山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题 含解析

济南市2024年高一学情检测数学试题本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】，故选：A2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162 B.158，162C.160，160 D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A正确.故选：A5.已知点，，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先代入点的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点代入反比例函数，得，即反比例函数的解析式是，将点的坐标代入函数解析式，得，，，即.故选：B6.如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出，然后根据列式求解即可.【详解】如图，连接，四边形为矩形，，，，，，，，解得，故选：B.7.如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点K，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线分别交直线于，作，垂足为R，根据题意易知分别为的角平分线，线段的垂直平分线，所以，所以为正三角形，则，所以，而，则，易证，故，易知，故，解之得.故选：C8.如图，抛物线，顶点为A，抛物线与x轴正半轴的交点为B，连接AB，C为线段OB上一点（不与O，B重合），过点C作交y轴于点D，连接AD交抛物线于点E，连接OE交CD于点F，若，则点C的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点坐标，设点并表示点的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线的顶点，由，得，即点，设直线方程为，由，解得，则直线，设点，由，设直线方程为，由，得，由，得，即点，直线，设直线的方程为，则，解得，即直线，由，解得，即点，显然，由，得，则，因此点，由，得，因此，解得，所以点C的横坐标为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B选项；通过计算点C到D所需的时间，可判断C选项；通过计算点E到F所需的时间，可判断D选项.【详解】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km，故A正确；对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是，故B错误；对于C：小明返回的路上走后遇到小亮，则走所需的时间为，所以小明在图书馆查阅资料的时间为，故C错误；对于D：走所需的时间为，所以小明与小亮交谈的时间为，故D正确.故选：AD.10.如图，点B在线段AD上，分别以线段AB和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AE，AE与BC相交于点G，连接CD，CD与AE，BE分别相交于点F，H，连接BF，GH，则（）A. B.FB平分C. D.【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得，可推得D项；由此得到，可证，可得，从而得到正三角形，由易得A正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点到的两边距离相等，故得B项正确；对于C项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C项.【详解】因和都是正三角形，故，则,即，由可得，故D正确；由可得，,因，由可得，,则有，故为正三角形，则,故，即A正确；如图，分别作,垂足分别是，由上知，，故，由角平分线的性质定理，可得FB平分，故B正确；对于C项，假设，则,故，而在中，,故产生矛盾，故假设不成立，即C错误.故选：ABD.11.如图1，在中，，，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t（s），为y，y关于t的函数图象如图2所示，则（）A.当时， B.C.DE有最小值，最小值为2 D.有最小值，最小值为【答案】BD【解析】【分析】设，列出y关于t的函数式，结合图2，列方程求出的值，判断B项，继而代值检验A项；利用二次函数的图象性质，即可得到的最小值，判断C项；最后通过建系，将转化为，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设，则，则（*），由图2知，函数经过点，整理得，，解得或（舍去），故B正确；由B项知，，当时，，即,故A错误；对于C，由题意易得，，由可得，当时，，即有最小值，最小值为,故C错误；对于D，如图，以点为原点,所在直线分别为轴建立直角坐标系.则，因F为DE中点，故，于是结合此式特点，设,则,作出图形如下.作出点关于直线的对称点，连接,交直线于点，则点即为使取得最小值的点.(理由：可在直线上任取点，利用对称性特点，即可证明,即得)，此时,即的最小值为.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】##04【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A和D两个，从中任选一个点共有5种等可能结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.故答案为：.13.在中，，，的周长为14，则AB边上的高为________.【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设，所以，可得，又，利用勾股定理可得；可得；所以，即；设AB边上的高为，由三角形面积可得，解得.故答案为：14.如图，在矩形纸片中，，，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好也为，则________.【答案】【解析】【分析】过作，交于，交于，过作，利用等积法可求，再根据可求的长度.【详解】由题设，过作，交于，交于，过作，则，则，故，所以，故，故，设，则，故，故，故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求的值，其中；（2）求值，其中.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入即可求解；（2）先同分母进行化简并转化的表达式，进而代入即可求解.【小问1详解】.即代入可得.【小问2详解】.即代入可得.16.某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元.（1）求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元.（2）最小费用为（元），此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.【解析】【分析】（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买品牌的牛奶箱，则购买总费用，由题设条件可得可为中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，则，故.故种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元.【小问2详解】设购买品牌的牛奶箱，则购买品牌的牛奶箱，此时总费用，而，故，而为整数，故可为中的某个数，故的最小费用为（元），此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.17.如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为.（1）求证：；（2）求的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断，再利用同弧所对的圆周角相等，可得，从而证明；（2）在中，求出，，利用，设，把的三边表示出来，再利用求出，最后在中求出的值，也即是的长.【小问1详解】是的直径，，，又,.【小问2详解】在中，，，又，则，，又，，在中，设，则，故，又，，，即，解得，，在中，，即，解得，即.18.阅读材料：直线（）上任意两点Mx1,y1，Nx2,y2，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点，求m的值；（2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……；（3）该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线上；ⅱ.或或.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m的值；（2）按照题中的思路先求出，再由线段的中点为求得的值，利用直线经过点即可求得直线BC的表达式；（3）(ⅰ)由消去，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得；根据函数与在时的图象特点，依题意可得，解之即得.【小问1详解】因经过点，则，解得，；【小问2详解】时，，设直线BC的表达式为：，,则①，②.由①-②：，两边同除以，则，因线段BC的中点为，则，即，则，将点代入解得，，故直线BC的表达式为：；【小问3详解】（i）由消去，整理得，，依题意，设,的中点为,则，，即线段EF的中点在定直线上；(ⅱ)如图，将定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线,则点转到了点,则,设点，则,即，,设，则得，，解得，，即得；因抛物线的对称轴为，故该函数在时，随着的增大而增大，且时，，时，，要使抛物线与只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，