高中数学 2.1 第1课时合情推理同步测试 新人教B版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学2.1第1课时合情推理同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an＝()A．n B．n2C．n3 D．eq\r(n＋3)－eq\r(n)[答案]B[解析]∵a1＝1，∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0，∴a2(a2－4)＝0，又an＋1>an，∴a2＝4，同理a3＝9.猜测an＝n2.故选B.2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第100项的值是()A．13 B．14C．15 D．16[答案]B[解析]∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝eq\f(13×13＋1,2)＝91，∴第100项的值是14.3．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③④C．①②④ D．②④[答案]C[解析]①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理，排除B；④是归纳推理．故选C.4．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1a3＝2a2a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2[答案]C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案]B8．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的eq\f(1,4)；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不对[答案]C[解析]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.二、填空题9．若三角形内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.[答案]eq\f(1,3)R(S1＋S2＋S3＋S4)[解析]将球心与四面体连结，构成四个棱锥，棱锥底面积分别为S1，S2，S3，S4，高都是R，∴V＝eq\f(1,3)R(S1＋S2＋S3＋S4)．10．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有________个原子，有________个化学键．[答案]4n＋25n＋1[解析]图①中有6个原子，6个化学键；图②中增加了4个原子，5个化学键；图③中又增加了4个原子，5个化学键；设第n个图中原子个数为an，化学键个数为bn，则an＝6＋(n－1)×4＝4n＋2，bn＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.11．(·陕西文，13)观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为________________________．[答案](n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)[解析]观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题12．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项an＝am＋(n－m)·d(n>m，n，m∈N*)(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．[解析]等比数列{bn}中，设公比为q，前n项和为Sn.(1)an＝am·qn－m(n>m，n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，则am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，则aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(各项均不为零)构成等比数列.一、选择题1．设0<θ<eq\f(π,2)，已知a1＝2cosθ，an＋1＝eq\r(2＋an)，则猜想an＝()A．2coseq\f(θ,2n) B．2coseq\f(θ,2n－1)C．2coseq\f(θ,2n＋1) D．2sineq\f(θ,2n)[答案]B[解析]∵a1＝2cosθ，a2＝eq\r(2＋2cosθ)＝2eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝2coseq\f(θ,2)，a3＝eq\r(2＋2a2)＝2eq\r(\f(1＋cos\f(θ,2),2))＝2coseq\f(θ,4)……，猜想an＝2coseq\f(θ,2n－1).故选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．① B．①②C．①②③ D．③[答案]C[解析]正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30[答案]B[解析]观察归纳可知第n－1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)个，∴第六个三角形数为eq\f(7×7＋1,2)＝28.故选B.4．(·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()A.eq\f(\r(4),3)a B.eq\f(\r(6),3)aC.eq\f(\r(5),4)a D.eq\f(\r(6),4)a[答案]B[解析]将正三角形一边上的高eq\f(\r(3),2)a类比到正四面体一个面上的高eq\f(\r(6),3)a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．[答案]18[解析]eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).6．(·三峡名校联盟联考)观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此规律，第五个不等式为__________________．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)，所以第五个不等式为：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).三、解答题7．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四边形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五边形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？[解析]根据已知特殊的数值：eq\f(9,π)、eq\f(16,2π)、eq\f(25,3π)，…，总结归纳出一般性的规律：eq\f(n2,n－2π)(n≥3且n∈N*)．∴在n边形A1A2…An中：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n≥3且n∈N*)．8．(·西宁质检)已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析]等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋eq\f(1＋cos60°＋2a,2)＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝eq\f(1,2)＋sin2α＋eq\f(cos60°＋2α,2)＋eq\f(\r(3),4)sin2α－e