高中数学 1.2.3 第1课时直线与平面垂直基础巩固试题 新人教B版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.2.3第1课时直线与平面垂直基础巩固试题新人教B版必修2一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定[答案]B[解析]三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行 B．相交C．垂直 D．不确定[答案]D[解析]当l∥α时，直线l上所有点到α的距离都相等；当l与α相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P′，有P、P′到平面的距离相等，∴不确定．3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能确定[答案]B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.4．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β[答案]D[解析]以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面5．下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3 B．4C．5 D．6[答案]A[解析]因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a∥α，b⊥a时，b与α可以平行相交(垂直)也可以b⊂α，∴⑤错．当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b⊂α，∴⑥错．6．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直 B．平行C．a在平面α内 D．不确定[答案]D[解析]直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a⊂α，或a∥α，或a⊥α，或a与α斜交．二、填空题7．如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．[答案]PO⊥地面α[解析]∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB.又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.8.如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是________个．[答案]4[解析]∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB、△PAC为直角三角形．又∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．(·山东临沂高一期末测试)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.[解析]∵在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，∴A′D⊥EF.一、选择题1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多有一个C．有无数多个 D．一定不存在[答案]B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．2．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝eq\r(2)r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．π B．2πC．3π D．4π[答案]D[解析]此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为eq\r(2)r，所以三棱锥底面面积为eq\f(1,2)(eq\r(2r))2＝r2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.二、填空题3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)[答案]直线[解析]过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内，∵AB是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A与α相交的直线，其交点都在此交线上．4.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．[答案]2[解析]∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.三、解答题5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1[解析]∵ABCD－A1B1C1D1∴AB⊥平面BB1C又∴B1E⊂平面BB1，C1C∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1，连接A1C1，∵AB＝AD，∴面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1∴AC1⊥平面B1ED1.6.如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.[解析]∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，∴ME⊥AB.若MN⊥AB，∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，∴AB⊥EN.取AB中点D，连接PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.又M为PC中点，ME∥BC，∴E为PB中点．∵EN∥PD，∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB.7．(·山东济南一中月考)如图所示，AB是圆O的直径，PA