第四章 指数函数与对数函数 章末总结及测试（解析版）

第四章指数函数与对数函数章末总结及测试考点一指对数的运算（2024湖南娄底）计算下列各式的值：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8)．(9)；(10)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)4(7)2(8)(9)(10)【解析】（1）原式；（2）原式（3）.（4）.（5）原式；（6）原式．（7）.（8）.（9）.（10）.考点二指对数函数的定义域1（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数的定义域为.【答案】【解析】函数的定义域满足：，解得且.故答案为：.21．（2024·广东湛江·二模）函数的定义域为.【答案】【解析】要使原式有意义需满足，即，由于函数是减函数，所以，故函数的定义域为.故答案为：.3．（2023·江苏常州·一模）函数的定义域为．【答案】【解析】由题意函数有意义，需满足，解得且，故函数定义域为：.故答案为：.4．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为【答案】【解析】由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为.考点三指对数函数的单调性1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令在单调递减，单调递增，又函数单调递减，所以函数在单调递增，单调递减.故选：A.2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数在定义域上单调递减，故函数的减区间即为函数的增区间，所以，解得，即函数的减区间是.故选：D.3．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】二次函数的对称轴为，因为函数在R上单调递增，所以有，解得，即实数的取值范围是．故选：C．4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数，令，由正实数知，函数单调递减，因为在区间上单调递减，则单调递增且，所以，解得：，故的取值范围是故选：C.5．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）函数,若在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，则有，解得，，由，有，则，所以，得，即实数的取值范围为.故选：B.6．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在内是严格减函数，所以，，故.故选：D.考点四指对数函数值比较大小1．（23-24高二下·广西北海·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，，，而，所以.故选：A2．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在上递增，且，所以，即，所以，因为在上递减，且，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以.故选：B3．（23-24高二下·陕西延安·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，.故选：D4（23-24宁夏石嘴山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又，所以.故选：C5．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据函数在单调递增，知道，根据函数在单调递减，知道，根据函数在单调递减，知道，综上所得，.故选：C.6．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，又，且，所以，又，所以，故选：B.考点五指对数函数解不等式1．（23-24·湖北武汉·期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，又，所以，当且仅当时取等号，即，又，所以不能推出，所以是的不充分条件；又，所以是的必要条件，所以是的必要不充分条件.故选：B.2．（23-24高二下·浙江·期中）“”是“关于的不等式成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，解得或，由于为或的真子集，故“”是“关于的不等式成立”的充分不必要条件.故选：A3．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，不等式可化为，所以，可得；当时，不等式可化为，所以，且，，所以不等式的解集是，故选：B.考点六指对数函数过定点1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图像经过定点．【答案】【解析】当，即时，恒成立，故函数的图象恒过定点，故答案为：．2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像必经过定点．【答案】【解析】令，得，，所以函数的图像必经过定点.故答案为：.3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为；若点P在直线上，其中，则的最小值为．【答案】【解析】因为恒过定点，所以（且）过定点P（4，1）所以，即，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为9．故答案为：.考点七指对数函数的值域1．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的值域为．【答案】【解析】若，则，可知在内单调递减，当时，；当时，；所以；若，则，对于，可知在内单调递增，当时，；当时，；所以当时，；综上所述：函数的值域为.故答案为：.2．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为．【答案】【解析】由题意，解得，故，经检验，符合题意，又，故，，故.故答案为：3．（23-24高一上·福建三明·期中）函数在时的值域是．【答案】【解析】当时，，函数，显然当，即时，，当，即时，，所以所求值域是.故答案为：4．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为.【答案】【解析】因为，当，即时，取到最小值，且.故答案为：5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.【答案】【解析】当时，；当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得；当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为：6．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】①若，当时，在上单调递增，此时，则，又不成立，所以此时不成立，排除选项D；②若当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，则函数的值域，满足；排除选项A；③若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域满足，则解得.综上所述：.故选：C.7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数满足，且在上的值域为，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在上的值域为，将问题转化为在上的值域为，且开口向上对称轴为，，如下图所示：由图象可知：，解得，故选：B.考点八指对数函数性质的综合运用1．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数为奇函数.(1)求实数a的值；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，即在定义域上恒成立，整理得，故；（2）由（1）得，则，因为，所以，所以，所以在的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得.2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为.(1)若非空集合满足，求实数a的取值范围；(2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意知函数，令，即的定义域为，又非空集合满足，则,故，解得，即实数a的取值范围为；（2），定义域为，任取，且设，则，由于，且，则，，故，即，故是定义域上的严格增函数.3．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求的值；(2)若，，使得不等式成立，求的取值范围；(3)若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为，所以；经检验，当时，为上的奇函数,故为所求.（2）由，解得．易知是上的单调递减函数．又是定义在上的奇函数，由，故，使得成立．即，使得成立，又，当且仅当时，等号成立，故.（3）因为，解得或舍去．由，令，则．当时，在上的最大值为，即，解得，不成立．当时，在上的最大值为，即，解得或舍去．综上所述，．考点九零点定理1．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数定义域为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，故函数在上单调递增，又，，故函数的零点所在的区间是.故选：B.2．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】作图易知函数的图象与函数的图象在y轴两侧各有一个交点，设，则，，，，故，，所以函数的零点所在区间是，．故或．故选：C.

3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递增，所以在上递增，所以为唯一的零点，设函数与交点为，的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递减，所以在上递减，所以为唯一的零点，设函数与交点为，因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以.故选：B4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知若函数有三个不同的零点，则取值范围是．【答案】【解析】由题意得，令，则与有3个不同的交点，其中，当时，为二次函数，开口向上，对称轴为，当时，单调递增，画出两函数图象如下：要想与有3个不同的交点，则，故答案为：5．（23-24高一下·甘肃白银·期中）若函数有2个零点，则m的取值范围是．【答案】【解析】由，得．设函数，作出的大致图象，如图所示．

函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点，由图可知，m的取值范围是．故答案为：.考点十函数模型的应用1．（2024高三·全国·专题练习）某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据：年份2019202020212022…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下三个函数模型：①；②；③．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．【答案】(1)选③；(2)要考虑转型【解析】（1）将代入，得，解得，得，当时，，不符合题意；将代入，得，解得，得，当时，，不符合题意；将代入，得，解得，得当时，，当时，，故可用③来描述之间的关系．（2）由，则.∵年利润率为，∴该企业要考虑转型．2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表．上市时间天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(2)记你所选取的函数，若存在，使得不等式成立，求正实数的取值范围．【答案】(1)选择，该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元(2)【解析】（1）将分别代入，得，所以，即，当且仅当,即时，最小，所以该纪念章市场价最低时的上市天数为天，最低市场价为；（2）因为为正实数，所以原不等式可以整理为：，，因为对，都有不等式恒成立，即，根据的函数性质，可知上单调递减，上单调递增，所以时，，则，解得，所以正实数的取值范围为.一、单选题1．（2024山东临沂·阶段练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，，，所以.故选：B2．（2024甘肃张掖·期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（

）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066【答案】C【解析】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以,因为，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.3．（2024内蒙古·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，∵在上单调递减，∴在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．4．（22-23高一上·北京·阶段练习）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，故.故选：B5．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（

）A．40年 B．30年 C．20年 D．10年【答案】D【解析】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年，则由题意得，即，所以，，所以，即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年.故选：D6．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设方程即方程在上存在零点，令，显然在上单调递减，而，所以的值域为，所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是，所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件.故选：C.7．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，在上单调递增，则函数，故，函数在上单调递增，当时，在上单调递减，所以函数的最大值不超过1，则，又因为，解得：.故选：C.8．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，则，，，因为，，，即，由于函数在上为减函数，所以，可得.故选：C．二、多选题9．（24-25高一上·上海·课前预习）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（）A． B．且 C．且 D．且【答案】AD【解析】（且）的图像过第二象限,则或，故或，故选：AD.10．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数【答案】AC【解析】对于函数，令，解得，函数的定义域为，故A正确；因为在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，同理可得在上单调递增，所以为上的增函数，又，其中，因为，所以，所以，所以，则，所以，即，又的值域为，函数的值域为，故B错误；又，函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误．故选：AC．11．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（）A．已知，，则B．的值为1C．若，则的值为D．若且，则【答案】ABC【解析】因为，则，且，则则，故A正确；，故B正确；由可得，则，故C正确；因为，则，则，所以，所以，故D错误；故选：ABC三、填空题12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数.【答案】1【解析】因为函数为偶函数，所以，即，整理得，所以.故答案为：113．（23-24高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为.【答案】5【解析】因为，所以，可得函数是周期为4的奇函数，因为，可得的图象关于直线对称，当时，，又易知，所以时，，由对称性可先画出函数在区间上的图象，根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象，由，得，分别画出函数和的图象，如图，

由，又，，而，可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5.故答案为：5.14．（23-24高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是.【答案】【解析】令，由对勾函数的性质可知：对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，画出的图象如下：故值域为，作出函数的图象，如下：令，解得：，令，解得：，，令，解得：，当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解；当时，存在使得，此时方程有三解，其中时，有1个解，即，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，时，无解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有七解，时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有八个解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有六解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，当时，有2个解，时，有2个解；综上：实数t的取值范围是.故答案为：.、解答题15．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数．(1)求a的值；(2)求解不等式；(3)当时，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以，，则，则；（2），即，整理得，则，所以．（3），所以在上是严格减函数．由可得：，所以，当时，，，所以，又，所以；由可知：当时，，所以；当时，，所以；当时，，则，而，，则满足题意，函数的定义域，则时不符，舍去．综上．16．（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且.(1)判断函数的奇偶性；(2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；(3)若，且在上的最小值为，求的值.【答案】(1)奇函数；(2)单调递增，；(3).【解析】（1）函数的定义域为R，，所以函数是奇函数.（