高中数学 1.3 反证法基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学1.3反证法基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A．无解 B．两解C．至少有两解 D．无解或至少有两解[答案]D2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.3．若x，y>0且x＋y>2，则eq\f(x,1＋y)或eq\f(y,1＋x)的值满足()A.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)中至少有一个大于eq\f(1,2)B.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)都小于eq\f(1,2)C.eq\f(x,1＋y)和eq\f(y,1＋x)都大于eq\f(1,2)D．不确定[答案]A[解析]利用反证法解决．假设eq\f(x,1＋y)≤eq\f(1,2)，eq\f(y,1＋x)≤eq\f(1,2)，x>0，y>0，则1＋y≥2x,1＋x≥2y⇒2＋x＋y≥2x＋2y⇒x＋y≤2，这与x＋y>2矛盾．二、填空题4．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案]两个方程都没有实数根5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个不小于________．[答案]eq\f(1,3)[解析]假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，与已知条件矛盾．a、b、c中至少有一个不小于eq\f(1,3).三、解答题6．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.[解析]已知∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题1．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数[答案]D[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．2．若a、b、c不全为零，必须且只需()A．abc≠0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中只有一个是0D．a、b、c中至少有一个不为0[答案]D[解析]a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.3．(·山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．4．设a、b、c为一个三角形的三边，S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，若S2＝2ab，试证S<2a.用反证法证明该题时的假设为()A．S2≠2ab B．S>2C．S≥2a D．S≤[答案]C[解析]对“<”的否定应为“≥”，故选C.5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2CA．△A1B1C1和△A2B2CB．△A1B1C1和△A2B2CC．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2CD．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C[答案]D[解析]由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f(π,2)－A1，,sinB2＝cosB1＝sin\f(π,2)－B1，,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2)－C1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1＝\f(π,2)－A1，,B2＝\f(π,2)－B1，,C2＝\f(π,2)－C1.))那么，A2＋B2＋C2＝eq\f(π,2)，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．二、填空题6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________．[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2).那么其反设应该是__________________．[答案]如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥eq\f(1,2)[解析]根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不能构成等差数列．[解释]假设eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)能构成等差数列，则由eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a、b、c构成等差数列，即2b＝a＋c.②所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝c，这与a、b、c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)不能构成等差数列．9．已知a、b是正有理数，eq\r(a)、eq\r(b)是无理数，证明：eq\r(a)＋eq\r(b)必为无理数．[解析]假设eq\r(a)＋eq\r(b)为有理数，记p＝eq\r(a)＋eq\r(b)，因为a、b是正有理数，所以p>0.将eq\r(a)＝p－eq\r(b)两边平方，得a＝p2＋b－2peq\r(b)，所以eq\r(b)＝eq\f(p2＋b－a,2p).因为a、b、p均为有理数，所以eq\r(b)必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以eq\r(a)＋eq\r(b)必为无理数．[点评]数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．已知x、y、z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝eq\f(1,2)，求证：x、y、z∈[0，eq\f(2,3)]．[分析]本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析]假设x、y、z中有负数，不妨设x<0，则x2>0，则y＋z＝1－x，y2＋z2≥eq\f(y＋z2,2)，∴eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x<0，∴x－eq\f(2,3)<0.∴eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))>0.∴eq\f(1,2)≥eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2)>eq\f(1,2)，矛盾．∴x，y，z中没有负数．假设x，y，z中有一个大于eq\f(2,3)，不妨设x>eq\f(2,3).则eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x>eq\f(2,3