10.3频率与概率课件高一下学期数学人教A版

第十章概率10.3频率与概率人教A版

数学

必修第二册课程标准1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系.2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A).3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法.基础落实·必备知识全过关知识点1

随机事件的频率与概率的关系大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有

.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会

,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的

.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).

P(A)≈fn(A),n越大,估计效果越好

随机性缩小稳定性名师点睛对于频率与概率的区别和联系的剖析(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是

0.5,与做多少次试验无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.过关自诊1.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?提示

随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.2.[北师大版教材习题]问题辨析:(1)天气预报:“明天降雨的概率是80%”,明天出门是否一定遇上雨?(2)彩票中奖率为1%,你买100张彩票是否一定中奖?(3)抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率为0.5,那么连续抛掷这枚硬币2次,一定是一次出现正面、一次出现反面吗?解

(1)不一定,“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这一事件发生的可能性是80%,还有20%的可能性“明天不降雨”,故不一定遇上雨.(2)不一定,中奖率1%表示中奖的可能性大小为1%,并不是说买100张彩票就一定有一张中奖.(3)不一定,出现正面的概率为0.5表示抛掷硬币一次,出现正面的可能性为0.5,连续抛掷这枚硬币2枚,可能都出现正面,也可能都出现反面,也可能是一正一反.3.[人教B版教材习题]从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:g):125,120,122,105,130,114,116,95,120,134.从这一堆苹果中,随机抽出一个,则得到的苹果质量落在[114.5,124.5]内的概率可估计为多少?解

10个苹果中,质量落在区间[114.5,124.5]内的有4个,频率为

=0.4,所以苹果质量落在区间[114.5,124.5]内的概率可估计为0.4.知识点2

随机模拟1.随机数与伪随机数(1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.(2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.2.蒙特卡洛方法利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用

解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

随机模拟

过关自诊用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢?提示

因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.重难探究·能力素养全提升探究点一对概率的正确理解【例1】

下列说法正确的是(

)A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1D解析

一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.规律方法

概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.变式训练1试解释下面情况中概率的意义:(1)某商场为促进销售,举办有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20;(2)一生产厂家称,我们厂生产的产品合格的概率是0.98.解

(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%;(2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.探究点二随机事件的频率与概率【例2】

近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):类别“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量,规律方法

1.由统计定义求概率的一般步骤:(1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数);(2)由

计算频率fn(A);(3)由频率fn(A)估计概率P(A).2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.变式训练2[苏教版教材例题]对某地近50年8月1日和9月1日的天气资料进行分析,其中降雨的结果如表所示.时间近10年近20年近30年近40年近50年8月1日降雨/天8172533419月1日降雨/天3791316问:该地8月1日与9月1日哪一天降雨的可能性大?解

该地8月1日与9月1日的降雨频率如表所示(精确到0.01).时间近10年近20年近30年近40年近50年8月1日降雨频率0.80.850.830.830.829月1日降雨频率0.30.350.30.330.32从表中可以看到,8月1日该地降雨的频率在0.8至0.85之间,其降雨的概率大约在0.8至0.85之间.而9月1日该地降雨频率在0.3至0.35之间,其降雨的概率大约在0.3至0.35之间.因此,可以估计该地8月1日的降雨可能性更大一些.探究点三游戏公平性的判断【例3】

某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?解

该方案是公平的,理由如下:各种情况如下表所示:和45671567826789378910由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种.所以(1)班代表获胜的概率为(2)班代表获胜的概率为

机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.规律方法

变式训练3有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种:A.猜“是奇数”或“是偶数”;B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么?解

(1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为0.2,“不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.探究点四利用随机数求事件的概率【例4】

一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球,都是白球.解

用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.(1)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n;②统计这n组数中小于6的组数m;③则任取一球,得到白球的概率近似为

.(2)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n';②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m';③则任取三球,都是白球的概率近似为规律方法

用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:(1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点;(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.

变式训练4袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232321210023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件A发生的概率为(

)C解析

18组随机数中,利用列举法求出事件A发生的随机数有210,021,001,130,031,103,共6个,估计事件A发生的概率为故选C.本节要点归纳1.知识清单:(1)概率与频率的关系.(2)用频率估计概率.(3)用随机模拟估计概率.2.常见误区:频率与概率的关系易混淆.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1.[探究点一]下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是(

)A.频率就是概率B.频率是随机的,与试验次数无关C.概率是稳定的,与试验次数无关D.概率是随机的,与试验次数有关C解析

频率指的是:在相同条件下重复试验,事件A出现的次数除以总数,是变化的.概率指的是:在大量重复进行同一个试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,这个常数就是事件A的概率,是不变的.故选C.123456789101112131415162.[探究点一·2023湖南岳阳湘阴期末]某网站举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是(

)A.某人抽奖100次,一定能中奖10次B.某人消费1000元,至少能中奖1次C.某人抽奖1次,一定不能中奖D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖D解析

中奖的概率为10%是说明在一次抽奖时,他中奖的可能性有10%,但也可能抽奖10次,一次也没中奖,D正确.故选D.123456789101112131415163.[探究点一]关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是(

)A.有10%的区域降水B.10%太小,不可能降水C.降水的可能性为10%D.是否降水不确定,10%没有意义C解析

根据概率的含义判定.123456789101112131415164.(多选题)[探究点一]某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(

)A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55ABC12345678910111213141516显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故选项A,B,C都正确,选项D不正确.故选ABC.123456789101112131415165.[探究点一]一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有

只.每次摸球,摸到白球的概率为

.

2123456789101112131415166.[探究点二]一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是

.

0.03

123456789101112131415167.[探究点二]李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布:成绩人数90分以上4380~89分18270~79分26060~69分9050~59分6250分以下8经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上.1234567891011121314151612345678910111213141516解

总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.(2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.12345678910111213141516B级关键能力提升练8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(

)A.0.35 B123456789101112131415169.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(

)C1234567891011121314151610.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(

)A.222石 B.224石 C.230石

D.232石B1234567891011121314151611.(多选题)下列说法中不正确的有(

)A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同BCD123456789101112131415161234567891011121314151612.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为

,估计数据落在[2,10)内的概率约为

.

64

0.41234567891011121314151613.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:在[10,20)内的有2个;在[20,30)内的有3个;在[30,40)内的有x个;在[40,50)内的有5个;在[50,60)内的有4个;在[60,70]内的有2个,并且样本数据在[30,40)内的频率为0.2,则x=

;根据样本的频率分布估计,总体中数据落在[10,50)内的概率约为

.

4

0.7