1.1.5平面直角坐标系中的距离公式（10大题型提分练）（原卷版）

1.1.5平面直角坐标系中的距离公式题型一两点间的距离公式1．（2324高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为.2．（2324高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则3．（2021高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为；的面积为.4．（2324高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（

）A． B． C． D．题型二：两点间的距离求函数最值1．（2324高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．42．（2324高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．3．（2324高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．54．（2324高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线.则的最大值为.题型三点到直线的距离公式辨析1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（

）A． B． C．1 D．2．（2324高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·福建泉州·期中）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（

）A． B．C． D．4．（2324高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为.题型四点到直线的公式的应用1．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（）A． B．1 C． D．22．（2122高一上·浙江·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2324高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（

）A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为4．（2324高二上·四川内江·期中）已知直线l：.(1)求原点到直线l的距离的最大值；(2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程.题型五点到直线的距离公式求直线1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或2．（2324高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（

）A．1 B． C．1或 D．或23．（多选）（2324高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（

）A． B．C． D．4．（多选）（2324高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（

）A． B． C． D．题型六点到直线的距离公式中的对称问题1．（2324高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．3．（2223高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为．4．（2223高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线．(1)求过点P且倾斜角为的直线方程；(2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值题型七两条平行直线之间的距离1．（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（

）A． B．2 C． D．32．（2324高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（

）A． B． C．12 D．143．（2324高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为．4．（2223高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是.题型八由两条平行直线之间的距离求直线

1．（2324高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（

）A． B．或C．或 D．或2．（多选）（2324高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（

）A． B．C． D．3．（多选）（2324高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（

）A．3 B．9 C．12 D．154．（2122高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点.(1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求.题型九平行直线中的对称问题1．（2324高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．42．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．3．（多选）（2324高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：，则下述正确的是（

）A．直线l始终过第二象限B．时，直线l的倾斜角为C．时，直线l关于原点对称的直线方程为D．点到直线l的最大距离为4．（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．题型十距离公式的应用1．（多选）（2324高二上·重庆长寿·阶段练习）对于直线系，，下列说法正确的有（

）A．存在定点与中的所有直线距离相等B．中不存在两条互相平行的直线C．中存在两条互相垂直的直线D．存在定点不在中的任意一条直线上2．（2324高二上·浙江绍兴·期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.(1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.3．（2324高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为.4．（2324高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为.1．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（

）A． B．C．或 D．或.2．已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或4．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（

）A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点5．平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．6．已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是C．点到直线的距离是 D．若直线：，则7．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（

）A． B． C． D．8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．29．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（

）A． B． C． D．10．（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则D．若，则直线一定相交11．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（

）A． B． C． D．12．（多选）以下四个命题表述正确的是（

）A．直线的距离为B．已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为C．“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件D．过两点的直线方程为13．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为.14．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为.15．已知直线与直线．(1)若这两条直线垂直，求实数的值；(2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离．16．五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广