到,再用基本性质3证明.2.还要注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.(2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.探究一探究二探究三探究四思维辨析对点、线、面的位置关系考虑不全而致误【典例】

在空间四点中,如果任意三点都不共线,那么由这四点可以确定多少个平面?说明理由.探究一探究二探究三探究四思维辨析正解:空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系:第一种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时,由这四个点只能确定一个平面;第二种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时,由这四个点可确定四个平面.综上所述,由题设条件中的四点可确定一个或四个平面.防范措施1.对于确定平面个数问题,在讨论中要考虑全面,尤其要分清给出几个点的可能的位置关系,进行分类讨论.2.可借助正方体、三棱锥等特殊几何体进行直观观察.1234561.下面空间图形画法错误的是(

)答案:D1234562.平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,且C∉l,但C∈β,又AB∩l=R,如图,由A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(

)A.直线AC B.直线BCC.直线CR

D.直线AR答案:C1234563.空间中可以确定一个平面的条件是(

)A.两两相交的三条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点D1234564.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的是

.(只填序号)

(1)直线AC1⊂平面CC1B1B;(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;(3)点A,O,C只能确定一个平面;(4)由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(5)由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1,D确定的平面是同一平面.答案:(2)(4)(5)1234565.如图所示,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.解:很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.因为E∈AC