考研数学二分类模拟231

考研数学二分类模拟231解答题1.

证明：若f(x)是以T为周期的连续函数，则为周期函数或者F(x)可表示为线性函数与周期等于T的函数之和．正确答案：证明：因为，所以

又因f(x)是周期为T的连续函数，所以

于是

F(x+T)-F(x)=K

若K=0，则F(x)为周期等于T的周期函数．

若K≠0，可考虑，则

所以，φ(x)是以T为周期的周期函数，从而

则F(x)是线性函数与周期等于T的周期函数之和．[考点]一元函数微积分

2.

计算行列式

正确答案：解：将第1行乘以-1加到第2行，再将新得到的第2行乘以-1加到第3行，依次进行下去，可得

由范德蒙行列式得

[考点]行列式

3.

若f(x)在[a，b]上二次连续可微，，证明

其中．正确答案：证明：利用泰勒定理，将f(x)在处展开，则

其中ξ介于x与之间．

注

[考点]一元函数微积分

4.

设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n-1，求方程组Ax=0的通解．正确答案：解：设A=(aij)nn，A的各行元素之和为零，即ai1+ai2+…+ain=0，亦即

，所以．又因r(A)=n-1，所以为方程组Ax=0的基础解系，从而通解为．[考点]线性方程组

5.

求的逆矩阵．正确答案：解：

所以

[考点]矩阵

6.

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量β可以由α1，α2，…，αs线性表出的充分必要条件是α1，α2，…，αs，β线性相关．正确答案：证明：必要性是显然的．下面证充分性．

设α1，α2，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，…，ks，l使得

k1α1+k2α2+…+ksαs+lβ=0①

如果l=0，那么k1，k2，…，ks不全为0，并且从式①得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

于是α1，α2，…，αs线性相关．这与已知条件矛盾，因此l≠0，从而由式①得

[考点]向量

7.

设对非零x，y，有f(xy)=f(x)+f(y)，且f'(1)=a，求f'(x)(x≠0)．正确答案：解：由f(xy)=f(x)+f(y)，可得f(1)=0

则

[考点]一元函数微积分

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中．8.

求正交变换x=Qy将二次型化为标准形；正确答案：解：由AB+B=0，得(E+A)B=0，从而

r(E+A)+r(B)≤3

因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，即r(-1·E-A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于二重，显然λ=-1不可能为三重特征值，又因A的主对角线上元素之和为3，则A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=5．

由(E+A)B=0可得，矩阵B的列向量组均为方程组(E+A)x=0的解，故为λ1=λ2=-1对应的特征向量．

令为λ3=5对应的特征向量．

因为AT=A，所以解得，令

单位化得

令Q=(γ1，γ2，γ3)，则

[考点]二次型

9.

求矩阵A.正确答案：解：由

得

[考点]二次型

10.

设，若将A的第1行和第2行互换后得到矩阵B，求B-1．正确答案：解：因为B=E12A，所以

[考点]矩阵

11.

证明：n个n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是

其中是列向量αi的转置，i=1，2，…，n．正确答案：证明：设A=(α1，α2，…，αn)，则α1，α2，…，αn线性无关|A|=|α1，α2，…，αn|≠0．

因

从而D=|ATA|=|AT||A|=|A|2，故α1，α2，…，αn线性无关D≠0．[考点]向量

12.

设，当a，b为何值时，存在矩阵C，使得AC-CA=B，并求所有的矩阵C.正确答案：解：设，则

得

对(*)的增广矩阵作初等行变换

当a≠-1或b≠0时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以方程组(*)无解．

当a=-1且b=0时，方程组(*)有解，(*)的同解方程组为

通解为

x=(1，0，0，0)T+k1(1，-1，1，0)T+k2(1，0，0，1)T

其中k1，k2为任意常数，故知当且仅当a=-1，b=0时，存在满足条件的矩阵C，且，其中k1，k2为任意常数．[考点]矩阵、向量、方程组

13.

f(x)在[0，+∞)上具有连续二阶导数，又设f(0)＞0，f'(0)＜0，f"(x)＜0．证明：f(x)在区间内至少有一个根．正确答案：证明：对任意的x∈(0，+∞)，由泰勒公式有，其中η∈(0，x)，则

而f(0)＞0，由零点定理，至少有一点，使f(ξ)=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

14.

已知，计算n阶行列式

正确答案：解：

[考点]行列式

设fn(x)=sinx+sin2x+…+sinnx．试证：15.

对任意正整数n，方程fn(x)=1在内有且仅有一个根；正确答案：证明：令Fn(x)=fn(x)-1，则

当n=1时，；当n＞1时，，，由零点定理可知，Fn(x)在内至少有一个根．而

即Fn(x)单调递增，则Fn(x)在有且仅有一个根．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

16.

设是fn(x)=1的根，则．正确答案：证明：设x1是方程f1(x)=1的根，则；x2是f2(x)=1的根，则由第一小题的证明过程可知．

若xn是方程fn(x)=1的根，即Fn(xn)=0．再由第一小题的证明过程可知，Fn-1(xn-1)=0，即sinxn-1+sin2xn-1+…+sinn-1xn-1-1=0，所以

Fn(xn-1)=sinnxn-1+sinn-1xn-1+…+sinxn-1-1=sinnxn-1＞0

而Fn(x)递增，所以(n∈N+)．此即证得{xn}单调递减且有下界．

故可设，且

由于n≥3时，，所以．

对①两边取极限并注意，得，所以．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

17.

计算积分，其中

正确答案：解：利用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则

其中．

记

则

[考点]多元函数微积分

[解析]f(x，y)可表示为含有绝对值的函数

于是应当分拆为不同区域上的积分．

18.

设曲线L的方程为(1≤x≤e)，求L的弧长．正确答案：解：曲线的微分为

所以弧长为

[考点]定积分的应用

19.

当0≤x≤π时，讨论方程sin3xcosx=a实根的数目，并划分出这些根所在的区间．正确答案：解：当a=0时，方程显然有实根x=0，或π．接下来讨论a≠0的情况．

令f(x)=sin3xcosx-a，则f'(x)=3sin2xcos2x-sin4x．

令f'(x)=0，得驻点．由于

所以，当时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0．

整理上述信息，得到下列表格．

注意到，所以此时极大值即为最大值，极小值即为最小值．

故分以下五种情况讨论：

情况1时，方程无根(图1)；

图1

情况2时，方程有唯一根(图2)；

图2

情况3时，方程恰有两个根(图3)；

图3

情况4时，方程有唯一根(图4)；

图4

情况5时，方程无根(图5)