考研数学二分类模拟题40

考研数学二分类模拟题40一、填空题1.

二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+4x2x3的矩阵为______．正确答案：[解析]因为，所以

2.

设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为______．正确答案：[解析]令β3=α3，

正交规范化的向量组为

3.

设二次型的秩为2，则a=______．正确答案：[解析]该二次型的矩阵为，因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得．

4.

设为正定二次型，则t的取值范围是______．正确答案：t＞2[解析]二次型的矩阵为，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，，|A|＞0，解得t＞2．

二、选择题1.

设A，B为n阶可逆矩阵，则______．

A．存在可逆矩阵P1，P2，使得为对角矩阵

B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得为对角矩阵

C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵

D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B正确答案：D[解析]因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．

2.

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是______．A.A无负特征值B.A是满秩矩阵C.A的每个特征值都是单值D.A*是正定矩阵正确答案：D[解析]A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，A不对；

若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B不对；

C既不是充分条件又不是必要条件；

显然D既是充分条件又是必要条件．

3.

下列说法正确的是______．A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D[解析]A不对，如f=x1x2，．令，则；若令则

B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；

C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；

选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．

4.

设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X______．A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同正确答案：B[解析]因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选B．

5.

设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是______．A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵正确答案：B[解析]因为A与对角阵，合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP=，从而A=(PT)-1P-1=(P-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选B．

6.

设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则______．A.A，B合同B.A，B相似C.方程组AX=0与BX=0同解D.r(A)=r(B)正确答案：D[解析]因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选D．

7.

设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是______．A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.A～BD.A，B与同一个实对称矩阵合同正确答案：D[解析]因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选D．

8.

设，则A与B______。A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似正确答案：C[解析]由|λE-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值为1，1，-1，所以A与B合同但不相似，选C．

9.

设A，B为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：

(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为______．A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案：B[解析]因为A，B的特征值为-2，1，1．所以|A|=|B|=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选B．

三、解答题1.

用配方法化二次型为标准二次型．正确答案：[解]令，即X=PY，其中则

2.

用配方法化二次型为标准形．正确答案：[解]，

令或，即X=PY，其中则

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中

，3.

求正交变换X=QY将二次型化为标准形；正确答案：[解]由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，

因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于2重，显然λ=-1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=5．

由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=0的解，

故为λ1=λ2=-1对应的线性无关解．

令为λ3=5对应的特征向量，

因为AT=A，所以，即，解得

令，规范化得

令Q=(γ1，γ2，γ3)，则

4.

求矩阵A．正确答案：[解]由得

5.

用正交变换法化二次型为标准二次型．正确答案：[解]f(x1，x2，x3)=XTAX，其中

由

得λ1=-3，λ2=λ3=3．

由(-3E-A)X=0得λ1=-3对应的线性无关的特征向量为

由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3对应的线性无关的特征向量为

将α2，α3正交化得，单位化得

令

则

设二次型的秩为2．6.

求a．正确答案：[解]，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．

7.

用正交变换法化二次型为标准形．正确答案：[解]，由|λE-A|=0得λ1=λ2=2，λ3=0．

当λ=2时，由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为

当λ=0时，由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为

因为α1，α2两两正交，单位化得

令，则

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．

求：8.

二次型XTAX的标准形．正确答案：[解]因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1，

因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准形为

9.

|E+A+A2+…+An|的值．正确答案：[解]令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r．

设A为n阶实对称可逆矩阵，10.

记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；正确答案：[解]

因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是，显然A*，A-1都是实对称矩阵．

11.

二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?正确答案：[解]因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(X)=XTAX规范合同．

设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．12.

求A的全部特征值；正确答案：[解]由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)=3，从而A的特征值为0或-2，因为A是实对称矩阵且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=-2．

13.

当k为何值时，A+kE为正定矩阵?正确答案：[解]A+kE的特征值为k，k-2，k-2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．

14.

设二次型为正定二次型，求t的范围．正确答案：[解]二次型的矩阵为，因为该二次型为正定二次型，所以有解得

15.

设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．正确答案：[证明]方法一

因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得

其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此

于是|QT(A+E)Q|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．

方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．

16.

用配方法化下列二次型为标准形：

正确答案：[解]令，则f(x1，x2，x3)=XTAX，

令，或

设，显然P可逆，

且

17.

用配方法化下列二次型为标准形：

f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．正确答案：[解]令，或X=P1Y，其中且P1可逆，

则

再令，即，或Y=P2Z，

其中且P2可逆，

令，P可逆，且

二次型经过正交变换化为标准形，求：18.

常数a，b．正确答案：[解]令，则f(x1，x2，x3)=XTAX，矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=-4，

由得，解得

从而，特征值为λ1=λ2=5，λ3=-4．

19.

正交变换的矩阵Q．正确答案：[解]将λ1=λ2=5代入(AE-A)X=0，即(5E-A)X=0，

由得λ1=λ2=5对应的线性无关的特