初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)-01数的整除

初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）

导言

《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教

材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了

市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理

的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（★）”

部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。

第一章数的整除

一、知识结构

奇数）

偶数）

素数）

合数1~（分解素因数）

能被2整除的。范］

能被5整除的4嬴］

二、重点和难点

重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点：求两个正整数的最小公倍数。

第一节整数和整除

1.1整数和整除的意义

（1）正整数：用来表示物体个数的数1,2,3,4,5…叫做正整数。

(2)负整数：在正整数1,2,3,4,5…之前添上，得到的数T,-2,-3,-4,-5…叫做负整数。

♦零既不是正整数，也不是负整数。

⑶自然数：零和正整数统称为自然数。

(4)整数：正整数、零、负整数统称为整数。

正整数］

r自然数

整数V零J

1负整数

⑸整除：设a、b是两个整数，且b丰a,若存在整数q,使a=bq,则称b整除a,或a被b整除，记作b|a。

(★)

或者说，如果整数a除以整数b(b手0)所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a。

整数a除以整数b

整数a被整数b整除aa~rb

整数b整除整数a一

例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？

284-7104-354-4

解：因为28+7=4,

104-3=3.......1,

54-4=1.25,

所以被除数能被除数整除的是28・7。

♦注意整除的条件：

①除数、被除数都是整数；

②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

♦整除的主要性质：(★)

①c|b、b|a,则c|a;

②若m|a、m|b,则m|(a+b);

③若m|a、m|b,则m|(a—b);

@若m|a,则m|ab(b为自然一数)；

⑤n个连续正整数的积能被n!整除。(n的阶乘：n!=1X2X3X-Xn)(★)

例如：a为整数时，

2|a(a+1)

6|a(a+1)(a+2)

24|a(a+1)(a+2)(a+3)

……(★)

解：由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，

因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，

所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即

为2X3X4=24的倍数。

♦整除与除尽的区别：

整除：它只在整数氛围内讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零;

除尽：未限制数域范围，只是除完后没有余数。

练习

(1)是否有最小的自然数？

⑵是否有最大的整数？

⑶把下列各数分别填入相应的括号中。

22

-60,12,3.14,0,1,-1,-0.618,一

7

正整数(),负整数(),自然数()，整数()O

⑷下列各式中，哪些式子表示整除？

124-4=3()204-0.5=40()354-7=5()

454-45=1()4.24-1.4=3()784-7.8=10()

(5)2.64-1.3=2,能不能说2.6能被1.3整除?

⑹如果a表示一个自然数，且a，2,写出：

①紧挨着它，在它后面的两个连续自然数

②紧挨着它，在它前面的两个连续自然数0

⑺下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？

42+7=6()

3+5=0.6()

4+0.2=20()

5+3=1....2()

8.14-3=2.7()

2+3=0.66666()

1.2因数和倍数

（1）倍数和因素：如果数a能被数b（b手0）整除，a就叫做b的倍数（mutiple）,b就叫做a的因数（factor）

（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。

（2）因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。

⑶倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

个数最小最大

因数有限1它本身

倍数无限它本身没有

（4）一个数的因素的求法：

①列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性;

②列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。

例：求18的因素。

①乘积是18的算式有：1X18=18,2X9=18,3X6=18,所以，18的因素有1,2,3,6,9,18。

②18能整除的算式有：184-1=18,184-2=9,184-3=6,所以，18的因素有1,2,3,6,9,18。

⑸一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以

列乘法算式找。

♦任何正整数都是1的倍数。

练习

填空：

⑴45・5=9,（）能被（）整除，（）能整除（）；（）是（）的因数，（）

是（）的倍数。

⑵一个正整数a的因数的个数是（），其中最小的一个是（），最大的一个是（）；正整数a的倍

数的个数是（）,其中最小的一个是（）。

⑶一个数的最小倍数是9,那么这个数的最大因数是（）,最小因数是（）。

(4)有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是()o

1.3数的整除性

常见数的倍数特征：

⑴2的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

⑵3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

⑶5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。

⑷9的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。

⑸11的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被

11整除。

(6)7、11、13的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这

个数就能被7、11、13整除。

⑺4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。

(8)8或125的倍数特征：一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。例如：

1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。

(9)能同时被2,5整除的数的特征：个位是0。

(10)能同时被2,3,5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。

(11)能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

例1:一年级72名学生课间加餐共交口52.7口元，□处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？(★)

解：由于72=8X9,

因此，口527口要都能被8、9整除，

□527□被8整除，即27口被8整除，

从而得出个位数字是2。

口527口被9整除，即：

□+5+2+7+2=口+7+9

被9整除，从而可得首位是2。

所以每人交了：252.72-72=3.51(元)。

答：每人交了3.51元。

例2：要使六位数15ABe6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、0„(★)

解：因为36=4X9,

所以C只可能是1,3,5,7,9o

要使商最小，首先A应尽可能小，

于是取A=0,又

1+5+6+A+B+C=9+3+B+C

能被9整除，即B+C+3是9的倍数，

C只能是1,3,5,7,9,而B应尽可能小，

因此B取1,C取5。

答：A、B、C分别是0、1、5。

练习1.1(★)

1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们

平均分成4个小组吗？为什么？

2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。小马虎统

计错了吗？为什么？

3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？

1.4奇数与偶数(★)

(1)奇数与偶数：能被2整除的数叫做偶数(evennumber);不能被2整除的数叫做奇数(oddnumber)o

♦0是偶数。

♦自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

♦设n是整数，则：2n是偶数，2nT或2n+1是奇数；设n是正整数，贝h2n是正偶数，2nT是正奇数。

⑵奇数偶数的运算性质：

①奇数士奇数=偶数，奇数士偶数=奇数，

偶数士偶数=偶数；

②奇数X奇数=奇数，奇数X偶数=偶数，

偶数X偶数=偶数。

③奇数的正整数次森是奇数，

偶数的正整数次幕是偶数。

④两个连续整数的和是奇数，积是偶数。

⑶推广结论：

①奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。

②若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。

③如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中

至少有一个整数是偶数。

④如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，

那么这两个整数一定是一奇一偶。

⑤两个整数的和与差的奇偶性相同。

例1:在1,2,2008中每个数前面任意添加“+”、“一”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说

明理由。(★)

解：因为a—b与a+b的奇偶性相同，

所以将算式中每一个数前的“一”号逐一改成“+”号，其结果的奇偶性不变，

故所求的结果与1+2+…+2008=1004X2009的奇偶性相同,

因此，所求算式的结果为偶数。

例2:将1,2,•­•,99重新排列成ai,a2,…，a”,求证:乘积(ai—1)(a2-1)…(agg—1)一定是偶数。(★)

解：1,2,…，99中有50个奇数，49个偶数，

ai,a2,…，a99中也有50个奇数，49个偶数，

所以ai,a3,a5,…，a99这50个数中必有一个是奇数，设其中ak是奇数，贝I：

ak—k是两个奇数之差，因而是偶数，

所以(a[—1)(a2—1)•••(a99—1)一■定是偶数。

练习1.2(*)

1、5个连续偶数的和是320,这五个连续偶数分别是几？

2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？

3、一次舞会有七名男士和七名女士参加，一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞，会后统计出有8人各跳了

6次，有5人各跳了3次，问余下的一人至少跳了几次？

4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?偶数最少有几个?

第二节分解素因数

1.5素数、合数与分解素因数

(1)素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(primenumber)(或质数)。

♦100以内的质数表：100以内共有26个质数，具体为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、

41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、970熟记20以内的全部素数。

⑵合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(compositenumber)o

♦重点注意：

①1既不是质数也不是合数；

②2是最小的质数，也是唯一的偶质数；

③4是最小的合数；

④正整数可以分成质数、合数和1。因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。

⑶素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的

素因数(也叫质因数)。例如15=3*5,3和5叫做15的素因数。

例1：判断3333334111111是素数还是合数？(★)

解：3333334111111

=3333333000000+1111111

=1111111X3000000+1111111

=1111111(3000000+1)

=1111111X3000001

所以，3333334111111是合数。

例2：桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。以后的每一步，

都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每

一堆中都刚好有3粒石子？(★)

⑴小明：我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。

小丽：我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。

你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗？

解：假设结果可能，并设最后剩下n堆，每堆3粒，

则在此之前一共进行了(n-1)次操作，而每次操作都扔去一粒，

所以一共扔去(n-1)粒，

因此3n+(n-1)=1001,即4n=1002

因为4n是4的倍数，而1002不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，假设不成立。

所以，不可能在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子。

(4)分解素因数：把一个合数分解成若干个素因数相乘的形式，即求素因数的过程叫做分解素因数。把一个合

数分解素因数，通常可用“短除法"或“树枝分解法”。

♦用短除法分解素因数的步骤：

①先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除；

②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；

③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

例3：把60分解质因数:

2

5

60=2X2X3X5。

♦树枝分解法:

例4：把60分解质因数：

60

230

215

35

60=2X2X3X5。

♦一个数的因素个数的计算诀窍：用分解素因数的方法将这个数分解成素因数的乘积，并将相同的素因数用

43

赛次方的形式表示，则因素个数=各素因数的赛次方分别加1后相乘，如：42000=2X3X5X7,则42000

的因素有（4+1）X（1+1）X（3+1）X（1+1）=80个。（★）

⑸素数与合数的性质：

①素数有无数多个。

②2是唯一的偶素数。大于2的素数必为奇数。如果两个素数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如

果两个素数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。

③若素数pIab,则必有p|a或p|b。（★）

④若正整数a、b的积是素数p,则必有a|p或b|p。（★）

a]a2ak

⑤唯一^分解定理：任何整数n（n>1）可以唯一地分解为：n=piP2pk,P1Vp2V…Vpk是素数；ai,

a2,…ak是正整数。（★）

.2222.

例5：已知四个质数满足P1Vp2Vp3Vp4,且P1+p2+P3+P4=511,试求这四个质数。（★）

解：由于511是奇数，

所以这四个质数不都是奇数，其中必有偶质数2,即P1=2,代入得：

222

P2+P3+P4=507

,2

因为507V529=23,

所以P4<19,

_22

⑴若P4=19,则p2+p3=146,

2

可知73Vp3Vl46,P3=11,P2=5;

,22

⑵若P4=17,则P2+P3=218,

2

可知109Vp3<218,p3=11或13,

2

P3=11时，P2=97,P2无解；

,2

P3=13时，p2=49,P2=7;

所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17o

2222

例6:当x取1到10之间的质数时，四个整式：x+2、x+4、x+6、x+8的值中，共有质数多少个？（★）

解：1到10之间的质数有2、3、5、7,

由于2是偶数，所以可用质数为3、5、7O

2222

当x=3时，X+2=11,X+4=13,X+6=15,x+8=17,有11、13、17三个质数；

2222

当x=5时，X+2=27,X+4=29,x+6=31,x+8=33,有29、31两个质数；

2222

当x=7时，x+2=51,x+4=53,x+6=55,x+8=57,有53一个质数；

所以，共有6个质数。

例7:三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数。(★)

解：设这三个质数分别为P、Q、R,则有：

PQR=11(P+Q+R)

可知，必有一质数为11,设R=11,

贝hPQ=P+Q+11,

PQ-P-Q=11,

P(Q-1)-(Q-1)=12,

(P-1)(Q-1)=12,设PWQ,

所以P—1=1,Q-1=12,或P—1=2,Q-1=6,或P—1=3,Q-1=4,得：

P=2,Q=13,或P=3,Q=7,或P=4,Q=5(不符合质数的条件，舍去)，

故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11。

练习1.3(1)(★)

1、在1到100这100个自然数中任取其中的n个，要使这n个数中至少有一个合数，则n至少是多少？

2、有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4,从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，可

以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。

3、已知P,P+10,P+14都是质数，求所有这样的数P。

练习1.3(2)(★)

1、分解素因数：45,88,126o

2、农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船,

每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）

3、在乘积1000X999X998义....X3X2X1中，末尾连续有多少个0?

4、已知三个质数a、b、c,它们的积等于30,求适合条件的a、b、c的值。

5、证明：存在2006个连续数，它们都是合数。

LA公因数与最大公因数

⑴公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

♦如果ai,a2,…，an和d都是正整数，且d|ai,d|a2,…，d|an,那么d叫做ai,a2,…，an的公因

数，公因数中最大的叫做最大公因数，记作(ai,a2,an)。(★)

⑵互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数，也叫互素。

♦成互质关系的两个数，有下列几种情况：

①1和任何自然数互质；

②相邻的两个自然数互质；

③两个不同的质数互质；

④相邻的两个奇数互质；

⑤当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；

⑥两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质；

⑦如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

♦两个数的最大公因数的特殊情况：

①如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；

②如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

⑶求几个数的最大公因数的方法：

①列举法：分别列举出每个数的所有因素，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公

因数。

②分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因

数。

③短除法：用所求的几个数的公因数去除这几个数，除到所得的商没有公因数为止，然后将左边除数连乘，

所得的积就是它们的最大公因数。

例1：用短除法求12和42的最大公因数。

2|1242

&|62i~

27

12和42的最大公因数是2x3=6。

例2：用短除法求84、126和210的最大公因数。

2184126210

34263105

7142135

235

84、126和210的最大公因数是2x3x7=42。

例3：在3和9、4和9、3和7、7和14、14和15五对数中，哪几对数是互素的？

解：根据互素的概念，如果两个整数只有公因数1,则这两个数互素。

所以，在这五对数中，4和9、3和7、14和15这三对只有公因数1,

所以这三对数互素。

例4：植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树。老师把这些学生分成人数相等的若

干个小组，每个小组中男生人数相等。请问，这56名同学最多能分成几组？(★)

解：分成的组数能整除24和32,也就是24和32的因数，题目实际上是求24和32的最大公因数。

(24,32)=8

答：这56名同学最多能分成8个组。

练习

(1)求8,9和30的最大公因数。

⑵求18和30的最大公因数。

(3)用短除法求60和72的最大公因数。

(4)用短除法求48、72和120的最大公因数。

练习1.4(川

1、2520的因数有多少个？

2、求24,44,60的最大公因数。

11111

3、分数--------是不是最简分数？

15015

4、一块长方形木料，长72cm,宽60cm,高36cm,请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最

大，木料又不能剩，算一算可以锯成几块？

5、有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等,现将这三种茶叶分别装袋（均

为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？

1.6公倍数与最小公倍数

⑴公倍数和最小公倍数：两个或多个数都有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个

数的最小公倍数。

♦如果ai,a2,…，an和m都是正整数，且|m,a2Im,anIm,那么m叫做a1，a2,…，an

的公倍数，公倍数中最小的叫做最小公倍数，记作［a］，a2,an］°（★）

♦几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

♦两个数的最小公倍数的特殊情况：

①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；

②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

⑵求几个数的最小公倍数的方法：

①枚举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。

②分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，

将这些素因数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

③短除法：

a.两个数的最小公倍数：用两个数的公因数去除这两个数，除到所有的商互素为止，然后将所有除数和最后

得到的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

b.三个数的最小公倍数：首先，用三个数的公因数去除每个数，除到三个数的商互素为止；其次，再用每两

个数的公因数去除每个数，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商互素）为止；第三，把这些除数

和最后的商相乘，所得的积就是这三个数的最小公倍数。

例1：用短除法求12和42的最小公倍数。

2|1242

3621

27

12和42的最小公倍数是2x3x2x7=84。

例2:用短除法求84、126和210的最大公因数。

2L84126144

3426372

7142124

22324

31312

114

84、126和210的最小公倍数是2x3x7x2x3x1x1x4=1008o

例3：求18和30的最小公倍数。

解：方法一：

18的倍数有18,36,54,72,90...

30的倍数有30,60,90,120,150...

所以18和30的最