第五章 突破3 数列中的创新型问题

第五章数列突破3数列中的创新型问题命题点1

数学文化情境下的数列应用

5

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差(或公比)、项

数、通项公式或前n项和等.例1训练1例2训练2例3训练3训练1

[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋

数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中

最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问

题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数

列{

an

}，记{

an

}的前

n

项和为

Sn

，则

S

10＝(

C

)A.495B.522C.630D.730

C例1训练1例2训练2例3训练3命题点2

现代生活情境下的数列应用例2

某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水

位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要

调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆

翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔

20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指

挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车(

C

)A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3训练2

[多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组

利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的

n

(

n

∈N*)个彩虹

圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能

移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩

虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记

an

为2号杆中

n

个彩虹圈全部移动

到1号杆所需要的最少移动次数，设

bn

＝

an

＋1－

n

，则下面结论正确的是(

ABD

)ABDA.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1例1训练1例2训练2例3训练3[解析]由题意易得，

a

1＝1，

a

2＝3.易知将

n

＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需

要的最少次数为

an

＋1，若要将2号杆中的

n

＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第

一步，将除了最大的彩虹圈的

n

个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次

数为

an

；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将

3号杆中的

n

个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为

an

，所以

an

＋1＝

2

an

＋1，所以

an

＋1＋1＝2(

an

＋1).又

a

1＋1＝2，所以数列{

an

＋1}是以2为首项，2

为公比的等比数列，所以

an

＋1＝2

n

，

an

＝2

n

－1，

a

3＝7，所以选项A，B均正确；

因为

bn

＝

an

＋1－

n

，所以

bn

＝2

n

＋1－1－

n

，所以选项C错误；

例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

数列中的新定义问题

A.5B.6C.7D.8A例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3训练3

函数

y

＝[

x

]称为高斯函数，[

x

]表示不超过

x

的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]

＝1.已知数列{

an

}满足

a

3＝3，且

an

＝

n

(

an

＋1－

an

)，若

bn

＝[lgan

]，则数列{

bn

}的

前2025项和为

⁠.

4968

例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增

等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有

一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走

d

里，九天他一

共行走了一千二百六十里，求

d

的值.关于该问题，下列结论错误的是(

A

)A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里A123

123

A.7年B.8年C.9年D.10年B123

故选B.1233.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第

m

项等于这

个数列的前

m

项的乘积，则称这个数列为“

m

积特征列”，若各项均为正数的等比

数列{

an

}为“6积特征列”，且

a

1＞1，则当{

an

}的前

n

项之积最大时，

n

的值为

(

CD

)A.5B.4C.3D.2CD123

123

1.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，

n

按照某种顺序排成一列得到数列{

an

}，对任

意1≤

i

＜

j

≤

n

，如果

ai

＞

aj

，那么称数对(

ai

，

aj

)构成数列{

an

}的一个逆序对.若

n

＝4，则恰有2个逆序对的数列{

an

}的个数为(

B

)A.4B.5C.6D.7[解析]由题知数列{

an

}中的项都是正整数，当

n

＝4时，1≤

i

＜

j

≤4，将1，2，

3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为

{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5

个，故选B.B1234567

A.60B.120C.240D.480B1234567

1234567

19

1234567

5

12345675.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的

量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，

芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为

尺.84

1234567

12345676.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{

an

}和{

bn

}记录他们的

成绩.若第

k

题甲答对，则

ak

＝

k

，若第

k

题甲答错，则

ak

＝－

k

；若第

k

题乙答对，

则

bk

＝2

k

－1

，若第

k

题乙答错，则

bk

＝－2

k

－1.已知

b

1＋

b

2＋…＋

b

10＝767，

a

1

b

1

＋

a

2

b