苏科版2024-2025学年九年级数学上册1.14 一元二次方程（全章常考核心知识点分类）（基础练）（含答案）

专题1.14一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础练）考点目录：【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；【考点8】韦达定理求值；【考点9】韦达定理与根的判别式综合；【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；【考点13】一元二次方程一次函数问题；单选题【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（）A． B． C． D．【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．20274．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（

）A．2027 B．2024 C．2025 D．2026【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；5．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（

）A． B．2 C． D．6．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；7．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用公式法解方程时，下列求根公式正确的是（

）A． B．C． D．8．（2024·浙江金华·二模）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；9．（2024八年级下·江苏·专题练习）若分式方程无解，则实数a的取值是（）A．0或2 B．4 C．8 D．4或810．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（

）A． B．C． D．【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；11．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（

）A． B．0 C．2 D．412．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（）A． B． C．＜ D．＞【考点8】韦达定理求值；13．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．14．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【考点9】韦达定理与根的判别式综合；15．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（

）A．6， B．， C．6，4 D．，416．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（

）A． B． C． D．【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实根 B．有两个正根C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根18．（2024九年级·全国·竞赛）已知方程有两个同号的实数根，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；19．（2021·贵州遵义·三模）等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（

）A．15 B．24 C．15或24 D．22或2420．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于(

)A． B． C． D．【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；21．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A． B．C． D．22．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【考点13】一元二次方程一次函数问题；23．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过()小时，甲、乙两人相距6千米？A． B． C．1.5 D．24．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（

）A． B．C． D．25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为4时，点P的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或26．（2022·广东深圳·二模）如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）A． B．（1，1） C．或（1，1） D．不存在填空题【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；27．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是．28．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是．【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；29．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则．30．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；31．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则．32．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为．【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；33．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则．34．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是．【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；35．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为．36．（2024·上海·模拟预测）方程的解为【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；37．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式的最小值是．38．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则点关于轴的对称点坐标是．【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；39．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程实数根．40．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【考点8】韦达定理求值；41．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则．42．（2024·四川泸州·三模）若，且有，及，则的值是．【考点9】韦达定理与根的判别式综合；43．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则．44．（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是．【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；45．（20-21九年级上·福建厦门·期中）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是．46．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为

【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；47．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为．48．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为．【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；49．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为．50．（18-19九年级上·山东·单元测试）甲、乙两人同时从地出发，骑自行车去地，已知甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时，若两地相距千米，则乙每小时千米．【考点13】一元二次方程一次函数问题；51．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第象限．52．（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为．参考答案：1．C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．【详解】解：A.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；B.，当时不是一元二次方程，不符合题意；C.，整理可得，是一元二次方程，符合题意；D.，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．故选：C．2．B【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．【详解】解：，则，∴，由题意得：，，解得：，，故选：B．3．B【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．【详解】解：设，则一元二次方程可化为，，关于x的一元二次方程有一根为，一元二次方程有一个根为，则，即，一元二次方程必有一根为2025．故选：B．4．D【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键．将代入一元二次方程，求得，整体代入即可．【详解】解：将代入一元二次方程得，，即∴．故选：D．5．D【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∴，．故选D．6．D【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．【详解】．故选：D．7．D【解析】略8．B【分析】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令，然后得出关于x的方程，如果方程有解，则称函数和是“奇妙函数”，若无解，则称函数和不是“奇妙函数”．【详解】解：A、令，则，整理得：，解得：，，∴函数和是“奇妙函数”，故A不符合题意；B、令，则，整理得：，∵，∴方程无实数解，∴函数和不是“奇妙函数”，故B符合题意；C、令，则，整理得：，解得：，，∴函数和是“奇妙函数”，故C不符合题意；D、令，则，整理得：，解得：，，∴函数和是“奇妙函数”，故D不符合题意．故选：B．9．D【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．【详解】解：去分母，得，去括号、移项、合并同类项，得，两边同时除以2，得．若原分式方程无解，则，解得或2．当时，，解得；当时，，解得．∴或8．故选：D．10．B【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程．根据无理方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意；C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；故选：B．11．D【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．【详解】解：因为，，，所以当，时，原式有最小值4，故选：D．12．B【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．【详解】解：，，，，，故选：B13．C【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案．【详解】解：A．∵，∴方程没有实数根，不符合题意；B．∵，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；C．方程化为，∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；D．∵，∴方程没有实数根，不符合题意；故选：C．14．D【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．根据题意可得，然后解不等式即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：且．故选：D．15．D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解．【详解】解：设关于的一元二次方程实数根为和，则：，，，解得，，解得，故选：D．16．C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．【详解】解：设另一根是，则有，解得：，故选：C．17．D【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．求出，判断其符号即可得解，也考查了根与系数的关系．【详解】解：由，得，，又，，该方程有两个不相等的实根，并设为，，∵，∴两个根为一个正根，一个负根．故选：D．18．B【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解．【详解】∵方程有两个同号的实数根，∴解得；∵两根同号，∴∴解得．故选：B．19．B【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=10即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n+1=5×5即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为8，由2、2、8不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．【详解】解：当2为底边长时，则a=b，∵、是关于的一元二次方程的两根，∴a+b=10，ab=n+1，∴a=b=5．∵5，5，2能围成三角形，∴n+1=5×5，解得：n=24；当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8，∵8，2，2不能围成三角形，∴此种情况不存在．故选：B．【点拨】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．20．A【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：；代入中，得到关于m的方程后，求得m的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：

又有根与系数的关系可得：∴整理得：

解得：m=−3或5.又∵,∴解得∴.故选:A.【点拨】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.21．B【分析】增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．【详解】解：设平均每月增率是x，二月份的产量为：500×（1+x）；三月份的产量为：；故选：B．【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.22．C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程．【详解】解：设每盒应降价元，∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒，∴销量为：盒，∵平均每天盈利1650元，∴，故选：C．23．A【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，因为BC2+DC2＝BD2，则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，解得：x1＝x2＝0.4．答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．故选A．【点拨】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．24．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据题意得：．故选：A．25．D【分析】设，根据矩形的面积为4求解即可．【详解】解：设，则，由题意可得：，化简可得：解得或即点的坐标为：或故选：D【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确的列出方程．26．C【分析】设，由题意可得，则，，列方程求解即可．【详解】解：设，由题意可得：，点P在线段AB上（不与A，B重合），则∴，，由题意可得：，即，解得：或，均符合题意，即，或故选：C【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程．27．1【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，，解得，；故答案为：1．28．【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可．【详解】解：∵∴∴故答案为：29．【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，满足一元二次方程，，解得，．故答案为：．30．【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．【详解】∵为方程的根，∴，∴，∴原式．故答案为：．31．【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上，配方后可求解的值，从而可得答案．【详解】解：∵，，，．故答案为：．32．（答案不唯一）【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，，∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，∴，且为正整数，解得，且为正整数，∴可以为故答案为：（答案不唯一）．33．或【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可．本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．【详解】根据题意，得，整理得，解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或．34．，【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【详解】解：移项，得，提公因式得，，或，，．故答案为：，．35．【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答．【详解】解：去括号，得得即、解得经检验，是原方程的解，使得原方程无解∴该分式方程的解为故答案为：36．【分析】本题考查了解无理方程，将方程两边同时平方，再解方程得出的值，检验即可得出答案．【详解】解：两边平方得：，移项得：，解得：，，经检验，是原方程的解，故答案为：．37．【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键．【详解】解：可转换为，当时，原式取到最小值，为1，故答案为：1．38．【分析】本题考查的是配方法的应用，关于轴、轴对称的点的坐标，利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性分别求出、根据关于轴对称的点的坐标特征解答，掌握完全平方公式，偶次方的非负性是解题的关键．【详解】解：∴，∴，则，，解得：，，则点关于轴的对称点坐标是，故答案为：．39．有两个不相等的【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．40．【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴解得，，故答案为：．41．【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，∴，∴，故答案为：.42．【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和解的定义，方程两边同时除以，等式仍成立，和可看作方程的两根，由此可解答．【详解】解：，，即，和可看作方程的两根，，即．故答案为：．43．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可．【详解】根据题意可知，即，解得．∵，是方程的根，∴，．∵，则，解得．故答案为：．44．或【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案．【详解】解：设方程的两个根为，，由题意得：，，，，，解得：或，当时，，符合题意；当时，，符合题意，综上所述，实数的值是或，故答案为：或．45．或【分析】用公