沪科版七年级数学上册举一反三专项练习3.14一次方程与方程组章末十六大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

专题3.14一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1解含参数的一元一次方程】 1【题型2整体代入法解一元一次方程】 2【题型3解含绝对值的一元一次方程】 2【题型4利用一元一次方程解决规律问题】 2【题型5一元一次方程中的动点问题】 4【题型6一元一次方程中的数形结合问题】 5【题型7一元一次方程的新定义问题】 7【题型8一元一次方程的应用】 8【题型9二元一次方程的整数解】 9【题型10由方程组的错解问题求参数的值】 9【题型11解含参数的二元一次方程组】 10【题型12根据二元一次方程方程有公共解求解】 10【题型13整体思想解二元一次方程组】 10【题型14二元一次方程组的新定义问题】 12【题型15二元一次方程组的规律探究】 12【题型16二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 14【题型1解含参数的一元一次方程】【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（

）A．b=−y−1,c=y+1 B．b=1−y,c=y−1C．b=y+1,c=−y−1 D．b=y−1,c=1−y【变式1-1】已知关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，则整数k的值为．【变式1-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x【变式1-3】已知关于x的方程x−2−ax6=A．−23 B．23 C．−34 D．34【题型2整体代入法解一元一次方程】【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于的y一元一次方程12020【变式2-1】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程32x−1−3(2x−1)+3=5令a=2x−1，得：3a−(3a+3)去括号，得：3a−9a−9=5，合并同类项，得：−6a=14，系数化为1，得：a=−7故2x−1=−73，解得阅读以上材料，请用同样的方法解方程：4【变式2-2】在解方程3x+1−13x−1=2x−1(1)7x+3(2)52x+3【变式2-3】当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12【题型3解含绝对值的一元一次方程】【例3】若关于x的方程x−2−1=a有三个整数解，则a的值是(A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-1】方程x−3x+1=2的解为x=【变式3-2】设y1=2+x，y2=2−x，当【变式3-3】解方程：|3x+1|−|1−x|=2．【题型4利用一元一次方程解决规律问题】【例4】如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1

(1)2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；(2)根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）(3)一根链条的总长度能否为73cm【变式4-1】观察下面有规律排列的三行数：

(1)第一行数中，第7个数是______，第8个数是______(2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题：①第二行数中，第7个数是______，第三行数中，第7个数是______；②取每行数的第2022个数，计算这三个数的和是______；③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为−5118，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由．【变式4-2】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：序号方程方程的解①2x=−2②2x=0③2x=______④2x=_____………(1)将上表补充完整，(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；(3)写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．【变式4-3】某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．

(1)第4个图案L4有白色地砖__________块地砖；第n个图案Ln有白色地砖__________块地砖（用含(2)已知L1的长度为3米，L2的长度为5米，…，Ln【题型5一元一次方程中的动点问题】【例5】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2

(1)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？(2)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？(3)当点P在所有运动过程中，连接PC或PB，求当t为何值时，△BCP的面积为12？【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其2中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【变式5-2】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，点P以每秒1cm的速度沿长方形的边运动，方向为A→B→C最终到达点C停止，设点P运动的时间为

(1)试用含t的式子表示线段BP的长；(2)求出当t为何值时，三角形AEP的面积等于5cm2【变式5-3】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P运动到点C时，点

(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_________

BQ=_________PB=_________(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ？(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由．【题型6一元一次方程中的数形结合问题】【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是－20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止．（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）

(1)在点M到达B点前，①经过______秒M、N之间间隔6个单位长度：②经过______秒原点刚好位于M、N的最中间；③经过______秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=AN）；(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值．【变式6-1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)数轴上点B表示的数是________，当t=2s时，点P(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【变式6-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−8、3、9、13．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t

(1)点A与原点O的距离是______．(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是______（用含t的代数式表示）．(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值．【变式6-3】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示−10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

(1)动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒；(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型7一元一次方程的新定义问题】【例7】已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x【变式7-1】定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称(1)判断当k=1时是否为方程x+42(2)方程x+42【变式7-2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=−12；②(2)已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．【变式7-3】在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3(2)若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4(3)若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x【题型8一元一次方程的应用】【例8】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【变式8-1】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3ℎ，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和B港相距【变式8-2】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？【变式8-3】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定：用水量（立方米）018～40以上的部分费用（元/立方米）33.54.5另外：每立方米收污水处理费1元．(1)11月小真家用水10立方米，交费___________元；小善家用水26立方米，交费___________元．(2)幸福小区某个家庭用水量记为x18≤x≤40立方米，请列式表示应交费___________元？(3)已知小美家12月份缴水费204元，他家12月用水多少立方米？【题型9二元一次方程的整数解】【例9】方程x+y=7的正整数解的对数是（

）A．5 B．7 C．6 D．无数对【变式9-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是．【变式9-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【变式9-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点【题型10由方程组的错解问题求参数的值】【例10】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1【变式10-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是【变式10-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b【变式10-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2【题型11解含参数的二元一次方程组】【例11】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y=【变式11-1】整数a为时，方程组2x+ay=4x+4y=8【变式11-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（

）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式11-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为【题型12根据二元一次方程方程有公共解求解】【例12】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（

A．x=3y=−1 B．x=1y=−12 C．【变式12-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【变式12-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当mA．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=3【变式12-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a【题型13整体思想解二元一次方程组】【例13】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3【变式13-1】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【变式13-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1(1)直接写出满足方程3x(2)解方程组3x【变式13-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m…请用2种不同的方法解决上面的问题．【题型14二元一次方程组的新定义问题】【例14】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y（1）当a=2，b=1时，d3，（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，【变式14-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．【变式14-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n(1)若2x−x3=−1(2)若x2+y3=45【变式14-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y=5，求m(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12【题型15二元一次方程组的规律探究】【例15】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：序号123……n方程组{{{方程组解{{{按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【变式15-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1y=甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答：．【变式15-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x+19y=21①②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17①-④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是x=−1y=2(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2【变式15-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．序号二元一次方程组二元一次方程组的解①x+y=1x=②x+y=1x=2③x+y=1x=3………………根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为，这个方程组的解为．（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求【题型16二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例16】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是________A．123和51互为“调和数” B．345和513互为“调和数”C．2018和8120互为“调和数” D．两位数xy和yx互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy，B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：【变式16-1】阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；②根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．【变式16-2】阅读材料：我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1根据以上信息解决下列问题：(1)请求出矩阵41(2)若矩阵a−2371b【变式16-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x问题：(1)求方程3x+2y=8的正整数解．(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和1专题3.14一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1解含参数的一元一次方程】 1【题型2整体代入法解一元一次方程】 3【题型3解含绝对值的一元一次方程】 6【题型4利用一元一次方程解决规律问题】 8【题型5一元一次方程中的动点问题】 13【题型6一元一次方程中的数形结合问题】 17【题型7一元一次方程的新定义问题】 24【题型8一元一次方程的应用】 30【题型9二元一次方程的整数解】 34【题型10由方程组的错解问题求参数的值】 36【题型11解含参数的二元一次方程组】 38【题型12根据二元一次方程方程有公共解求解】 40【题型13整体思想解二元一次方程组】 43【题型14二元一次方程组的新定义问题】 47【题型15二元一次方程组的规律探究】 50【题型16二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 54【题型1解含参数的一元一次方程】【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有A．b=−y−1,c=y+1 B．b=1−y,c=y−1C．b=y+1,c=−y−1 D．b=y−1,c=1−y【答案】B【分析】根据x=2022，y=−2021得到x=1−y，得到1−y2023+2023y−1=−a的解为【详解】∵x=2022，y=−2021得到x=1−y，∴1−y2023+2023y−1∵方程b2023+2023c=−a的解是∴b=1−y,c=y−1，故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．【变式1-1】已知关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，则整数k的值为．【答案】3或7．【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据5除以几得正整数，求出整数k．【详解】解：kx−2x=5，解得，x=5∵k为整数，关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，∴k-2=1或k-2=5，解得，k=3或k=7，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知数的系数的值．【变式1-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x【答案】−4【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），∴2kx-2a=6-6x-3bk，整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，∵无论k为何值，方程的解总是2，∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3，b=−4∴ab=3×(−4故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．【变式1-3】已知关于x的方程x−2−ax6=A．−23 B．23 C．−34 D．34【答案】C【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．【详解】解：x−去分母，得6x−去括号，得6x−2+ax=2x−12移项、合并同类项，得4+a将系数化为1，得x=−∵x=−10∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数则−5+故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．【题型2整体代入法解一元一次方程】【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于的y一元一次方程12020【答案】y=3．【分析】将方程12020x+3=2x+b变形为12020(y−1)+3=2(y−1)+b，在根据方程12020【详解】解：将关于y的一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5变形为即12020∵一元一次方程12020∴x=y−1，∵x=2，∴2=y−1，∴y=3．故答案为：y=3．【点睛】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于y的一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5变形为【变式2-1】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程32x−1−3(2x−1)+3=5令a=2x−1，得：3a−(3a+3)去括号，得：3a−9a−9=5，合并同类项，得：−6a=14，系数化为1，得：a=−7故2x−1=−73，解得阅读以上材料，请用同样的方法解方程：4【答案】x=13【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，原方程得：42a−(去括号，得：4a-20=1，移项，得：4a=21，系数化为1，得：a=214故x+2=214解得x=134【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．【变式2-2】在解方程3x+1−13x−1=2x−1(1)7x+3(2)52x+3【答案】(1)x(2)x=−【分析】（1）将x+3看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．（2）将2x+3、x−2分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．【详解】（1）移项，得7x+3整体合并，得10x+3即x+3=2，解得x=（2）52x+3移项、合并同类项得112去分母，得222x+3去括号，得44x+66=11x−22，移项、合并同类项，得33x=−88，解得x=−8【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．【变式2-3】当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12【答案】x＝1【分析】把x＝1代入代数式，使其值为2，求出a+b的值，方程变形后代入计算即可求出解．【详解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，即[2（a+b）﹣1]x＝1，把a+b＝1代入得：x＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型3解含绝对值的一元一次方程】【例3】若关于x的方程x−2−1=a有三个整数解，则a的值是(A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据绝对值的性质可得|x−2|−1=±a,然后讨论x≥2及x<2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．【详解】解：①若|x−2|−1=a,当x≥2时，x−2−1=a,解得：x=a+3，a≥−1；当x<2时，2−x−1=a,解得：x=1−a；a>−1；②若|x−2|−1=−a,当x≥2时，x−2−1=−a,解得：x=−a+3，a≤1；当x<2时，2−x−1=−a,解得：x=a+1，a<1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=−1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．故选：B．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．【变式3-1】方程x−3x+1=2的解为x=【答案】12或【分析】由绝对值的性质可得出3x+1=x±2，从而可分类讨论：①当3x+1=x−2时和②当3x+1=x+2时，再根据方程有意义可得出【详解】解：∵x−3x+1∴x−3x+1∴3x+1=x±2分类讨论：①当3x+1=x−2时∵方程有意义，∴x−2≥0，解得：x≥2，∴3x+1≥7，∴3x+1=x−2解得，x=−3②当3x+1=x+2时∵方程有意义，∴x+2≥0，解得：x≥−2，∴3x+1=±(x+2)，即3x+1=x+2或3x+1=−x−2，解得：x=12或故答案为：12或−【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．【变式3-2】设y1=2+x，y2=2−x，当【答案】−2≤x≤0【分析】根据题意，得到2+x=2−x，即【详解】解：∵y1=2+x，y∴2+x=2−x，即当x≤−2时，2+x<0,x<0，则−2+x−x=2，即2x=−4，解得当−2<x<0时，2+x>0,x<0，则2+x−x=2恒成立，即−2<x<0；当x≥0时，2+x>0,x≥0，则2+x+x=2，即2x=0，解得x=0；综上所述，当y1=y2时，故答案为：−2≤x≤0．【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．【变式3-3】解方程：|3x+1|−|1−x|=2．【答案】−13⩽x<1时，x=1【分析】令3x+1=0，1−x=0，得x=−13，x=1，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求【详解】解：①当x⩾1时，3x+1+1−x=2，x=0，不存在；②当−13⩽x<1时，3x+1+x−1=2③当x<−13时，−3x−1−1+x=2，∴|3x+1|−|1−x|=2的解是−13⩽x<1时，x=12【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将x的值分段去绝对值解方程．【题型4利用一元一次方程解决规律问题】【例4】如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1

(1)2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；(2)根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）(3)一根链条的总长度能否为73cm【答案】(1)4.66.4；8.2(2)1.8n+1(3)能，由40节组成【分析】（1）结合图形计算即可；（2）根据（1）中规律求解即可；（3）利用（2）中结论列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得：1节链条的长度=2.8cm2节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)]=4.6cm3节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×2]=6.4cm4节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×3]=8.2cm故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+2.8−1（3）一根链条的总长度可以为73cm设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1=73，解得x=40，∴总长度为73cm【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、解一元一次方程，从图形找规律是解题的关键．【变式4-1】观察下面有规律排列的三行数：

(1)第一行数中，第7个数是______，第8个数是______(2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题：①第二行数中，第7个数是______，第三行数中，第7个数是______；②取每行数的第2022个数，计算这三个数的和是______；③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为−5118，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)−128，256(2)①−129，258；②1；③1023【分析】（1）根据已知数据都是前一个数乘2得到的，再利用第奇数个系数为负求解即可；（2）①根据第二行的数比第一行的数小1，第三行的数等于第二行的数乘以−2，即可求解；②根据第一行的第n个数为−2n，第二行的数为−2n−1，第三行的数为−2③设第二行最左边的数为x−1，则其第二个数为−2x−1，第三行第一个数为−2−2x−1=4x+2，第二个数为【详解】（1）解：由题意可得，第7个数是−128，第8个数是256，故答案为：−128，256；（2）解：①由题意可得，∵−128−1=−129，−129×−2∴第二行数中，第7个数是−129，第三行数中，第7个数是258，故答案为：−129，258；②∵第一行的第n个数为−2n，第二行的数为−2n−1∴第一行的第2022个数为−22022，第二行的第2022个数为−22022−1∴−2=−2=1，故答案为：1；③设第二行最左边的数为x−1，则其第二个数为−2x−1，第三行第一个数为−2−2x−1=4x+2，第二个数为∴x−1+解得x=1024，∴x−1=1023，答：这四个数中最左边的数为1023．【点睛】本题考查数字规律型、用字母表示数、解一元一次方程，观察数据的规律，弄清数量关系列方程是解题的关键．【变式4-2】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：序号方程方程的解①2x=−2②2x=0③2x=______④2x=_____………(1)将上表补充完整，(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；(3)写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．【答案】(1)2，4(2)x=6(3)x=2【分析】（1）求解方程③和④可得解；（2）按照方程根的规律列出方程即可；（3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验．【详解】（1）解：第3个方程2x−2−x=−2，∴x=2，第4个方程2x−2−x=−4，∴x=4，故答案为：2，4（2）解：方程①2x−2−3x−1方程②2x−2−3x−2方程③2x−2−3x−3方程④2x−2−3x−4∴方程⑤为2x−2−3x−5（3）由上表可得每个方程的左边是2项的差，第一项是2x−2，第2项是−3x−n，右边是n，方程的解为∴第n（n为正整数）个方程为2x−2−3x−n【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练求解一元一次方程是解题的关键．【变式4-3】某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．

(1)第4个图案L4有白色地砖__________块地砖；第n个图案Ln有白色地砖__________块地砖（用含(2)已知L1的长度为3米，L2的长度为5米，…，Ln【答案】(1)15；3n+3(2)3036【分析】（1）由题意知，第1个图案L1有白色地砖3×2=6块地砖；第2个图案L2有白色地砖3×3=9块地砖；第3个图案L3有白色地砖3×4=12块地砖；第4个图案L4有白色地砖3×5=15块地砖；⋯⋯，可推导一般性规律为：第n个图案（2）由L1的长度为1+2=3米；L2的长度为2+3=5米；⋯⋯，可推导一般性规律：Ln的长度为n+n+1=2n+1米；∴令2n+1=2023，解得，n=1011【详解】（1）解：由题意知，第1个图案L1有白色地砖3×2=6第2个图案L2有白色地砖3×3=9第3个图案L3有白色地砖3×4=12第4个图案L4有白色地砖3×5=15⋯⋯∴可推导一般性规律为：第n个图案Ln有白色地砖3故答案为：15；3n+3；（2）解：∵L1的长度为1+2=3L2的长度为2+3=5⋯⋯，∴可推导一般性规律：Ln的长度为n+∴令2n+1=2023，解得，n=1011，∴L1011中白色正方形地砖有3n+3=3×1011+3=3036∴图案Ln【点睛】本题考查了图形的规律探究，一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．【题型5一元一次方程中的动点问题】【例5】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2

(1)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？(2)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？(3)当点P在所有运动过程中，连接PC或PB，求当t为何值时，△BCP的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3)t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12【分析】（1）先求出△ABC的周长为24，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：△ABC中，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴△ABC的周长=8+6+10=24cm∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm∴2t=12，解得t=6．故答案为：6；（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13cm∴2t=13，解得t=6.5．故答案为：6.5；（3）解：分两种情况：①当P在AC上时，

∵△BCP的面积=12，∴12∴CP=4，∴2t=4，则t=2；②当P在AB上时，

∵△BCP的面积=12=△ABC面积的一半，∴P为AB中点，∴2t=13，则t=6.5．故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其2中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【答案】D【分析】根据AP=AQ即可求解．【详解】解：设运动时间为t秒时，△APQ是以A为顶角的等腰三角形即AP=AQ∵AP=20−3t,AQ=2t∴20−3t=2t解得：t=4故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的简单应用．抓住AP=AQ是解题关键．【变式5-2】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，点P以每秒1cm的速度沿长方形的边运动，方向为A→B→C最终到达点C停止，设点P运动的时间为

(1)试用含t的式子表示线段BP的长；(2)求出当t为何值时，三角形AEP的面积等于5cm2【答案】(1)当P在AB上时，BP=当P在BC上时，BP=(2)当t为103或5时，三角形AEP的面积等于【分析】（1）根据题意及线段的和差分两种情况求解即可得出答案；（2）分当P在AB上时及当P在BC上时两种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式计算即可得出答案．【详解】（1）解：当P在AB上时，BP=当P在BC上时，BP=（2）解：①当P在AB上时，如图

∵△APE的面积等于5，∴1解得t=10②当P在BC上时，如图

∵△APE的面积等于5，∴S即4×3−1解得t=5．当t为103或5时，三角形AEP的面积等于5cm【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．【变式5-3】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P运动到点C时，点

(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_________

BQ=_________PB=_________(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ？(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由．【答案】(1)3t，2t，15−3t(2)3秒(3)能，15【分析】（1）由动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，得BQ=2t；由点P从点A出发在AB上运动，速度为3cm/（2）由点P在AB上运动，且BP=BQ，得15−3t=2t，解方程求出t的值即可；（3）先假设能够追上列方程，再解方程并检验即可．【详解】（1）解：根据题意得AP=3t，BQ=2t，AB=15cm，AD=BC=32当点P在AB上运动，则BP=15−3t（2）当BP=BQ时，则15−3t=2t，解得t=3，∴当t的值是3时，BP=BQ．（3）假设点P能追上点Q，则有3t−2t=15，解得t=15；当t=15时，3t=45<15+32=47，所以，当t=15，点P能追上点Q．【点睛】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与方程是解本题的关键．【题型6一元一次方程中的数形结合问题】【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是－20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止．（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）

(1)在点M到达B点前，①经过______秒M、N之间间隔6个单位长度：②经过______秒原点刚好位于M、N的最中间；③经过______秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=AN）；(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值．【答案】(1)①6；②8；③12(2)a=1或a=3或a=7或a=9．【分析】（1）设运动时间为t，依题意，点M表示的数为−20+3t，点N表示的数为−20+2t，①根据MN=6，列方程，即可求解；②根据MO=NO，列出一元一次方程，解方程，即可求解；③根据BM=AN，列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）分情况讨论，①当a<5时，点M返回时，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+4a，②当a>5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+40−4a【详解】（1）解：设运动时间为t，依题意，点M表示的数为−20+3t，点N表示的数为−20+2t，①∵−20+3t>−20+2t∴MN=6时，即−20+3t−解得t=6，故答案为：6．②当原点刚好位于M、N的最中间，即−20+3t=0−解得：t=8故答案为：8．③当BM=AN时，40−解得：t=12，故答案为12；（2）当动点M到达点B后，此时−20+3t=40解得：t=20此时点N表示的数为−20+2×20=20，

①当M返回时，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+4a，当20+4a<40，即a<5，依题意，20+4a−28=4解得：a=1或a=3；②当a>5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+依题意，60−4a−28=4解得：a=7或a=9；综上所述，a=1或a=3或a=7或a=9．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式6-1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)数轴上点B表示的数是________，当t=2s时，点P(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【答案】(1)−4，−6(2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB−OA=4，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−4；∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P运动t秒的长度为6t，∴P所表示的数为：6−6t当t=2s时，点P表示的数是6−6×2=−6故答案为：−4，−6；（2）解：①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当P不超过Q时，则10+4t−6t=8，解得t=1；当P超过Q时，则10+4t+8=6t，解得t=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【变式6-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−8、3、9、13．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t

(1)点A与原点O的距离是______．(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是______（用含t的代数式表示）．(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值．【答案】(1)8(2)2t+3(3)t=1(4)1，52，【分析】（1）由点A表示的数是−8，得OA=|−8|=8，于是得到问题的答案；（2）由OB=|3|=3，BP=2t，得OP=BP+OB=2t+3，于是得到问题的答案；（3）当点P与点C重合时，则2t=9−3，求得t=3，当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，由OP=2t+3，PQ=9+t−(2t+3)=6−t，且OP=PQ，得2t+3=6−t，求得t=1；（4）当点Q与点D重合时，则t=13−9=4，所以0≤t≤4，当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是9−2(t−3)，即15−2t(3<t≤4)，所以OP=15−2t，PQ=9+t−(15−2t)=3t−6，可知三角形OPQ的三边长分别为OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6−t，或OP=15−2t，PQ=3t−6，再按OP=OQ，OP=PQ，PQ=OQ分别列方程，求出符合题意的t值即可．【详解】（1）解：∵点A表示的数是−8，∴OA=|−8|=8，故答案为：8．（2）∵点B表示的数是3，∴OB=|3|=3，∵BP=2t，∴OP=BP+OB=2t+3，故答案为：2t+3．（3）当点P与点C重合时，则2t=9−3，解得t=3，∴当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，∵点P表示的数是2t+3，点Q表示的数是9+t，且点Q在点P右侧，∴PQ=9+t−(2t+3)=6−t，∵OP=2t+3，且OP=PQ，∴2t+3=6−t，解得t=1，∴t的值是1．（4）t的值是52或7当点Q与点D重合时，则t=13−9=4，∴0≤t≤4，∴当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是9−2(t−3)，即15−2t(3<t≤4)，∴OP=15−2t，PQ=9+t−(15−2t)=3t−6，∴三角形OPQ的三边长分别为OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6−t，或OP=15−2t，PQ=3t−6，当OP=OQ时，则2t+3=8或15−2t=8，解得t=52或当OP=PQ且点P从点B向点C运动时，由（3）得t=1；当OP=PQ且点P从点C按原来的速度返回时，则15−2t=3t−6，解得t=21当PQ=OQ=8且点P从点B向点C运动时，则6−t=8，解得t=−2，不符合题意，舍去；当PQ=OQ=8且点P从点C按原来的速度返回时，则3t−6=8，解得t=14综上所述，t的值是52或7【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地用代数式表示点P和点Q对应的数是解题的关键．【变式6-3】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示−10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

(1)动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒；(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)19，23(2)16(3)存在；t的值为83秒或53【分析】（1）先求出AC、QC的长度，再根据路程除以速度等于时间即可解答；（2）根据相遇时，点P和点Q所用的时间相等，列方程即可解答；（3）由路程、速度、时间三者关系，根据PQ=AB列方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2=19（秒），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1=23（秒）；（2）解：根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇于M点，设OM=x,则10÷2+x÷1=8÷1+10−x解得x=16即点M在“折线数轴”上所对应的数是163（3）解：设存在t使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，即PQ=AB，当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：10−2t+10+8−t=20，解得t=8当点P、Q两点都在OB上运动时，PQ<AB，不符合题意；当P在BC上，Q在OA上运动时，依题意得：t−18−10−10÷2+10+2∴存在，t的值为83秒或53【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系、一元一次方程在数轴上的应用以及路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用是解答本题的关键．【题型7一元一次方程的新定义问题】【例7】已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x【答案】（1）m＝1；（2）0；（3）是“差半点方程”，理由见解析．【分析】（1）解方程6x-7＝4x-5，结合题意，即可求出m的值；（2）根据方程解的定义求得c+d＝0，然后化简代数式，把c+d＝0代入即可求得代数式的值；（3）分别解出两个一元一次方程的解（都用t的式子来表示），求出两个解的差绝对值即可．【详解】（1）6x-7＝4x-5解得：x＝1∵关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，∴m＝1；（2）∵x＝1是关于x的方程cx+d＝0（c≠0）的解∴c+d＝0则3c2+cd+2c-2（12cd+32＝3c2+cd+2c-cd-3c2+2d＝2c+2d＝2（c+d）＝0；（3）4042x−9解得：x=4040x+4＝8×2021-2020t-x解得：x=∵9×2020−2020t+====∴关于x的方程4042x−9【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值、有理数混合运算、整式加减的知识；准确把握题意和熟知解一元一次方程的知识是解决本题的关键．【变式7-1】定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称(1)判断当k=1时是否为方程x+42(2)方程x+42【答案】(1)1(2)有限个，分别为1，0，2，-1【分析】（1）把k=1代入x+42+1=kx，解方程得（2）解关于x方程x+42+1=kx得x=62k−1，得到当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，32，−12【详解】（1）解：当k=1时，原方程化为：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即当k=1时，方程的解为整数．根据新定义可得：k=1是方程x+42（2）解：x+42去分母得：x+4+2=2kx，整理得：2k−1x=6方程的解为：x=6当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，此时k的值为：1，0，32，−12，2，-1，7经检验，取上述k的值，2k−1均不为0，其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1．所以方程x+42分别为1，0，2，-1．【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义“友好系数”，正确解出含有字母系数的一元一次方程是解题关键，注意当x=62k−1时，若x为整数，则【变式7-2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=−12；②(2)已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．【答案】(1)②(2)m=0(3)32【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；（3）根据和解方程得出方程的解与m−n=−9【详解】（1）解：①12x＝−1∵−1≠1∴①不是“和解方程”；②−3x=94的解是∵−3∴②是“和解方程”；③5x=−2的解是x=−2∵−2∴③不是“和解方程”；故答案为：②．（2）∵2x+2∴x+2=−m∴x=−m∵2x+2=−m即∴2−4−m=−m∴m=0；（3）∵3x=mn+m，∴x=1而3x=mn+m是“和解方程”，∴3+mn+m=1∴mn+m=−9∵−3x=mn+n，∴x=−1而−3x=mn+n是“和解方程”，∴−3+mn+n=−1∴mn+n=9由①-②得：m−n=−9∴5−4m+4n=5−4m−n=5−4×−=5+27=32．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键．【变式7-3】在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3(2)若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4(3)若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x【答案】(1)②(2)a=48或47(3)11【分析】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可；（2）先解方程2y−2+2=4，求得y=0或y=2，再求出关于x的方程的解，根据题意可分别求得a（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba，代入ay−49+a+b=a【详解】（1）解：解2y−2=4得：y=3；解y=2得，y=±2；解3x−1=2x+98得：x=101，而101+(−2)=99，所以y故答案为：②；（2）解：∵2y−2+2=4∴2y−2=2即2y−2=2或2y−2=−2，解得：y=0或y=2；对于x−3x−2a4=a+去括号、移项、合并同类项得：x=2a+3；由题意，当y=0时，2a+3+0=99，解得：a=48；当y=2时，2a+3+2=99，解得：a=47；

所以a=48或47；（3）解：由题意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a−50b，所以55a−50b+ay=99a，则y=44+50b把上式代入ay−49+a+b=a即a50b−5a∴50b−5a=0，∴a=10b，∴a+bb【点睛】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，求代数式的值等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键．【题型8一元一次方程的应用】【例8】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【答案】(1)8(2)①80，②22【分析】（1）先设出应额外给1班x个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【详解】（1）解：设应额外给1班x个手环，则额外给2班18−x个手环，∵要使1班、2班的手环数一样多，∴50+x=48+18−x解得：x=8，所以应额外给1班8个手环；（2）解：①设购进y个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，对于甲批发商处进货价为：20y×0.9元，对于乙批发商处进货价为：40×20+y−40∵去两个批发商处的进货价一样多，∴20y×0.9=40×20+y−40解得：y=80，所以购进80个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；②设第二次每个发光头饰的售价为z元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，第一次进购60个，所以第一次进价为：60×20×0.9=1080元，∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个，∴第二次进购了200个，第二次进价为：40×20+200−40∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%∴1150+200z−解得：z=22，所以第二次每个发光头饰的售价为22元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．【变式8-1】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3ℎ，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和B港相距【答案】504【分析】根据逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解，即可得到答案．【详解】解：设A港和B港相距xkmx26+2解得：x=504，则A港和B港相距504km故答案为：504．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．【变式8-2】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分．（2）胜6场，负12场．（3）胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．【分析】（1）依题意找出等量关系，设胜一场积为x分，则负一场积29−11x7（2）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程，如果有解，即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分；无解则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分.（3）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），某队的胜场数它的胜场总积分的k倍，列方程，解出a＝182k+1，2k+1是奇数，依题意找到符合题意的数，解出k【详解】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积29−11x7依题意得：14x+4×29−11x7

解得：x＝2此时29−11x7∴胜一场积2分，负一场积1分．（2）答：能．理由如下：设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：