高中数学 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】-学年高中数学1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．(·山东济南商河弘德中学)已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]1rad＝(eq\f(180,π))°，则α＝－3rad＝－(eq\f(540,π))°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．与－eq\f(13π,3)终边相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))[答案]D[解析]与－eq\f(13π,3)终边相同的角α＝2kπ－eq\f(13π,3)，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－eq\f(13π,3)＝(2k－6)π＋eq\f(5π,3)，(k∈Z)．3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．∅B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案]D[解析]k≤－2或k≥1时A∩B＝∅；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是()A．eq\f(1,sin1) B．eq\f(1,sin2)C．eq\f(2,sin1) D．eq\f(2,sin2)[答案]C[解析]所在圆的半径为r＝eq\f(1,sin1)，弧长为2×eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).5．(·浙江象山中学高一月考)某扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角等于()A．2° B．2C．4° D．4[答案]B[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝4,\f(1,2)lR＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝2)).∴该扇形圆心角α＝eq\f(l,r)＝2(rad)，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()INJ3.TIF"A．eq\f(175π,36) B．eq\f(125π,18)C．eq\f(75π,18) D．eq\f(34π,9)[答案]A[解析]40°＝40×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,9)，30°＝30×eq\f(π,180)＝eq\f(π,6)，∴S＝eq\f(1,2)r2·eq\f(2π,9)＋eq\f(1,2)r2·eq\f(π,6)＝eq\f(175π,36).二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．[答案]eq\f(180＋π,360)、eq\f(180－π,360)[解析]设两角为α、β则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α－β＝\f(π,180),α＋β＝1))，∴α＝eq\f(180＋π,360)、β＝eq\f(180－π,360).8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．[答案]eq\f(n－2,n)π[解析]∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是eq\f(n－2π,n).三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(7π,3).(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．[解析](1)∵－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6)，∴－570°与eq\f(5π,6)终边相同，eq\f(5π,6)在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝4π＋eq\f(π,6)，∴750°与eq\f(π,6)终边相同，eq\f(π,6)在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝eq\f(3π,5)＝(eq\f(3,5)×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.IN"一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____弧度．()A．π B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)[答案]C[解析]∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是eq\f(π,3)弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有()A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)[答案]D[解析]将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()A．eq\f(π,3)cm B．πcmC．eq\f(3π,2)cm D．eq\f(2π,3)cm[答案]B[解析]由弧长公式得，l＝|α|R＝eq\f(π,3)×3＝π(cm)．4．下列各组角中，终边相同的角是()A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．eq\f(kπ,2)与kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．kπ＋eq\f(π,6)与2kπ±eq\f(π,6)，k∈Z D．kπ±eq\f(π,3)与eq\f(kπ,3)，k∈Z[答案]A[解析]2k＋1与4k±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－eq\f(11π,4)写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．[答案]－eq\f(3π,4)[解析]－eq\f(11π,4)＝－eq\f(3π,4)－2π＝eq\f(5π,4)－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－eq\f(3π,4).6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.[答案]{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}[解析]y轴对应的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－eq\f(π,2)＋2kπ<θ<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}．三、解答题7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<eq\f(3π,2).因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝eq\f(2kπ,7)，k∈Z.当k分别取4、5时，2θ分别为eq\f(8π,7)、eq\f(10π,7)，它们都在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))内．因此θ＝eq\f(4π,7)rad或θ＝eq\f(5π,7)rad.8．设集合A＝{α|α＝eq\f(3,2)kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝eq\f(5,3)kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析]设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，所以α0＝eq\f(3,2)k1π，α0＝eq\f(5,3)k2π，所以eq\f(3,2)k1π＝eq\f(5,3)k2π，即k1＝eq\f(10,9)k2.因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.[解析](1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x(cm)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋xθ＝8,\f(1,2)θ·x2＝3))，解得θ＝eq\f(2,3)或6，即圆心角的