第43讲、数列的通项公式（教师版）

更多资料请+wx：gk230616进资料群下载③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．题型二：叠加法例4．（2024·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，，，所以依此类推得，所以．又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是．故选：C．例5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（

）A．55 B．56 C．45 D．46【答案】D【解析】由，得，，，，，累加得，，当时，上式成立，则，所以.故选：D例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，故可得，，…，，及累加可得，则，所以，则．故选：B．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.故选：D.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，由累加法可得：，所以（），又因为，所以（），当时，，符合，所以（），所以，所以．故选：A.变式8．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列满足：，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，∴，，∴，又，故，所以，所以，故，则，所以.故选：C．【解题方法总结】数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和题型三：叠乘法例7．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（

）A．2024 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【解析】，，即，可得，.故选：C.例8．（2024·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A例9．（2024·天津滨海新·高三校考期中）已知，则（

）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【解析】，，，，，，显然，当时，满足，∴，.故选：D.变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由①②，①②得：，即：，所以，所以故选：．变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】数列满足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故选：D﹒变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．变式13．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，且，则它的前项和（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，因此，.故选：A.【解题方法总结】数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式题型四：待定系数法例10．（2024·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．【解析】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．【解析】因为，所以，又因为，所以数列是常数列0，所以，所以．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：求.【解析】因为所以两边同时加上得：，所以，当时，故，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.于是变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1），设，即，即，解得，，故是首项为，公比为的等比数列.，故.（2），则.变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，a1=2，，求的通项．【解析】因为的特征函数为：，由，∴∴数列是公比为的等比数列，∴．变式16．（2024·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以．（2）因为，所以，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为．变式17．（2024·四川乐山·统考三模）已知数列满足，，则．【答案】【解析】由得，又，所以，即是等比数列，所以，即．故答案为：．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为.【答案】【解析】因为，设，即，根据对应项系数相等则，解得，故，所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即.故答案为：变式19．（2024·全国·高三对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为．【答案】【解析】由，得，即由所以，于是数列是以首项为，公比为的等比数列，因此，即，当时，,此式满足，所以数列的通项公式为.故答案为：.【解题方法总结】形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．题型五：同除以指数例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】将两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴数列的通项公式为．例14．（2024·全国·高三专题练习）在数列{}中，求通项公式．【解析】可化为：．又则数列是首项为，公比是2的等比数列．

∴，则．所以数列{}通项公式为例15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】由，可得又，则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，故．则数列的通项公式为.变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【解析】解法一：设，整理得，可得，即，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：(两边同除以)两边同时除以得：，整理得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，当时，则，故，显然当时，符合上式，故.故答案为：.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】两边除以，得，则，故，，则数列的通项公式为．【解题方法总结】形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．题型六：取倒数法例16．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.例17．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，求．【解析】由已知关系式得,所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，所以例18．（2024·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．【解析】，，两边取倒数得到，令，则，当时，，，，数列是首项为，公差为的等差数列．，，．当时，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列．，，，，，变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．【解析】，，则，则，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．于是，．变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】为等差数列，首项，公差为，.变式25．（2024·全国·高三对口高考）数列中，，，则．【答案】【解析】由，，可得，所以，即(定值)，故数列以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以．故答案为：．变式26．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.【解析】（1）因为，，故，所以，整理得．

又，，，所以为定值，

故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，得.（2）因为，

所以．【解题方法总结】对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．题型七：取对数法例19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证：.【解析】（1）因为，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以；（2）由，得，则，所以，所以，所以，因为，所以，所以.例20．（2024·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．【解析】对任意的，，因为，则，所以，，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，解得.例21．（2024·全国·高三专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．【解析】恒成立，，则，则，，当时，，故，即，取，满足；当且时，是首项为，公比为的等比数列，故，即，故，故，取，得到恒成立.综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有．【解题方法总结】形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题例22．（2024·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是．【答案】【解析】，，且，，是以为首项，为公比的等比数列．，．时，，且不满足上式，所以．故答案为：.例23．（2024·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2024项和为.【答案】【解析】在数列中，又，且，两式相除得，，∴数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴，当，，当时，，也满足上式，∴数列的通项公式为，则，数列的前2024项和为.故答案为：例24．（2024·河南南阳·高二统考期末）已知数列的前项和为，且（），(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，当时，，故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故；（2）由（1）得，故，则，故，则变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和满足．(1)写出数列的前3项；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）由，得．由，得，，得．（2）当时，有，即①令，则，与①比较得，，是以为首项，以2为公比的等比数列．，故．变式28．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．【解析】（1）由，得．所以，即，整理得，上式两边同时除以，得．又，所以，即，所以是首项为2，公差为1的等差数列．（2）由（1）知，．所以．所以．变式29．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵，∴当时，，解得.当时，，即，∵，∴，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.（2）因为，所以∴当时，，∴，∴，∴实数的取值范围为.变式30．（2024·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)已知，，求数列的前20项和.【解析】（1）当时，可得，当时，，，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2），，所以，.所以数列的前20项和为.变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.【解析】由，当n1时，可得14；当时，anSnSn15an5an11，即，即，记，令，求出不动点，故，又115≠0，∴数列{an1}是以为首项，以为公比的等比数列．变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，(1)求数列的通项；(2)证明：.【解析】（1）法一：因为，所以当时，，所以，，两式相减可得，又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，即，故当时，，经检验，当时，满足上式，所以.法二：因为，所以当时，，故，等号两边平方得，设，则，又，，所以是首项为，公差为的等差数列，故，即，则，故，则，解得或，当时，，则，而，矛盾，舍去，当时，经检验，满足题意，故.（2）由法一易知，由法二易得，故由（1）得，，所以，命题得证.变式33．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，所以时，，又由知时，成立，即对任意正整数均有，所以，从而，即数列的通项公式为：.（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，因为成等差数列，所以，所以，化简得，又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.变式34．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，∴，当时，，∴，∴是以、公比为2的等比数列，∴.（2）由（1）知，，当时，.当时，，①∴，②①-②得，，∴，当时，也适合，∴.变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【解析】（1）对任意的，当时，，两式相减．整理得，当时，，也满足，从而．（2）证明：证法一：因为，所以，．从而；证法二：因为，所以，，证毕.变式36．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1），当时，，两式子作差可得，又，所以，可得数列为公差为2的等差数列，当时，，所以，数列的通项公式为.（2），，所以，数列的前项和.变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项的和．【解析】（1），两式相减得：，由于，则，当时，，得，，则，所以是首项和公差均为2的等差数列，故．（2）①所以②由得：，所以．变式38．（2024·全国·高三专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；【解析】证明：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【解题方法总结】对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．题型九：周期数列例25．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，故A错误；，，∴数列是以3为周期的周期数列，∴，故B错误；∵，，∴，故C正确；，故D错误．故选：C．例26．（2024·广西防城港·高三统考阶段练习）已知数列满足，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，则，，，……，故为周期为3的数列，因为，所以.故选：D例27．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知数列满足：，，，，则（

）.A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】即又是以为周期的周期数列.故选：C变式39．（2024·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，，数列是以为周期的周期数列．又，．故选：B．变式40．（2024·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为壬，由于，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A变式41．（2024·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知数列满足，则（

）A． B．1 C．4043 D．4044【答案】A【解析】由得，两式相加得，即，故，所以.故选：A．变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由得，所以数列的周期为3，所以．故选：B【解题方法总结】（1）周期数列型一：分式型（2）周期数列型二：三阶递推型（3）周期数列型三：乘积型（4）周期数列型四：反解型题型十：前n项积型例28．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前n项和.【解析】（1）当时,,∴,当时,,化简得,∵,∴,∴数列是首项为,公差为的等差数列,∴.当时,,当时,，当时也满足，所以.（2）,设①,则②,①-②得,∴.例29．（2024·全国·高三专题练习）设为数列的前n项积．已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解析】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，即，当时，有，两式相除得，，显然，即，因此当时，，即，所以数列的通项公式.（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，因此，则，所以数列前项和为.例30．（2024·全国·高三专题练习）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．(1)求，；(2)求证：数列为等差数列；(3)求数列的通项公式．【解析】（1）由，且，当时，，得，当时，，得；（2）对于①，当时，②，①②得，即，，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得，，当时，，又时，，不符合，.变式43．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）为数列的前n项积，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求的通项公式．【解析】（1）证明：由已知条件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列．，法1：时，，又符合上式，所以；法2：将代回得：．变式44．（2024·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列的前n项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．【解析】（1）∵①，∴②，由①②可得，由①也满足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，则，记，∴，∴，∴，即单调递减，∴的最大值为．变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项积.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项为，求的最小值.【解析】（1）.当时，；当时，，也符合.故的通项公式为.（2），，是以为首项，2为公差的等差数列，，当时，的最小值为.变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【解析】（1）证明：，.，是等差数列.（2）由（1）可得，.时，；时，.而，，，均不满足上式.（）.变式47．（2024·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求的通项公式．【解析】解析：（1）将代入，得，整理得．当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列．所以．（2）由（1）得，代入，可得．当时，；当时，所以．【解题方法总结】类比前项和求通项过程：（1），得（2）时，题型十一：“和”型求通项例31．（2024•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则．【解析】解：由，，，即，，，，即，，，，．，由此可知．故答案为：．例32．（2024•南明区校级月考）若数列满足，则．【解析】解：，则．故答案为：．例33．（2024·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【解析】当时，，当时，由得，两式相减可得，即，所以，可得，所以.故选：C.变式48．（2024·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（

）A．99 B．103 C．107 D．198【答案】B【解析】由得，∴为等比数列，∴，∴，，∴，①为奇数时，，；②为偶数时，，，∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，综上所述，.故选：B.变式49．（2024·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为A．－8 B．6 C．－5 D．4【答案】C【解析】对于，当时有，即，，两式相减得：，由可得即从第二项起是等比数列，所以，即，则，故，由可得，故选C.变式50．（2024·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.【解析】因为，所以当时，，当时，，两式相减得：，构成以为首项，2为公差的等差数列；构成以为首项，2为公差的等差数列，，，变式51．（2024·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.【解析】由已知当时，可得，当时，，与已知式联立，两式相减，得，，，，即奇数项构成的数列是每项都等于的常数列，偶数项构成的数列是每项都等于的常数列，.【解题方法总结】满足，称为“和”数列，常见如下几种：（1）“和”常数型（2）“和”等差型（3）“和”二次型（4）“和”换元型题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型例34．数列满足，前16项和为540，则．【答案】【解析】解：因为数列满足，当为奇数时，，所以，，，，则，当为偶数时，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因为前16项和为540，所以，所以，解得．故答案为：．例35．（2024•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则．【答案】3【解析】解：由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，．可得．．，，即．故答案为：3．例36．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.【解析】在数列中，由，得，当时，，两式相除得：，因此数列构成以为首项，为公比的等比数列；数列构成以为首项，为公比的等比数列，于是，所以数列的通项公式是.变式52．（2024·山东·校联考模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．【解析】（1）由题意知当时，．设，则，所以，即．又．所以是首项为4，公比为2的等比数列．所以．即．（2）当为偶数时，，即，令．则可解得．即．又因为故的最小值为95．变式53．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且(1)设，求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因为所以，，，所以．又因为，所以，所以．因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以是一个增数列，因为，，所以满足题意的n的最小值是20．变式54．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，且数列的前项积为，求和.【解析】（1）由题意可得：，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由上可得：，同理.【解题方法总结】（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律（2）分段数列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列题型十三：因式分解型求通项例37．（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，．（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ），，又数列为正项数列，，①当时，数列不是等比数列；②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，．例38．（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设．（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为．【解析】解：（1），，，可得，则，数列为首项为1，公比为2的等比数列，可得；，，；（2）数列为等差数列，理由：，则数列为首项为0，公差为1的等差数列；（3），前项和为．例39．（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）若记，求数列的前项和．【解析】证明：由，变形得：，由于为正项数列，，利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，从而．变式55．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．【解析】解：（1），当时，，，解得．又，，，当时，，当时上式也成立，．（2）数列满足，且．．，当为偶数时，数列的前项和为．当为奇数时，数列的前项和为．当时也成立，．变式56．（2024•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）当时，，；当时，，；由已知可得，且，．（2）设，，是公比为4的等比数列，．【解题方法总结】利用十字相乘进行因式分解题型十四：其他几类特殊数列求通项例40．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的通项公式为．【答案】【解析】，①．②由得．又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即．故答案为：例41．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则．【答案】【解析】设，令得：，解得：；，化简得，，所以，从而，故，又，所以是首项和公差均为的等差数列，从而，故．故答案为：例42．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则．【答案】【解析】设，令得：，解得：；，化简得：，所以，从而，又，所以是首项为，公差为1的等差数列，故，所以．故答案为：变式57．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.【解析】依题，记，令，求出不动点；由定理2知：，；两式相除得到，∴是以为公比，为首项的等比数列，∴，从而．变式58．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．【解析】因为，所以特征方程为，解得,令，代入原递推式得,因为，所以，故,因此，，从而,又因为，所以．变式59．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．【解析】令．先求出数列的不动点，解得．将不动点代入递推公式，得，整理得，，∴．令，则，．∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．∴的通项公式为．将代入，得．∴．变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式．【解析】化为，即，，可得或，（所得两组数值代入上式等价），不妨令，，所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，累加法可得：，又符合上式，故.变式61．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式.【解析】由于且，，故数列发生函数为于是数列的通项为：，.变式62．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求【解析】法1：已知，所以，则是首项为，公比为3的等比数列，故，则，得，当n为奇数时，，，，，，累加可得，，所以，当n为偶数时，，综上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．(1)证明：是等比数列；(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．【解析】（1）由已知，，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）∵，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，①，又∵由第（1）问，，②，∴②①得，，∴存在，，两个等比数列，，使得成立．变式64．（2024·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．【解析】由题意，，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列．于是．变式65．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】令，整理得，故或，由可得，令并将代入，可得，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故，整理得.【解题方法总结】（1）二次型：形如（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）题型十五：双数列问题例43．（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．(1)证明：是等比数列，是等差数列；(2)求的通项公式以及的前项和．【解析】(1)证明：因为，所以，即，所以是公比为的等比数列．将方程左右两边分别相减，得，化简得，所以是公差为2的等差数列．(2)由（1）知，，上式两边相加并化简，得，所以．例44．（2024·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.【答案】【解析】解：因为，，所以，所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，所以可设数列的通项公式为，因为，，所以，所以，解得，所以，所以；故答案为：例45．（2024·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.【答案】【解析】，，且，，则，由可得，代入可得，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，在等式两边同时除以可得，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，所以，，，则，因此，.故答案为：.变式66．（2024·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.(1)证明:为等比数列;(2)求,的通项.【解析】（1）证明：由，可得：，，代入，可得：，化为：，，为等比数列，首项为-14，公比为3.（2）由（1）可得：，化为：，数列是等比数列，首项为16，公比为2.，可得：，.变式67．（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______．【答案】

【解析】由题设，，则，而，所以是首项、公比均为2的等比数列，故，，则，令，则，故，而，所以是常数列，且，则.故答案为：，.【解题方法总结】消元法题型十六：通过递推关系求通项例46．（2024·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．【解析】（1）依题意，第次播放了，因此，整理得．（2）∵，又∵，∴．∴，∴∴．∵当时，，与互质，，∴，则即．例47．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．(1)试用，表示，．(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．【解析】（1）由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以数列是等比数列，因为％，所以①，又因为

②．联立①②得，．例48．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的