考研数学二分类模拟题53

考研数学二分类模拟题53一、填空题1.

设f(u)连续，则正确答案：-xf(x2-1)[解]

则

2.

设正确答案：2[解]

3.

设f(x)连续，则正确答案：[解]

4.

设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，)=4，则正确答案：8π[解]由当t→0时，

由积分中值定理得

于是

5.

设而D表示整个平面，则

正确答案：a2[解]由

得

6.

设正确答案：[解]在D1={(x，y)|-∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；

在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，

则在D0=D1∩D2={(x，y)|-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，

所以

二、选择题1.

累次积分等于______.

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解]积分所对应的直角坐标平面的区域为选D．

2.

设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，则等于______

A．π

B．

C．

D．正确答案：B[解]根据对称性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，

选B．

3.

设其中D：x2+y2≤a2，则a值为______.

A．1

B．2

C．

D．正确答案：B[解]令

由

解得a=2，选B．

三、解答题1.

计算正确答案：[解]令

2.

已知，设D为由x=、y=0及x+y=t所围成的区域，求正确答案：[解]当t＜0时，F(t)=0；

当0≤t＜1时，

当1≤t＜2时，

当t≥2时，F(t)=1，则

3.

设f(x)连续，且f(0)=1，令正确答案：[解]令

由

得F'(t)=2πtf(t2)，F'(0)=0，

4.

计算二重积分正确答案：[解]

令

于是

5.

计算其中D={(x，y)|x2+y2≤4，x2+y2≥2x}.正确答案：[解]

令

而

所以

6.

计算正确答案：[解]D：x2+y2≤2x+2y-1可化为D：(x-1)2+(y-1)2≤1，

令

则

7.

设正确答案：[解]令

则

8.

计算正确答案：[解]令D1={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤x2}，

D2={(x，y)|-1≤x≤1，x2≤y≤2}，

则

而

故

9.

计算正确答案：[解]令解得

则

10.

计算正确答案：[解]将D分成两部分D1，D2，其中

则

11.

计算正确答案：[解]令

12.

计算其中D为单位x2+y2=1所围成的第一象限的部分.正确答案：[解]令

则

令

因为

13.

计算二重积分，其中D是曲线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的区域.正确答案：[解]根据对称性其中D1是D位于第一卦限的区域．

令

则

故

14.

设f(x)在[a，b]上连续，证明：正确答案：[证明]令

则

15.

设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0.证明：存在(ξ，η)∈D，使得

正确答案：[证明]因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得

mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)

积分得

(1)当时，，则对任意的(ξ，η)∈D，有

(2)当时，

由得

由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得

即

16.

设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且y=0，x=a围成区域的形心，证明：正确答案：[证明]

令

因为f"(x)＞0，所以f'(x)单调增加，所以φ"(x)＞0.由再由原不等式得证．

17.

设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b.

证明：正确答案：[证明]因为积分区域关于直线y=x对称，

所以

又因为f(x)＞0，所以从而

18.

设f(x)为连续函数，计算其中D是由y=x3，y=1，x=-1围成的区域.正确答案：[解]设f(x)的一个原函数为F(x)，则

19.

交换积分次序并计算正确答案：[解]

而

于是

20.

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0.证明：正确答案：[证明]等价于等价于或者

令

根据对称性，

因为f(x)＞0且单调减少，所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以

21.

证明：用二重积分证明正确答案：[证明]令D1={(x，y)|x2+y2≤R2，x≥0，y≥0)，

S={(x，y)|0≤x≤R，0≤y≤R}，