苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.18 构造三角形全等方法-作公共边、公共角、垂直（专项练习）（含答案）

专题1.18构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直（专项练习）1．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求证：（1）AE⊥BE；（2）E是线段CD的中点．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，、分别是、的中点，求证：．4．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知：如图，，，

（1）在图①中，求证：，；（2）在图②中，点是中点，点是中点，试探究与的关系，并证明．5．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图，在等腰中，，，直线经过点C，且点A，B在直线的同侧，过点A作于D．

（1）求证：；（2）点E在的延长线上，将线段绕点C逆时旋转得到线段，连接交直线于H．①依题意补全图形；②由作图过程猜想线段与的数量关系（不要求证明）．6．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．

（1）如图①，求证：；（2）如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．7．（17-18八年级上·湖北襄阳·期中）在中，，，点D为上一动点．

（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．8．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．

（1）第一种情形（如图）在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程；（2）第二种情形（如图）在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等）9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点、、在一条直线上，，，求证：.小虎同学的证明过程如下：证明：，，

第一步又，，≌，

第二步．

第三步（1）小虎同学的证明过程中，第一步出现错误；（2）请写出正确的证明过程.10．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若则．11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点．1）如图，求证：；（2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数．12．在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F．（1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）．（2）如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．13．（23-24八年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】活动2

用全等三角形研究：“筝形”如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．请结合教材内容，解决下面问题：【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．【性质探究】（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图2，在筝形中，，．求证：．证明：（3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明．【拓展应用】（4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数．14．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在学习了三角形全等的判定方法之后，我们知道：“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，让我们结合图形，对此进行探究：（1）如图1，在和中，，，，若为直角，则根据______，可以判定；（2）如图2，在和中，，，，若为钝角，试判断和是否全等，若全等，请说明理由；（3）在和中，，，，为锐角，则和不一定全等，请用尺规作图在图3中作出，使和不全等（不写作法，保留作图痕迹）.16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．

证明：∵（已知），∴，．∵D为边中点，∴．在与中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是．（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．

17．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；，，∵，，，，，，∵，__________；②，，则__________；【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．18．（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．

（1）如果，，①当点D在线段（不含端点）上时，如图1，则线段与的位置关系是_____②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？并说明理由．如果，是锐角，点D在线段（不含端点）上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质，可得出，即可得结论；（2）延长，交于，继而证明，得出后，证明，即可得出结论．【详解】证明：（1），，又、分别平分、，，，（2）如图，延长，交于，，，，，，且，，，∴E是线段CD的中点．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．见解析【分析】延长AM、DC交于点E，利用ASA即可证出△ADM≌△EDM，从而得出∠DAM=∠E，然后根据平行线的判定及性质可证∠E=∠BAM，从而得出∠DAM=∠BAM，即可证出结论．【详解】解：延长AM、DC交于点E∵∠AMD=90°∴∠EMD=180°－∠AMD=90°=∠AMD∵DM平分∠ADC，∴∠ADM=∠EDM∴在△ADM和△EDM中∴△ADM≌△EDM∴∠DAM=∠E∵∠B=∠C=90°∴∠B＋∠C=180°∴DC∥AB∴∠E=∠BAM∴∠DAM=∠BAM∴AM平分∠DAB．【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质是解题关键．3．见解析【分析】连接，由，，，证明，得到，根据、分别是、的中点，再证明，即可得出结论．【详解】证明：连接，，在和中，点、分别是、的中点，∴在和中，，．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等判定定理是解题的关键．4．(1)见解析(2)，，证明见解析【分析】（1）延长，与交于E，证明，得到，，利用三角形内角和定理，等量代换可得，即，即可证明；（2）证明，得到，，根据中点的定义得出，证明，得到，，进一步证明，即，可得结论．【详解】（1）解：如图，延长，与交于E，

∵，即，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2），，理由是：∵，，，∴，在和中，，∴，∴，，∵点是中点，点是中点，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．5．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）求出，，根据同角的余角相等得出结论；（2）①作，且，连接交于H，即可补全图形；②过点B作于S，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得，，最后再证即可．【详解】（1）证明：∵是平角，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①补全图形如图所示：

②；证明：过点B作于S，在上截取，连接，

∵，，∴，由（1）知，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．【点拨】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．6．(1)见解析；(2)（1）中结论不成立，；【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则；（2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则．【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，

∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的结论不成立，；理由：延长交于点H，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．7．(1)见解析(2)见解析(3)，不变化，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．（1）根据，得出，即可根据证明；（2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证；（3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，∴；（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：，不变化，理由如下：

过点A作的垂线交于点E∵∴∴同理∵∴同（1）理得在和中，∴∴∴是等腰直角三角形∴．8．(1)（斜边直角边），理由见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定．（1）“”定理只能用来证明两个直角三角形全等；（2）通过证明可得到中的一组直角边相等，再证明，推出，可得结论．【详解】（1）解：（斜边直角边），推理过程如下：，和都是直角三角形，在和中，，；（2）证明：如图，过A作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，

，在和中，，，．在和中，，，．在和中，，．9．(1)二(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定定理求解即可；（2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出．【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，，，，，，，，在和中，，≌，，，，在和中，，≌，．10．(1)见详解(2)见详解(3)3【分析】（1）运用三角形的内角和进行列式，即可作答；（2）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，由全等三角形的性质得出结论：；（3）延长交与T，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，即；（2）证明：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴，∵，则，∴，∴，在和中，，∴，∴．（3）解：延长交与T，如图：

是的角平分线，∴，∴，则，在和中，，∴，∴，由（2）可知：，∴，，∴，∵是的角平分线，∴，在和中，∴，∴，∴．∵∴即∵∴【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键．11．(1)证明见解析；(2)．【分析】（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质得出即可；（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可；本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴，∴，在与中，∴，∴；（2）如图，连接，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，在与中，∴，∴，，∴即，∴．12．(1)，详见解析；(2)，详见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；（1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论；（2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论．证明三角形全等是解题的关键．【详解】（1），理由如下：连接，如图1所示：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：与的数量关系：，证明如下：连接，∵，点D在的延长线上，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴．13．【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析〖概念理解〗（1）见解析〖性质探究〗（2）见解析（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析〖拓展应用〗（4）或【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论；（1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可；（2）连接，利用证明，即可得出结论；（3）利用证明，即可得出结论；（4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可．【详解】解：〖教材呈现〗如图，猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和，证明：∵，，，∴，∴，，，即平分和，∴垂直平分．〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求；〖性质探究〗（2）如图2，连接，在与中，，∴，∴；（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明∶在与中，，∴，∴，，即平分、．〖拓展应用〗（4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1，∴；②当筝形中，时，如图4-2，∵∴∴综上，当四边形为筝形时，的度数为或．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；【详解】解：（1）证明：，，，，，在和中，，，；（2）证明：过作于，如图：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中点；（3），理由如下：过点作于，如图：由（2）得：，，，，，，，，，．15．(1)(2)和全等；理由见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键．（1）根据判断全等即可；（2）过点B作交的延长线于G，过点E作交的延长线于H，利用角角边判定即可；（3）通过边边角画出反例即可．【详解】（1）解：在和中，，，，若为直角，则根据，可以判定；（2）证明：如图，过点B作交的延长线于G，过点E作交的延长线于H，∵，且都是钝角，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴；（3）解：如图，在和中，，和不全等；16．（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；（1）根据前后逻辑关系填空即可；（2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．（3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题．【详解】（1）证明：∵（已知），∴，．∵D为边中点，∴．在与中，∵，∴∴（全等三角形的对应边相等）;故答案为：，全