第49讲　圆的方程

第49讲圆的方程【备选理由】例1是求圆的方程的相关问题;例2是与圆有关的最值问题;例3考查与圆有关的轨迹问题;例4是求最值问题.例1[配例1使用](1)已知圆O(O为坐标原点)的直径为|AB|=4,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹与圆O的相交弦长为 (A)A.823 BC.223 D.(2)在平面直角坐标系中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径为

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[解析](1)显然圆O的半径为2,圆心为O(0,0),所以圆O的方程为x2+y2=4①.令A(-2,0),B(2,0),设动点M(x,y).由|MA|=2|MB|,得(x+2)2+y2=2·(x-2)2+y2,化简得x2+y2-12x+4=0②.由①-②可得相交弦所在直线的方程为(2)方法一:∵以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D,∴∠ADB=90°,∴CD是Rt△ADB斜边AB上的中线,又AB⊥CD,∴△ADB是等腰直角三角形,∴|AD|=|BD|,|AB|=2|BD|,∴|AD|2=|BD|2,|AB|2=2|BD|2.由题意设A(a,2a),a>0,D(b,2b),∴|AD|2=(a-b)2+(2a-2b)2,|BD|2=(b-5)2+(2b)2,|AB|2=(a-5)2+(2a)2,2|BD|2=2[(b-5)2+(2b)2],∴(a-b)2+(2a-2b)2=(b-5)2+(2b)2,(a-5)2+(2a)2=2[(b-5)2+(2b)2],化简得(a-b)(b-1)=0.∵a≠b,∴b=1,∴a=3,∴A(3,6),∴圆心C(4,3),∴|BC|2=(5-4)2+(0-3)2=10,∴|BC|=10,即圆C的半径为10.方法二:由题意设A(a,2a),a>0,∵B(5,0),∴Ca+52,a,∴圆C的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,由y=2x,(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,可得D(1,2),∴AB=(5-a,-2a),CD=-a+32,2-a,∴AB·CD=(5-a)×-a+32+(-2a)×(2-a)=12(a2-2例2[配例2使用](多选题)若实数x,y满足条件x2+y2=1,则下列判断正确的是 (BD)A.x+y的取值范围是[0,2]B.x2-4x+y2的取值范围是[-3,5]C.xy的最大值为1D.y-2[解析]对于A,1+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2,故(x+y)2=1+2xy≤1+(x+y)22,化简得(x+y)2≤2,所以-2≤x+y≤2,A错误.对于B,x2-4x+y2=1-4x,因为实数x,y满足条件x2+y2=1,所以-1≤x≤1,所以-3≤1-4x≤5,B正确.对于C,因为x2+y2=1,所以1+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2,故1+2xy=(x+y)2≥4xy,化简得xy≤12,当且仅当x=y=22时,等号成立,故xy的最大值为12,C错误.对于D,当过定点(-1,2)的直线的斜率不存在,即x=-1时,直线与圆相切,当过定点(-1,2)的直线的斜率存在时,令k=y-2x+1,则k可看作圆x2+y2=1上的动点与定点(-1,2)的连线的斜率,可设过定点(-1,2)的直线的方程为y-2=k(x+1).若该直线与圆x2+y2=1相切,则圆心到直线的距离为|k+2|例3[配例4使用][2023·安徽皖北协作体模拟]平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆,后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|,若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,则2m+3n-15A.10+25 B.10+215C.-5+210 D.-7+215[解析]设点P的坐标为(x,y),因为|PA|=2|PB|,所以|PA|2=2|PB|2,则(x+1)2+y2=2[(x-2)2+(y-1)2],整理得点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20.因为点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,所以圆心(5,2)在此直线上,即5m+2n=2,所以2m+3n-15=12(5m+2n)2m+3n-15=-7+124nm+15mn≥-7+12×24nm·15例4[补充使用][2023·成都三模]在平面直角坐标系xOy中,射线OT与直线l:x=9,圆O:x2+y2=9分别相交于A,B两点,若线段OB上存在点M(m,n)(不含端点),使得对于圆O上任意一点P都满足|PM||PA|=|BM||[解析]方法一:如图①,连接OP,BP,因为|PM||PA|=|BM||所以∠MPB=∠APB.因为|OP|=|OB|,所以∠OPB=∠OBP,所以∠OPB-∠MPB=∠OBP-∠APB,即∠OPM=∠OAP,又∠O=∠O,所以△OPM∽△OAP,所以|OP|2=|OM|·|OA|,所以|OM|·|OA|=9.设直线x=9与x轴交于点C,取点N(1,0),如图②,那么|ON|·|OC|=9,所以|OM|·|OA|=|ON|·|OC|,所以△OMN∽△OCA,所以MN⊥OA,所以点M的轨迹是以ON为直径的圆.所以点M的轨迹方程为m-122+n设m=12+12cosθ,n=12sinθ,θ所以mn=14sinθ(1+cosθ=sinθ2cos3θ2=333sin2θ当且仅当3sin2θ2=cos2θ2,即tanθ2=则mn的最大值为33方法二:因为M(m,n)且xA=9,所以|OM|=m2+n2所以由方法一的结论知9=m2+n则m=m2+n2,不妨令m>0,n>0,所以mn=m3-m4,令f(m)=m3-m4,则f'(m)=3m2-4m3=m2(3-4m),可得当0<m<34时,f'(m)>0,当34<m<3时,f'(m)所以f(m)在0,34上单调递增,在所以f(m)max=f34=3344,则mn的最大值为方法三:设M(m,km)(m>0),B(x,kx),A(9,9k),则点B关于原点O的对称点为B'(-x,-kx),因为|PM||PA|=|BM||BA|,根据阿氏圆的性质和相似,可得|BA||BM|=|B'A||B'M|,则9-xx-m=9+xm+x,整理得-x2+(9-m)x+9m=x2