高中数学讲义微13 利用函数解决实际问题

微专题13利用数学模型解决实际问题

一、基础知识：

1、使用函数模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核

心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函

数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值

（2）需用到的数学工具与知识点：

①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量

之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段

函数进行表示。

②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则

可利用导数分析其单调性，进而求得最值

③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找

到最值。

④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函

数求解

（3）常见的数量关系：

①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：

平行四边形面积=底、高梯形面积=,、（上底+下底）x高

三角形面积=—X底X高

②商业问题:

总价=单价X数量利润=营业额-成本=货物单价X数量-成本

③利息问题:

利息=本金X利率本息总和=本金+利息=本金X利率+本金

（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变

量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。

2、使用线性规划模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求

是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题

(2)与函数模型的不同之处

①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或

最值)

②线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变

量的表达式的最值。

(3)解题步骤：根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进

行表示)，并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决

(4)注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优

解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小

3、使用三角函数模型解决实际问题

(1)题目特点：题目以几何图形(主要是三角形)作为基础，条件多与边角相关

(2)需要用到的数学工具与知识点：

①正弦定理：设AABC三边a,A,c所对的角分别为ABC，则有一L=—也=—J

sinAsin8sinC

②余弦定理(以a和对角A为例)，a2=b2+c2-2bccosA

③三角函数表达式的化简与变形

④函数y=Asin(azr+o)的值域

(3)解题技巧与注意事项：

①在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中

②在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示

③在图形中要注意变量的取值范围

二、典型例题：

例1：如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛要求M在A3的

延长线上，N在AD的延长线上，且对角线过C

点。已知A3=3米，AZ)=2米。'广、-------------------P

(1)设AN=;c(单位：米)，要使花坛4W7W的面积

D---------------

大于32平方米，求无的取值范围；'、、、

(2)若xe[3,4)(单位：米)，则当AV,AN的长度分J------------------^

AD

别是多少时，花坛AWPN的面积最大？并求出最大面积。

（1）思路：根据相似三角形可得线段比例：些=3£从而解出收=_2土_则

ANAMx-2

3x23r2

S=AN-AM=----，从而可得------>32,解出X的范围即可

AMPNx-2x-2

NDDC

解：-.-ANDC-ANAM——=——

ANAM

…DC-ANDCAN3x

"ND-AN-AD~x-2

3元2

SAMPN=\AN\-\AM\=--依题意可得：

x—2

3r2

---->323x2-32x+64>0（x>0）

x2

解得：无£I?’]

U（8,+8

3r2

（2）思路：求AMPN面积的最大值，即求表达式/（%）=----的最大值，分离常数求解即

x-2

可

3x2

解：设/（%）=----xe[3,4）

x-2

”（同=31+2+*]1一2+*+4〔

设f=x—2,则7由2）

则y=3，+；+4：根据对勾函数可得：『=1时，y达到最大值，即y=27

3Y

此时f=lnx=3,所以⑷V=3,AM=^—=9

%—2

答:当⑷V=3,AM=9时，四边形4W7W的面积最大，为27ml

例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假

设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格：x（单位：元/套）满足的关系式

y=一—+4（x—6）,其中2＜无＜6,相为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出

x-2

套题21千套.

(1)求"Z的值；

(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试

确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)

解：(1)将x=4,y=21代入关系式可得：21=5+4(4—6)=>机=10

(2)思路：依题意可得售出一套，所得利润为(1—2)元，所以总的利润

/(x)=(x-+4(x-6)],其中2<x<6,利用导数判定了(%)的单调性，进而

可求得最大值点x

解：依题意所获利润f(x)=(x-2)y=(x-2)]Jg+4(x-6)2j

化简可得：/(x)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6)

=I2x2-112x+240=4(3x-10)(%-6)

令/(x)>0,即解不等式(3x—10)(x—6)>0

v2<x<6/.解得x<一

3

.•./(%)在。，/]单调递增，在单调递减

.•./(X)在x=T取得最大值，即x=3.3

例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)

150

+a(x-9)2,6<x<9,

x-6

满足关系式y=,其中。为常数.已知销售价格为8元/kg时,

177

-x,9<x<15

、x-6

该日的销售量是80kg.

(1)求a的值；

(2)若该商品成本为6元/kg,求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最

大.

解：⑴当x=8时，80=空~+a(8—9)<解得：a=5

8—6

150

+5(x-9)-,6<x<9

-x,9<x<15

—6

（2）思路：依题意可得销售商品所获得利润/（x）=（x—6>y,所以也是一个分段函

数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出了（%）的最大值。

解：设商品利润为7（%）,则有/（x）=（x—6>y,由第（1）问可得:

150

(x-6)+5(x-9)2,6<x<9

x-6

f(x)=(x-6)y=<

177

(x-6)-x|,9<x<15

x-6

当6<x<9时，/(无)=150+5(x—9)｛尤一6)

则f(x)=5〔(x—9)~+2(x-6)(x-9)]=15(x-7)(x-9)

令/''（无）>0,由％e（6,9）解得：6<x<7

.-./（x）在（6,7）单调递增，在（7,+oo）单调递减

/（7）=170

当9〈尤415时，/（九）=177—尤2+6%=—（九一3）2+186

.•./（X）在（9,15）单调递减

/（9）=150

•・"⑺之/⑼

：.f（x）=170

JX/max

例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为

1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准

如下：7天以内（含7天），无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根

据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付

（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

（2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数

关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

解：（1）第8天乘U余配料为2x200=400（千克）

第9天剩余配料为200千克

二该厂用于配料的保管费为：尸=70+0.03x400+0.03x200=88（元）

（2）当时，y=360%+10%+236=236+370%

当x>7时，y=360%+236+70+6]（X—7）+（龙一6）H-----P2+1]

=31+325+432

236+370%,%<7

综上所述：y=<

3%2+321%+432,x>7

236+370%「

----------------,%<7

设W为平均每天支付的费用，则W=』=,x

x3x2+32U+432「

-------------------------,x>7

当XW7时，16+370X=370+受，当％=7时，％n=^^"404

Xx7

432（144144

当%>7时，W=3x+——+321=31x++321>3-2Jx——+321=393

x

144

等号成立条件：％=——nx=12

x

二%—393（元）

例5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可

为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参

加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元，如何安排

甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少

人？

思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不

等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为X,乙校人数为y,所求问题为目标函

数z=3x+5y,列出约束条件后通过数形结合即可求出z的最大值

解：设甲校人数为x,乙校人数为y,依题意，尤,y应满足的条件为：

5x+3y<45

<x-y>\

x,yeN*

3z

目标函数2=3x+5y=>y=-1犬+1，通过数形结合

可得。动直线/经过”时，z取得最大值

f5x+3y=45\x=6

x-y=l[y=5

-A/(6,5)Za=3x+5y=43

例6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人

求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B

处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为

2米/秒，/BAD=45°。

(1)分析救生员的选择是否正确；

(2)在AD上找一点C,使救生员从A到B的时间为最短，并求出

最短时间

解：(1)思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到8处时间短,

所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。

解：从图形可得：恒闾=上巴一=3000,所以:=——=150A/2(s)

sin4502

300300

而|叫=忸£>|=300所以,2=---+=200(s)

6---2

•.工＞/2,所以救生员的选择是正确的

(2)思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量x,并构造出时间关于x的函数,

再求出“X)的最小值即可。不妨设|CD|=九，则忸q=A/3002+X2,所以时间

/(%)=3。；"+3。；+”,再求导求出的最小值即可

解：设|CD|=九，则忸C|=,30()2+尤2,设所用时间为了(%)

22

r/\300—xA/300+%

，=+——A——

oz

、112x-A/3002+X2+3X

二.f（x）=---1---—[=----/—

622A/3002+%26go。?+♦

令/’（无）>0,即解不等式3x-53002+/>0n3x>,300,十£

onn2

.-.9%2>3002+X2x2>——，解得：x>750

8

.-./（%）在（0,750）单调递减，在（750,300）单调递增

，/（%）3=/（75血）=50+100虎（秒）

答：当|CD|=75夜时，救生员所用的时间最短，为50+100拒秒

答：甲，乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为43人

例7：某人有楼房一幢，室内面积共计180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间

面积为18m，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m°,可以住游

客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600

元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少

间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租

收益为z元），求羽y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益

是多少？

思路：本题的主要变量是羽y,从题目中可发现对羽y的约束条件有3个，一个是房间数必

须是非负整数，所以第二个条件是室内面积为18S",所以大小房间面积和要不

大于180帆2,第三个条件是装修费用总和不高于8000元，据此列出约束条件：

18x+15y<180

<1000x+600y<8000,所求收益z=200x+150y,所

x,yeN

以该模型为线性规划问题，数形结合即可。

解：依题意可得对羽y的约束条件为：

18x+15y<1806x+5y<60

1000%+600y<8000=><5x+3yW40,所求目标函数为z=200x+150y

x,y&Nx,yeN

作出可行域，依图可得：直线过M（3,8）或M（0,12）时，z最大，即z1mx=18000

答：当大房间为3间，小房间为8间；或者不设大房间，小房间为12间时，收益最大，最大

值为18000元

例8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，

棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面，该圆面的内接四边（

形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界A5=AD=4万米，V___________1

3C=6万米，CD=2万米

（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面半径R的值

（2）因地理条件的限制，边界A。,CD不能变更，而边界A53C可以调整，为了提高棚户

区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地

APCD的面积最大，并求最大值

解：（1）在AABC中，由余弦定理可得：

AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosB①

在AAOC中，由余弦定理可得：

AC2=AD'+DC2-2AD-DC-cosD②

因为四边形ABCD内接于圆ZB+ZD=180°/.cosB=-cosD

所以由①②可得：42+62-2-4-6cosB=42+22+2x4x2cosB

解得：cosB=-^ZB=60°.-.ZD=120°

2

SARCD—Sn+S——AB-BCBAD-DCD

AULDA/AIDLCAr）c2,sinH—2,sin

=—x4x6xsin600+—x2x4xsin120°=8百（万平方米）

22

由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=28

:.AC=25

CDAC2币4A/2102扃

sinBV333

~T

(2)设AP=%,CP=y,可知枭尸c。=S△APC+SA℃

由(1)可知S"加c=26，若要APCD面积最大，只需5“作最大

SAPr=-APCPsmP=~APCPsinB=—xy

A”c224

在AAPC中，由余弦定理可得：AC2=AP2+PC2-2AP-PCcosP

即28=犬2+y2-2xy•COS60°=>%2+y2一孙=28

x2+y2>2xy

2S=x2+y2-xy>2xy-xy,即醐K28当且仅当x=y时，等号成立

SAPCD=26+曰盯<26+曰-28=96

所以四边形APCD的最大面积为9百万平方米

例9：如图是一块平行四边形园地ABCD,经测量，AB=20m,BC=10m,ZABC=120°,

拟过线段AB上一点E设计一条直路£尸（点尸在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），

将该园地分为面积比为3:1的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设EB=x,EF=y（单

位：m）g

（1）当点/与点。重合时，试确定点E的位置/£/

（2）求y关于x的函数表达式

（3）试确定点£，厂的位置，使得直路E尸长度最短

解：（1）当b与C重合时，S^BEF=^BEh（设//为平行四边形的高）

SABCD=AB-h

依题意可得：SBEF=^SABCD即2.BE•力=工.A5・力

△£»£LF4/ixJv-Lx24

BE=-AB即E为AB的中点

2

（2）♦.♦石在线段AB上

.-.0<x<20

当xe[10,20]时，可得r在线段上

AB=20m,BC=10m,ZABC=120°

S„=ABBC-sinZABC=20xl0x—=100G

CAJADrLn-U2"

=!s=25A/3-.-S=-BEBFsml200=—XBF

^iLDr4oAzJCZJrAeZibDrf24

/.在ABEF中

X

EF2=BE2+BF2-2BE,BFcosEBF=x2

12+*100

/.y=EF=

当xe[0,10)时，点歹在线段CD上，此时四边形座CF为梯形或平行四边形

SEBCF=；(%+CF)x(10xsin60。),由SEBCF=£ABCD=25A5得：

CF=10-x

当BE2CF时，EF=^102+(2%-10)2-2x10x(2%-10)cosl20°=2Jx?—5x+25

当BE<CF时，EF=^102+(10-2x)2-2x10x(10-2x)cos600=2y/x2-5x+25

即y=2ylx2-5x+25

行+曙+100,10X20

综上所述可得：，y=<

2dxi-5x+25,0<x<10

（3）即求y的最小值

1炉+等+1。。丫232・华+1。。=1。6

当九£[10,20]时，y=

等号成立条件：X2=、一=>%=10

x

当X£[0,10)时,

等号成立条件：x=-

2

y1nhi=573，此时BE=2.5,CF=7.5

例10：如图，在海岸线石尸一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段/GBC,

该曲线段是函数y=Asin(ox+0(A>0⑷〉0,(pee(T。］的图像，图像的最高

点为3(-1,2),边界的中间部分为长1千米的直线段CD,且。〃£/，游乐场的后一部分

边界是以。为圆心的一段圆弧DE

(1)求曲线bGBC的函数表达式

(2)曲线段bGBC上的入口G距海岸线防最近距离

为1千米，现准备从入口G,修一条笔直的景观路