第七章 第4讲 空间直线、平面的垂直

第七章立体几何与空间向量第4讲空间直线、平面的垂直

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.借助长方体，通过

直观感知，了解空间

中直线与直线、直线

与平面、平面与平面

垂直的性质定理与判

定定理.线面垂直的判

定与性质2023全国卷甲T11；2021

新高考卷ⅠT12；2021新高

考卷ⅡT10；2020新高考卷

ⅠT4；2020新高考卷ⅠT20；

2020全国卷ⅠT18；2019全

国卷ⅡT17本讲内容是高考命题

的重点，主要考查直

线与平面以及平面与

平面垂直的判定定理

和性质定理的应用，

不仅会单独命题，课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用已

获得的结

论，证明

空间图形

的垂直关

系的简单

命题.面面垂直的

判定与性质2022全国卷乙T7；2022

全国卷乙T18；2021新

高考卷ⅠT20；2021新高

考卷ⅡT19；2020全国卷

ⅡT20；2019全国卷

ⅢT19也经常应用于求解球的切、接问

题以及建立空间直角坐标系前的

线线垂直证明中，题型既有小题

也有大题，难度中等.这里应特

别注意证明空间线线、线面垂直

关系时，灵活应用平行对垂直的

转化作用.垂直关系的

综合应用2023北京T16；2022全

国卷甲T18

1.直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条异面直线互相垂直.2.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线

l

与平面α内的①

直线都垂直，就说直线

l

与平面α互相垂直.任意一条

(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定

定理如果一条直线与一个平面

内的两条②

⁠直线

垂直，那么该直线与此平

面垂直.

性质

定理垂直于同一个平面的两条

直线⑥

⁠.

相交

l⊥α

平行

a∥b

规律总结垂直关系中常用的6个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意一条直线(证明线线

垂直的一个重要方法).(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线与另一个平面也垂直.(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.(5)三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那

么它也和这条斜线垂直.(6)三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，

那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑧

⁠，就说这两个平

面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定

理如果一个平面过另一个平面的

⑨

⁠，那么这两个平面

垂直.

性质定

理两个平面垂直，如果一个平面

内有一直线垂直于这两个平面

的⑪

⁠，那么这条直

线与另一个平面垂直.

直二面角

垂线

交线

1.在空间中，α，β是两个不同的平面，

m

，

n

是两条不同的直线，下列说法错误的

是(

C

)A.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βB.若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nC.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD.若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β[解析]由

m

⊥α，

m

∥

n

，得

n

⊥α，又

n

⊂β，所以α⊥β，A说法正确；由α∥β，

m

⊥α，得

m

⊥β，又

n

⊥β，所以

m

∥

n

，B说法正确；若α∥β，

m

⊂α，

n

⊂β，则

m

，

n

可能平行或异面，C说法错误；由面面垂直的性质定理知D说法正确.故选C.C12342.[教材改编]下列命题中不正确的是(

A

)A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γA12343.已知一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于α，则sinα＝(

B

)

B12344.[教材改编]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，直线

AB

与

A

1

D

1所成角的大小

为

；直线

AD

1与

DC

1所成角的大小为

⁠.[解析]因为

A

1

B

1∥

AB

，所以∠

D

1

A

1

B

1就是异面直线

AB

与

A

1

D

1

所成的角.因为∠

D

1

A

1

B

1＝90°，所以直线

AB

与

A

1

D

1所成角的大小为90°.如图，连接

AB

1，

B

1

D

1.因为

AB

1∥

DC

1，所以直线

AB

1与

AD

1所成的角即直线

DC

1与

AD

1所

成的角.又

AD

1＝

AB

1＝

B

1

D

1，所以△

AB

1

D

1为正三角形，所以∠

D

1

AB

1＝60°，所以直线

AD

1与

AB

1所成角的大小为60°，即直线

AD

1与

DC

1所成角的大小为60°.90°

60°

1234

命题点1

线面垂直的判定与性质例1

[2024惠州市二调节选]如图，已知平行六面体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面

ABCD

是正方形，侧面

ADD

1

A

1是矩形，点

P

为

D

1

C

1的中点，且

PD

＝

PC

.

求证：

DD

1⊥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3[解析]

(1)解法一因为四边形

CDD

1

C

1是平行四边形，点

P

为

D

1

C

1的中点，且

PD

＝

PC

，所以△

DD

1

P

≌△

CC

1

P

，所以∠

DD

1

P

＝∠

CC

1

P

，又∠

DD

1

P

＋∠

CC

1

P

＝180°，所以∠

DD

1

P

＝∠

CC

1

P

＝90°，所以

DD

1⊥

D

1

C

1，即

DD

1⊥

DC

.

因为侧面

ADD

1

A

1是矩形，所以

DD

1⊥

AD

，又

CD

∩

AD

＝

D

，

CD

，

AD

⊂平面

ABCD

，所以

DD

1⊥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3解法二如图，取

DC

中点

E

，连接

PE

.

因为

PD

＝

PC

，所以

PE

⊥

DC

.

因为四边形

CDD

1

C

1是平行四边形，点

P

为

D

1

C

1的中点，所以

PE

∥

D

1

D

，所以

D

1

D

⊥

DC

.

因为侧面

ADD

1

A

1是矩形，所以

DD

1⊥

AD

，又

CD

∩

AD

＝

D

，

CD

，

AD

⊂平面

ABCD

，所以

DD

1⊥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3方法技巧1.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(

a

⊥

b

，

a

⊥

c

，

b

∩

c

＝

M

，

b

⊂α，

c

⊂α⇒

a

⊥α)；(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝

l

，

a

⊥

l

，

a

⊂β⇒

a

⊥α)；(3)

a

⊥α，α∥β⇒

a

⊥β；(4)

a

∥

b

，

a

⊥α⇒

b

⊥α.2.证明线线垂直的常用方法(1)利用线面垂直的性质证明线线垂直；(2)计算两条直线的夹角的大小为90°或运用勾股定理的逆定理判断垂直；(3)平面几何中常见的垂直，如直径所对的圆周角为直角，菱形对角线相互垂直等.3.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3训练1

[2023全国卷甲]已知四棱锥

P

－

ABCD

的底面是边长为4的正方形，

PC

＝

PD

＝3，∠

PCA

＝45°，则△

PBC

面积为(

C

)C例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3[解析]在△

QDC

中，因为

QD

2＋

CD

2＝

QC

2，所以

CD

⊥

QD

.

又

CD

⊥

AD

，

QD

∩

AD

＝

D

，

QD

，

AD

⊂平面

QAD

，所以

CD

⊥平面

QAD

.

因为

CD

⊂平面

ABCD

，所以平面

QAD

⊥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3例3

[2024江苏常州模拟节选]如图所示，在四棱锥

P

－

ABCD

中，四边形

ABCD

为梯

形，其中

AB

∥

DC

，

AB

＝2

BC

＝2

CD

＝4，∠

BCD

＝60°，平面

PBD

⊥平面

ABCD

.

证明：

PB

⊥

AD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3方法技巧1.证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直

的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.(2)利用面面垂直的判定定理(

a

⊂α，

a⊥β⇒α⊥β).2.面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据.例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3训练3

[2022全国卷乙]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别为

AB

，

BC

的

中点，则(

A

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1DA例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3[解析]如图，对于选项A，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，因为

E

，

F

分别为

AB

，

BC

的中点，所以

EF

∥

AC

，又

AC

⊥

BD

，所以

EF

⊥

BD

，又易知

DD

1⊥

EF

，

BD

∩

DD

1＝

D

，从而

EF

⊥平面

BDD

1，又

EF

⊂平面

B

1

EF

，所以平面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1，故选项A正确；对于选项B，因为平面

A

1

BD

∩平面

BDD

1＝

BD

，所以由选项A知，平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线

AA

1与直线

B

1

E

必相交，故平面

B

1

EF

与平面

A

1

AC

不平行，故选项C错误；对于选项D，连接

AB

1，

B

1

C

，易知平面

AB

1

C

∥平面

A

1

C

1

D

，又平面

AB

1

C

与平面

B

1

EF

有公共点

B

1，所以平面

A

1

C

1

D

与平面

B

1

EF

不平行，故选项D错误.故选A.例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3训练4

[2024福建泉州质量监测节选]如图，三棱锥

P

－

ABC

中，

PA

⊥

PB

，

PA

＝

PB

，

AB

＝2

BC

＝2，平面

PAB

⊥平面

ABC

.

求三棱锥

P

－

ABC

体积的最大值.例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3[解析]

取

AB

的中点

O

，连接

PO

，如图所示.因为

PA

＝

PB

，所以

PO

⊥

AB

，又平面

PAB

⊥平面

ABC

，平面

PAB

∩平面

ABC

＝

AB

，

PO

⊂平面

PAB

，所以

PO

⊥平面

ABC

.

因为

PA

⊥

PB

，

PA

＝

PB

，

AB

＝2

BC

＝2，所以

PO

＝1，

BC

＝1，

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

求证：

BC

⊥平面

PAB

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3训练5

[2022全国卷甲]小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装

盒如图所示：底面

ABCD

是边长为8(单位：cm)的正方形，△

EAB

，△

FBC

，△GCD

，△

HDA

均为正三角形，且它们所在的平面都与平面

ABCD

垂直.(1)证明：

EF

∥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3[解析]

如图，分别取

AB

，

BC

的中点

M

，

N

，连接

EM

，

FN

，

MN

，∵△

EAB

与△

FBC

均为正三角形，且边长均为8，∴

EM

⊥

AB

，

FN

⊥

BC

，且

EM

＝

FN

.

又平面

EAB

与平面

FBC

均垂直于平面

ABCD

，平面

EAB

∩平面

ABCD

＝

AB

，平面

FBC

∩平面

ABCD

＝

BC

，

EM

⊂平面

EAB

，

FN

⊂平面

FBC

，∴

EM

⊥平面

ABCD

，

FN

⊥平面

ABCD

，∴

EM

∥

FN

，∴四边形

EMNF

为平行四边形，∴

EF

∥

MN

.

又

MN

⊂平面

ABCD

，

EF

⊄平面

ABCD

，∴

EF

∥平面

ABCD

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

例1训练1例2训练2训练3训练4例4训练5例3

1.[命题点2/2022全国卷乙]如图，四面体

ABCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

为

AC

的中点.(1)证明：平面

BED

⊥平面

ACD

.

123[解析]因为

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

DB

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

CDB

，所以

BA

＝

BC

.

又

E

为

AC

的中点，所以

AC

⊥

BE

，

AC

⊥

DE

.

因为

BE

∩

DE

＝

E

，且

BE

，

DE

⊂平面

BED

，所以

AC

⊥平面

BED

.

又

AC

⊂平面

ACD

，所以平面

BED

⊥平面

ACD

.

123

(2)设

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，点

F

在

BD

上，当△

AFC

的面积最小时，求三棱

锥

F

－

ABC

的体积.123

1232.[命题点3/北京高考]如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

为矩形，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

E

，

F

分别为

AD

，

PB

的中点.(1)求证：

PE

⊥

BC

.

[解析]因为

PA

＝

PD

，

E

为

AD

的中点，所以

PE

⊥

AD

.

因为底面

ABCD

为矩形，所以

BC

∥

AD

.

所以

PE

⊥

BC

.

123(2)求证：平面

PAB

⊥平面

PCD

.

[解析]因为底面

ABCD

为矩形，所以

AB

⊥

AD

.

又平面

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，所以

AB

⊥平面

PAD

，又

PD

⊂平面

PAD

，所以

AB

⊥

PD

.

又

PA

⊥

PD

，

PA

，

AB

⊂平面

PAB

，

PA

∩

AB

＝

A

，所以

PD

⊥平面

PAB

.

又

PD

⊂平面

PCD

，所以平面

PAB

⊥平面

PCD

.

123(3)求证：

EF

∥平面

PCD

.

[解析]如图，取

PC

的中点

G

，连接

FG

，

DG

.

1233.[命题点3/2024广东省佛山市南海区模拟节选]如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，

PA

⊥平面

ABCD

，

AD

⊥

CD

，

AB

∥

CD

，

PA

＝

AD

＝

CD

＝1，

AB

＝2.证明：

BC

⊥平面

PAC

.

123[解析]如图所示，取

AB

的中点

F

，连接

CF

，则

AF

＝

CD

＝1.又因为

AF

∥

CD

，所以四边形

AFCD

是平行四边形.因为

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，所以四边形

AFCD

是正方形，

所以

AC

2＋

BC

2＝4＝

AB

2，所以

AC

⊥

BC

，因为

PA

⊥平面

ABCD

，

BC

⊂平面

ABCD

，所以

PA

⊥

BC

，又因为

PA

，

AC

⊂平面

PAC

，

PA

∩

AC

＝

A

，所以

BC

⊥平面

PAC

.

123

1.[2023大同学情调研]如图，在四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

AD

＝

AA

1＝

1，

AD

⊥

AA

1，

AD

⊥

AB

，∠

A

1

AB

＝60°，

M

，

N

分别是棱

AB

和

BC

的中点，则

下列说法中不正确的是(

B

)A.A1，C1，M，N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCDB12345678910[解析]

对于A，如图，连接

MN

，

AC

，

A

1

C

1，因为

M

，

N

分别是棱

AB

和

BC

的

中点，所以

MN

∥

AC

.

由棱柱的性质，知

AA

1∥

CC

1，且

AA

1＝

CC

1，所以四边形

AA

1

C

1

C

是平行四边形，所以

AC

∥

A

1

C

1，所以

MN

∥

A

1

C

1，所以

A

1，

C

1，

M

，

N

四点共面，故A正确.(证明空间四点共面可转化为：(1)证明两条直线相交；(2)证

明两条直线平行)对于B，若

B

1

N

与

AB

共面，则

B

1，

N

，

A

，

B

四点共面，所以点

N

在平面

ABB

1

A

1

内，这与题设矛盾，故B不正确.12345678910对于C，因为

AD

⊥

AA

1，

AD

⊥

AB

，

AA

1∩

AB

＝

A

，所以

AD

⊥平面

ABB

1

A

1，故

C正确.对于D，连接

A

1

B

，因为∠

A

1

AB

＝60°，

AB

＝

AA

1＝1，所以△

ABA

1是等边三角

形，所以

A

1

M

⊥

AB

，由选项C，知

AD

⊥平面

ABB

1

A

1，又

A

1

M

⊂平面

ABB

1

A

1，

所以

A

1

M

⊥

AD

.

因为

AB

∩

AD

＝

A

，

AB

，

AD

⊂平面

ABCD

，所以

A

1

M

⊥平面

ABCD

，故D正确.故选B.123456789102.[2023乌鲁木齐市质检(一)]已知直线

a

，

b

与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分

条件是(

C

)A.a∥α，b∥β，a⊥bB.α⊥γ，β⊥γC.a∥α，a⊥βD.α∩β＝a，a⊥b，b⊂βC12345678910[解析]对于A，

a

∥α，

b

∥β，

a

⊥

b

，α与β可分别绕直线

a

与

b

任意转动，则α与β

可能相交，也可能平行，故不是α⊥β的充分条件，A错误；对于B，α⊥γ，β⊥γ，则

α与β可能相交，也可能平行，B错误；对于C，设过直线

a

的平面与α交于直线

c

，

因为

a

∥α，所以

a

∥

c

，又

a

⊥β，所以

c

⊥β，又

c

⊂α，所以α⊥β，所以C为α⊥β的

充分条件，C正确；对于D，α∩β＝

a

，

a

⊥

b

，

b

⊂β，若作直线

d

使得

a

⊥

d

，且

d

⊂α，则

b

与

d

的夹角即二面角α－

a

－β的平面角，由于该二面角不一定为直角，因

此α与β不一定垂直，D错误.故选C.123456789103.[2023山东省模拟]如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

为线段

A

1

B

上的动

点(不含端点)，则下列结论不正确的是(

B

)A.平面CBP⊥平面BB1PB.AP⊥平面CPD1C.AP⊥BCD.AP∥平面DD1C1CB12345678910[解析]对于A，因为

CB

⊥

BB

1，

CB

⊥

BP

，

BP

，

BB

1⊂平面

BB

1

P

，

BB

1∩

BP

＝

B

，所以

CB

⊥平面

BB

1

P

，又

CB

⊂平面

CBP

，所以平面

CBP

⊥平

面

BB

1

P

，所以A正确；对于B，当

P

为

A

1

B

的中点时，

AP

⊥

A

1

B

，

AP

⊥

BC

，

A

1

B

，

BC

⊂平面

CPD

1且

A

1

B

∩

BC

＝

B

，所以

AP

⊥平面

CPD

1，否则，

AP

与平面

CPD

1不

垂直，所以B错误；对于C，因为

BC

⊥

AB

，

BC

⊥

A

1

A

，

AB

，

AA

1⊂平面

A

1

AB

且

A

1

A

∩

AB

＝

A

，所以

BC

⊥平面

A

1

AB

，又

AP

⊂平面

A

1

AB

，所以

BC

⊥

AP

，所以C

正确；对于D，平面

A

1

ABB

1∥平面

DD

1

C

1

C

，

AP

⊂平面

A

1

ABB

1，所以

AP

∥平

面

DD

1

C

1

C

，所以D正确.故选B.123456789104.[多选/2021全国卷Ⅱ]如图，下列各正方体中，

O

为下底面的中心，

M

，

N

为顶

点，

P

为所在棱的中点，则满足

MN

⊥

OP

的是(

BC

)A

BBCC

D12345678910[解析]对选项A，B，C，D中的正方体建立如图所示的空间直角坐标系，设各正方

体的棱长均为2.

12345678910

123456789105.

[数学文化]《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在

如图所示的四棱锥

P

－

ABCD

中，

PD

⊥平面

ABCD

，底面

ABCD

是正方形，且

PD

＝

CD

，点

E

，

F

分别为

PC

，

PD

的中点，则图中的鳖臑有

个.5

12345678910[解析]因为

PD

⊥平面

ABCD

，

DC

，

BC

，

BD

⊂平面

ABCD

，所以

PD

⊥

DC

，

PD

⊥

BC

，

PD

⊥

BD

，由四边形

ABCD

为正方形，得

BC

⊥

CD

，因为

PD

∩

DC

＝

D

，

PD

，

DC

⊂平面

PCD

，所以

BC

⊥平面

PCD

.

因为

PC

⊂平面

PCD

，所以

BC

⊥

PC

，所以四面体

PDBC

是一

个鳖臑.因为

DE

⊂平面

PCD

，所以

BC

⊥

DE

.

因为

PD

＝

CD

，点

E

是

PC

的中点，所以

DE

⊥

PC

，又

PC

∩

BC

＝

C

，

PC

，

BC

⊂平面

PBC

，所以

DE

⊥平面

PBC

，因为

BE

⊂平面

PBC

，所以

DE

⊥

BE

，可知四面体

EBCD

的四个面都是直角三角形，即四面体

EBCD

是一个鳖臑.同理可得，四面体

PABD

、四面体

APDE

和四面体

FABD

也是鳖臑.123456789106.[2024南昌市模拟节选]如图，在三棱锥

P

－

ABC

中，

AB

⊥

BC

，

M

，

N

分别为

AC

，

AB

的中点，

PM

⊥

AB

.

求证：

AB

⊥

PN

.

12345678910[解析]因为

M

，

N

分别为

AC

，

AB

的中点，所以

MN

∥

BC

，因为

AB

⊥

BC

，所以

AB

⊥

MN

，因为

AB

⊥

PM

，

PM

∩

MN

＝

M

，所以

AB

⊥平面

PMN

，又

PN

⊂平面

PMN

，所以

AB

⊥

PN

.

12345678910

12345678910[解析]如图，取

AD

的中点

O

，连接

OM

，

OB

.

又

MB

＝2，所以

MO

2＋

BO

2＝

MB

2，所以

MO

⊥

BO

.

因为

AD

∩

BO

＝

O

，

AD

⊂平面

ABCD

，

BO

⊂平面

ABCD

，所以

MO

⊥平面

ABCD

，又

MO

⊂平面

MAD

，所以平面

MAD

⊥平面

ABCD

.

123456789108.[2024惠州市一调节选]如图，在五面体

ABCDE

中，

AD

⊥平面

ABC

，

AD

∥

BE

，

AD

＝2

BE

，

AB

＝

BC

，则在线段

CD

上是否存在点

P

，使得

PE

⊥平面

ACD

？若存

在，请指出点

P

的位置，并证明；若不存在，请说明理由.12345678910解法一如图1，分别取

AC

，

CD

的中点

O

，

P

，连接

OB

，

PE

，

OP

.

∴四边形

OBEP

是平行四边形，[解析]当点

P

为线段

CD

的中点时，

PE

⊥平面

ACD

.

证明如下：∴

OB

∥

PE

.

∵

AD

⊥平面

ABC

，

OB

⊂平面

ABC

，∴

AD

⊥

O