高中数学 1.3 弧度制基础巩固 北师大版必修4

【成才之路】-学年高中数学1.3弧度制基础巩固北师大版必修4一、选择题1．终边在第三象限的角平分线上的角α的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5,4)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))[答案]B[解析]先在[0,2π)内找到第三象限角平分线所对应的角eq\f(5π,4).再加上2π的整数倍，即：α＝2kπ＋eq\f(5π,4)，(k∈Z)．∴选B.2．下列各对角中终边相同的是()A.eq\f(π,2)和－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z) B．－eq\f(π,3)和eq\f(22π,3)C．－eq\f(7π,9)和eq\f(11π,9) D．－eq\f(20π,9)和eq\f(122π,9)[答案]C[解析]∵－eq\f(7,9)π＝－2π＋eq\f(11,9)π，∴－eq\f(7,9)π与eq\f(11,9)π终边相同．3．下列转化结果错误的是()A．67°30′化成弧度是eq\f(3π,8) B．－eq\f(10π,3)化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6) D.eq\f(π,12)化成度是15°[答案]C[解析]对A,67°30′＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8)，正确；对于B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10π,3)×(eq\f(180,π))°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，错误；对D，eq\f(π,12)＝eq\f(π,12)×(eq\f(180,π))°＝15°，正确．4．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)[答案]A[解析]∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时|－eq\f(3π,4)|＝eq\f(3π,4)是最小的．5．在半径为2cm的圆中，若有一条弧长为eq\f(π,3)cm，则它所对的圆心角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[答案]A[解析]设圆心角为θ，则θ＝eq\f(\f(π,3),2)＝eq\f(π,6).6．半径为2cm，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形面积为()A.eq\f(π,3)cm2 B．eq\f(2π,3)cm2C.eq\f(4π,3)cm2 D．eq\f(8π,3)cm2[答案]C[解析]由于l＝r·α＝2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)(cm)，所以扇形的面积为：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)·eq\f(4π,3)·2＝eq\f(4π,3)(cm2)，故选C.二、填空题7．(1)300°化为弧度是________；(2)－eq\f(5π,6)化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是______________．[答案](1)eq\f(5π,3)(2)－150°(3){α|eq\f(3π,4)＋2kπ≤α≤eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z}[解析](1)(2)考查角度与弧度的互化.(3)考查终边相同角的写法．(1)300°＝300×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,3).(2)－eq\f(5,6)π＝－eq\f(5π,6)×eq\f(180°,π)＝－150°.(3)用集合表示时，不要漏掉k∈Z.8．若角θ的终边与eq\f(8π,5)的终边相同，则在[0,2π]内终边与角eq\f(θ,4)的终边相同的角是________．[答案]eq\f(2π,5)或eq\f(9π,10)或eq\f(7π,5)或eq\f(19π,10)[解析]θ＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．当k＝0时，eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)；k＝1时，eq\f(θ,4)＝eq\f(9π,10)；k＝2时，eq\f(θ,4)＝eq\f(7π,5)；k＝3时，eq\f(θ,4)＝eq\f(19π,10).三、解答题9．(1)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积．(2)已知扇形周长为20cm[解析](1)弧长l＝αr＝eq\f(2,3)π×6＝4π，∵OA＝OB＝6，∴AB＝6eq\r(3)，圆心到AB的距离为d＝3.∴弓形面积S＝S扇形－S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×62－eq\f(1,2)×6eq\r(3)×3＝12π－9eq\r(3).(2)设扇形圆心角为α，半径为R，扇形面积为S，则αR＋2R＝20.∴α＝eq\f(20－2R,R)，∴S＝eq\f(1,2)αR2＝10R－R2＝25－(R－5)2，∴当R＝5cm时，S有最大值25cm2，此时α＝2.一、选择题1．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，则下列集合与集合P相等的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) B．{α|α＝kπ，k∈Z}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ或α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))[答案]D[解析]α＝eq\f(kπ,2)，k∈Z由k＝0,1,2,3,4，……知，角的终边在坐标轴上．而α＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z表示角的终边在y轴上；α＝kπ，k∈Z表示角的终边在x轴上；α＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z表示角的终边在y轴正半轴上．故选D.2．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．∅ B．{α|0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}[答案]D[解析][2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]在k≥1或k≤－2时为空集，于是，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．二、填空题3．扇形的周长是16，圆心角是2rad，则扇形的面积是________．[答案]16[解析]弧长l＝2R，∴16＝4R，∴R＝4，∴S＝eq\f(1,2)×2×4×4＝16.4．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．[答案]2eq\r(3)[解析]设圆半径为R，则圆的外切正三角形的边长为2eq\r(3)R，∴l＝2eq\r(3)R，∴圆心角θ＝eq\f(l,R)＝eq\f(2\r(3)R,R)＝2eq\r(3).三、解答题5．若角α的终边与角eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，求α的值．[解析]设角eq\f(π,6)的终边为直线OA，OA关于直线y＝x对称的直线为OB，则以OB为终边的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α的值为－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).6．已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，求扇形圆心角的弧度数．[解析]设扇形的弧长为l，它所在圆的半径为r，圆心角为α(0<α<2π)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝6，,\f(1,2)lr＝2.))消去l得r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4；当r＝2时，l＝2，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．7．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析]解法一：设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S.则l＋2r＝30，即l＝30－2r. ①将①式代入S＝eq\f(1,2)lr，得S＝eq\f(1,2)(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－eq\f(15,2))2＋eq\f(225,4).所以当r＝eq\f(15,2)cm时，扇形面积最大，且最大面积为eq\f(225,4)cm2.此时圆心角θ＝eq\f(30－15,\f(15,2))＝2.解法二：设扇形的半径为r，圆心角为θ(0<θ<2π)，则弧长为r·θ.由题意，得2r＋r·θ＝30，即r＝eq\f(30,2＋θ).所以S＝eq\f(1,2)θ·r2＝eq\f(1,2)·eq\f(302·θ,θ2