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文档简介

第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值、范围问题

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2训练1

[2022全国卷甲]设抛物线

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦点为

F

，点

D

(

p

，0)，过

F

的直线交

C

于

M

，

N

两点.当直线

MD

垂直于

x

轴时，｜

MF

｜＝3.(1)求

C

的方程.

训练2例1训练1例2(2)设直线

MD

，

ND

与

C

的另一个交点分别为

A

，

B

，记直线

MN

，

AB

的倾斜角分

别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线

AB

的方程.[解析]如图，根据(1)知

F

(1，0)，

D

(2，0).

当

MN

的斜率存在时，设

M

(

x

1，

y

1)，

N

(

x

2，

y

2)，

A

(

x

3，

y

3)，

B

(

x

4，

y

4)，

训练2例1训练1例2

即

y

(

y

1＋

y

2)－

y

1(

y

1＋

y

2)＝4(

x

－

x

1)，所以直线

MN

的方程为

y

(

y

1＋

y

2)－

y

1

y

2＝4

x

.同理可得，直线

AM

的方程为

y

(

y

3＋

y

1)－

y

3

y

1＝4

x

，直线

BN

的方程为

y

(

y

4＋

y

2)

－

y

4

y

2＝4

x

，直线

AB

的方程为

y

(

y

4＋

y

3)－

y

4

y

3＝4

x

.因为

F

(1，0)在

MN

上，所以

y

1

y

2＝－4.因为

D

(2，0)在

AM

，

BN

上，所以

y

3

y

1＝－8，

y

4

y

2＝－8，

训练2例1训练1例2

所以直线

AB

的方程

y

(

y

4＋

y

3)－

y

4

y

3＝4

x

可化为(

y

1＋

y

2)

y

＋8＝2

x

，

当

y

2＋

y

1＜0时，tan(α－β)＜0，不符合题意.训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

(2)过点

P

(0，－3)的直线

l

的斜率为

k

，交椭圆

E

于不同的两点

B

，

C

，直线

AB

，

AC

分别交直线

y

＝－3于点

M

，

N

，若｜

PM

｜＋｜

PN

｜≤15，求

k

的取值范围.训练2例1训练1例2

由①②可得，｜

k

｜≤3.综上可得－3≤

k

＜－1或1＜

k

≤3.所以

k

的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].训练2例1训练1例2方法技巧圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来

解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再

求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不

等式法及函数的单调性法等.训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

训练2例1训练1例2

(1)求

C

的标准方程；

12

12

12

(1)求椭圆

C

的标准方程；

12(2)若直线

l

1与椭圆

C

交于

D

，

E

两点，直线

l

2与椭圆

C

交于

M

，

N

两点，且

l

1⊥

l

2，

l

1，

l

2交于点

P

，求｜

DE

｜·｜

MN

｜的取值范围.

12

12

1234

(2)过点

M

(0，2)的直线

l

与

C

交于

A

，

B

两点，且∠

AOB

为锐角(

O

为坐标原点)，求

l

的斜率的取值范围.1234

1234

(1)求

p

；

1234

[解析]由(1)得抛物线

C

：

y

2＝4

x

，则

F

(1，0)，显然直线

MN

的斜率不可能为零，

1234

1234

1234

1234

1234

1234(2)若直线

y

＝

kx

－1与

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