第八章 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系

命题点五年考情命题分析预测直线与圆锥曲线的

位置关系2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷

ⅡT10；2022全国卷甲T15；2020新高考

卷ⅡT21本讲每年必考，命

题热点为直线与圆

锥曲线相交的弦

长、中点弦问题，

以及直线与圆锥曲

线的综合应用，常

与向量、圆等知识

综合命题，难度中

等偏上.弦长及中点弦问题2023全国卷乙T11；2023全国卷甲T20；

2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16；

2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷

ⅠT13；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷

ⅠT19切线及切点弦问题2021全国卷乙T21命题点五年考情命题分析预测直线与

圆锥曲

线的综

合应用2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023

全国卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷

ⅠT11；2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷

ⅡT21；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T20；

2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT20；2020

新高考卷ⅠT22；2020全国卷ⅠT20；2019全国卷

ⅡT21；2019全国卷ⅢT21在2025年高考备考时应

重视和直线与圆锥曲线

的位置关系相关的典型

题型的研究，注意培养

数学运算素养.在解题

时，要充分利用数形结

合、转化与化归等思

想.

1.直线与圆锥曲线位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去

y

(或

x

)，得到关于

x

(或

y

)的一元二次方

程，设其判别式为Δ，则①

⇔有两个交点

⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相

切；②

⇔无交点⇔相离.注意

直线与双曲线方程联立消元后，得出的方程中二次项系数为零时，直线与双

曲线渐近线平行，两者有且只有一个交点；二次项系数不为零时，利用判别式进行

判断.Δ＞0

Δ＜0

2.弦长与中点弦(1)弦长公式

(2)中点弦

3.切线与切点弦所在直线的方程圆锥曲线的方程y2＝2px(p＞0)过曲线上一点P(x0，y0)的切线方程y0y＝p(x0＋x)过曲线外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦所在直线的方程y0y＝p(x0＋x)

A.相交B.相切C.相离D.无法判断

A1234

A.8，6B.4，3

B12343.已知直线

l

：

y

＝

x

－1与抛物线

y

2＝4

x

交于

A

，

B

两点，则线段

AB

的长是

(

C

)A.2B.4C.8D.16

C1234

D1234

C训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

2(答案不唯一)

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7方法技巧(1)直线与椭圆的位置关系问题可直接转化为直线与椭圆的交点个数问题.(2)直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行

(或重合).(4)对于过定点的直线，可以根据定点与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的

位置关系，注意数形结合的应用.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7训练1

(1)[2023天津高考]过原点

O

的一条直线与圆

C

：(

x

＋2)2＋

y

2＝3相切，交曲线

y

2＝2

px

(

p

＞0)于点

P

，若｜

OP

｜＝8，则

p

的值为

⁠.

6

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7命题点2

弦长及中点弦问题角度1

弦长问题

13

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7例3

[2023成都市模拟]已知抛物线

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0，

p

≠4)，过点

A

(2，0)且斜率

为

k

的直线与抛物线

C

相交于

P

，

Q

两点.(1)设点

B

在

x

轴上，分别记直线

PB

，

QB

的斜率为

k

1，

k

2，若

k

1＋

k

2＝0，求点

B

的坐标；

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7方法技巧(1)使用弦长公式时注意对直线斜率的讨论.(2)直线经过特殊点(如焦点、原点等)或斜率特殊时，利用圆锥曲线的定义或数形结

合来求弦长.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7角度2

中点弦问题

A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)

D训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7方法技巧点差法解决中点弦问题的步骤(1)设弦的两个端点：

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)；(2)将两点坐标分别代入圆锥曲线方程中并两式作差，得到关于直线

AB

的斜率和线

段

AB

的中点坐标的关系式；(3)将已知条件代入关系式并化简求解.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7训练2

(1)已知

F

为抛物线

C

：

y

2＝4

x

的焦点，过

F

作两条互相垂直的直线

l

1，

l

2，

直线

l

1与

C

交于

A

，

B

两点，直线

l

2与

C

交于

D

，

E

两点，则｜

AB

｜＋｜

DE

｜的

最小值为(

A

)A.16B.14C.12D.10A训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7方法技巧(1)曲线的切线方程可以利用判别式求解，也可以利用导数的几何意义求解.(2)“代一半，留一半”是曲线的切线方程与切点弦所在直线方程相关结论的记

忆口诀.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7训练3

[2023山西运城模拟]过点

P

作抛物线

C

：

x

2＝4

y

的切线

l

1，

l

2，切点分别为

M

，

N

，若△

PMN

的重心坐标为(3，4)，则

P

点坐标为(

A

)A.(3，－3)B.(1，2)C.(2，1)D.(－3，3)A训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7(2)设

P

为第一象限内

E

上的动点，直线

PD

与直线

BC

交于点

M

，直线

PA

与直线

y

＝－2交于点

N

，求证：

MN

∥

CD

.

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7方法技巧(1)解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和

圆锥曲线的方程，消去

y

(或

x

)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合

题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊

情形.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

(1)求

C

的方程；

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

A.(3，7)B.[3，7]C.(1，9)D.[1，9]

B训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7解法二由“蒙日圆”定理可得，点

P

的轨迹方程为

C

1：

x

2＋

y

2＝4，所以要使圆

C

2：(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝

r

2(

r

＞0)上总存在点

P

满足题意，则圆

C

1与

C

2有交点，所

以｜2－

r

｜≤｜

C

1

C

2｜≤2＋

r

，又｜

C

1

C

2｜＝5，所以3≤

r

≤7，故选B.训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

性质1：

PA

⊥

PB

.

性质2：(1)

C

，

O

，

D

三点共线；(2)

CD

∥

AB

；

性质3：

PO

平分椭圆的切点弦

AB

.

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

训练2例1训练1例2训练3例3例4例5训练4例6训练5例7

C123456

A.1条B.2条C.3条D.4条C123456

123456

A.kAB·kOM＝－1B.若M(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0BD123456

123456

1234564.

[命题点3/多选/2023重庆市调研质量抽测]设

O

为坐标原点，

F

为抛物线

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞0)的焦点，过焦点

F

且倾斜角为θ的直线

l

与抛物线

C

交于

M

，

N

两点(点

M

在第二象限)，当θ＝30°时，｜

MF

｜＝2，则下列说法正确的是(

ABD

)A.p＝3C.存在直线l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°D.分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直ABD123456

123456

123456

123456

123456

123456

(1)求椭圆的方程和离心率

e

；

123456

(2)已知点

P

是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线

A

2

P

交

y

轴于点

Q

，若三角形

A

1

PQ

的面积是三角形

A

2

FP

的面积的二倍，求直线

A

2

P

的方程.123456

123456

A.±1A1234567891011121314

1234567891011121314

A.(2，＋∞)B.(1，2]C.(1，2)D.[2，＋∞)

A1234567891011121314

12345678910111213143.[2024南昌市模拟]已知抛物线

C

：

x

2＝4

y

的焦点为

F

，

P

是抛物线

C

在第一象限

内的一点，过点

P

作

C

的准线的垂线，垂足为

M

，

FM

的中点为

N

，若直线

PN

经过

点(0，－3)，则直线

PN

的斜率为(

C

)A.1B.2D.3

C1234567891011121314

12345678910111213144.[多选/2024牡丹江月考]已知直线

l

：

x

＝

ty

＋2与抛物线

C

：

y

2＝8

x

交于

A

，

B

两

点，若线段

AB

的中点是

M

(

m

，2)，则(

AB

)B.m＝3C.｜AB｜＝8D.点(－2，2)在以AB为直径的圆内AB1234567891011121314

1234567891011121314

A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0BD1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

(1)求椭圆

C

的标准方程；

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314(2)若

b

＝1，过点

F

作与直线

AB

平行的直线

l

，

l

与

C

交于

P

，

Q

两点，求直线

OP

的斜率与直线

OQ

的斜率的乘积.

1234567891011121314

B.2B1234567891011121314

123456789101112131410.[多选]在平面直角坐标系

xOy

中，点

A

(－1，0)在抛物线

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的

准线上，过抛物线

C

的焦点

F

作直线

l

交

C

于

P

，

Q

两点，点

B

(2，0)，则下列结论

正确的是(

BCD

)C.∠PAB＝∠QABD.∠OPB＋∠OQB＜180°BCD1234567891011121314[解析]由题可知，抛物线

C

的准线方程为

x

＝－1，所以

p

＝2，则

F

(1，0)，抛物

线

C

：

y

2＝4

x

.设

P

(

x

1，

y

1)，

Q

(

x

2，

y

2)，直线

l

的方程为

x

＝

ty

＋1，(巧设直线方

程，可避免分类讨论，也可以将