2020-2021学年高一数学人教A版 （2019）必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理的综合应用同步练习

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理的综合应用同步练习

学校:姓名：班级：学号：

一.选择题

1.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（sinB—s讥C）2=siMa—

sinBsinC,a=2百，6=2,贝必ABC的面积为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

2.有一长为10zn的斜坡，倾斜角为75。，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡

面的方法将它的倾斜角改为30。，则坡底要延长的长度（单位：M）是（）

A.5B.10C.10V2D.10V3

3.某人在C点测得某塔在南偏西80。方向上,塔顶A的仰角为45。,此人沿南偏东40。方

向前进10zn到Z）,测得塔顶A的仰角为30。，则塔高为（）

A.15mB.5mC.10mD.12m

4.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A,S但不能到达，

、、、、、」;

现在岸边取相距4km的C,。两点，测得N4CB=75°,''、75；；J45；、

'泡5。3旃4

ZBCD=45°,/.ADC=30°,^ADB=45°（X,B,C,D在C4kmD

同一平面内），则两目标A,B间的距离为（）

A.—kmB.C.D.2V5km

333

5.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,23cos2&+cos24=0,

a=7,c=6,则6等于（）

A.10B.9C.8D.5

6.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000处

速度为900kzn",飞行员先看到山顶的俯角为30。，经过80s后又看到山顶的俯角

为75。，则山顶的海拔高度为（）

A.5000(73+l)mB.5000(73-l)mC.5000(3-V3)mD.5000(5-V3)m

7.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75。，30°,此时

气球的高度AD是60m，则河流的宽度3。是（）

A.240（73-l）mB.180（V2-l）mC.120（V3-l）mD.30（V3+l）m

8.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站4发现其北偏东45。方北],

向，距离20近海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，45。/^

又测得该货船位于观测站A东偏北火0°＜。＜45。）方向的C处，42卷一----

且cos。=[.已知A,C之间的距离为10海里，则该货船的速度

大小为（）

A.4座海里/小时B.3扇海里/小时

C.2夕海里/小时D.4泥海里/小时

9.在2L4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,B=45°,ShABC=2,则

△4BC外接圆的直径为（）

A.5B.4V3C.5V2D.6V2

10.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，

灯塔A在观察站C的南偏西40。,灯塔B在观察站C

的南偏东60。，则灯塔A在灯塔2的（）

A.北偏东10。B.北偏西10。

C.南偏东80。D.南偏西80。

11.如图，两座相距60m的建筑物AB,C。的高度分别

为20/”,50/71,8。为水平线，则从建筑物AB的顶

端A看建筑物CD的视角NC4D的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

12.如图，为测塔的高度，某人在与塔底A同一水

平线上的C点测得NACB=45°,再沿AC方向前行

20（旧—1）米到达D点，测得乙4DB=30。，则塔

高为（）

A.40百米B.20百米C40米D.20米

二.填空题

1

13.在A4BC中，已知a=3近，cosC=S^ABC=4百，则6=.

14.如图，为测量塔的高度，在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为0,

由C向塔前进30米后到达点D,测得塔顶的仰角为2仇再由。向塔前进10g米

后到达点E,测得塔顶的仰角为40,则塔高为米.

15.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知炉=ac且cosB=-.

4

(1)则白++的值为•

(2)设瓦I•就=|，则a+c的值为

16.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的

地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则B城市处于危险区内的时间

为小时.

17.如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶

C为测量观测点，从A点测得M点的仰角乙M4V=

60°,C点的仰角NC4B=45。，/.MAC=75°,从C

点测得NMC4=60。.已知山高BC=100m,则

MN=m.

18.在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知A4BC的面积为3咫,6-c=2,

COST!=-i则a的值为__________.

4

三.解答题

19.在A4BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，角C是钝角，且sMB=*

(I)求角C的值；

(11)若6=2,448。的面积为百，求c的值.

20.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在

坡角为15。的观礼台的某一列的正前方，从这一列

的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别

为60。和30。，第一排和最后一排的距离为10痣米（

如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，

若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗?

21.如图，经过村庄A有两条夹角为60。的公路AB,AC,

根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分

别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄4）,

要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.如何设计，使

得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄B

的距离最远）.

答案和解析

一.选择题

1.【答案】B

【解析】解：•・•(sinB—sinC)2=sin2i4—sinBsinC,

・••sin2i?+sin2c—IsinBsinC=sin2i4—sinBsinC,

・•.由正弦定理可得从+c2—2bc=a2—be,可得庐+c2—a2=be,

••・由余弦定理可得cosa="+c2-az=生=方由ae(o,7r),可得a=£

2bc2bc23

.dV3，

sinA=——2

a=2V3,b=2,

•••由正弦定理可得S讥B="好=型=工，由b<a，2为锐角，可得Be，

a2V32

7T

C=7i—A—B=-

2f

・•.△ABC的面积S=Iah=Ix2V3x2=2A/3.

故选：B.

由已知利用平方差公式，正弦定理，余弦定理可求cosA=p由4e(0,71),可得4=p

由正弦定理可得sinB=g由b<a,B为锐角,可得B=±利用三角形内角和定理可

26

求c=T，根据三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了平方差公式，正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积

公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查正弦定理的应用，考查三角形模型的构建,

属于中档题.

由题意画出图形，利用正弦定理求出坡底要延长的距离即可.

【解答】

解：由题意可知P4=10,^PAO=75°,

乙B=30°,乙BPA=45°,

如图：^PAB=180°-75°=105°,

由正弦定理与=飞

sm45sin30

可得43=卫等二=10夜.

2

即坡底要延长10夜孤

故选C.

3.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查解三角形的实际应用以及余弦定理的应用，属于中档题.

作出图形，设塔高为hm.在RtAAOC中，乙4CO=45。，则。C=。4=h.

在RtAAOD中，NAD。=30。，则OD=旧儿在△OCD中，运用余弦定理，建立力的方程,

解得//的值，即可得到答案.

【解答】

解：如图所示，设塔高为/17n.

在RN40C中，^ACO=45°,则。C=。2=h.

在RtAAOD中，ZXDO=30°,则0。=次儿

在AOCD中，ZOCD=120°,CD=10.

由余弦定理，得OD2=OC2+CD2-2OC-CDcos^OCD,

即（⑺/产=ft2+102-2/ix10xcosl20。，

所以/z2-5h-50=0

解得八=10或%=—5（舍）.

故选C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力

和转化思想，是中档题.

在ZL4CD中由正弦定理可求AD的值，在ABCD中由正弦定理可求8。的值，再在AABD中

由余弦定理可求A3的值.

【解答】

解：由已知，A4CD中，^ADC=30°,AACD=120°,可得々CAD=30。,

CDAD

由正弦定理，得

sinZ.CADsinNAC。

所以.AD=

sinZ.CAD

2

△BCD中，4CDB=75°,^BCD=45°,可得NCBD=60°,

CDBD

由正弦定理，得

sinZ.CBDsin/.BCD

,6

CQsinNBCD_4*E_凶

所以3。

siuZ.CBD^/33

△ABD中，由余弦定理，得

让=加+加一2的9.3〃即=48+卜2><4旧><竽/=拳

解得：4B=等,

则两目标A,2间的距离为史至km.

3

故选：B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由。与c的值，利用

余弦定理即可求出6的值.

【解答】

解：23cos2A+cos2A=23cos2a+2cos2A—1=0,

•1•cos2A=A为锐角，

A1

・••cosA=

又•・,a=7,c=6,

根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bc-cosA,

r12

49=b2+36-y&,

二解得：b=5或b=（舍去），

Z7—5.

故选o.

6.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，属于中档题.

根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理和直角三角形的边角关系，即可求出山顶的

海拔高度.

【解答】

解：如图，过点C作CD14B于点D

C

由题意知乙4=30°,4CBD=75",

1

则N4CB=45",AB=900X80X—=20(fcm).

.•.在AABC中，由正弦定理，得BC=10&(km).

CD1AD,

•••CD=BCsin/CBD=BCXsin75°=10V2sin75°=5+5V3(fcm).

山顶的海拔高度为[20-(5+5V3)]fcm=5000(3-V3)m.

故选C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题给出实际应用问题，求河流在8、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正

余弦定理解三角形的知识，属于中档题.

【解答】

解：如图，4DAB=15°,

•••tanl50=tan(45°-30°)=2-技

在RtAADB中，又4。=60,DB=AD-tanl5°=120-6073.

在RZA4DC中，ADAC=60°,AD=60,DC=AD-tan60°=60V3.

•••BC=DC-DB=60V3-(120-60V3)=120(73-l)(m),

•,・河流的宽度8c等于120(W-l)m.

故选C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查解三角形的应用，余弦定理的应用，属于中档题.

根据条件求出cosNBAC,以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键.

【解答】

4

解：vcos9=

sind=由题意得NBAC=45°-。，

即cosNBAC=cos(45°一。)=?x《+|)=皆，

•••AB=20V2>AC=10,

•••由余弦定理得BO?=AB2+AC2-2AB-ACcosAC,

即B(72=(20/)2+io2_2x20V2x10x苦=800+100-560=340,

即8c=V340=2V85,

设船速为x,

则六=2V85,

.­.x=4候(海里/小时)，

故选A.

9【答案】C

【解析】

【分析】本题考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于基

础题，先由三角形面积公式求得c=4a,由余弦定理求得b=5,利用正弦定理可得.

【解答】

解：■■■SAABC=2,

।ocsinf?2.

2

-xlxcx—=2,

22

・•・c=4V2.

*/b1=a2+c1-2accosB

：.b2=12+（4V2）2-2x1x4V2Xy=25,

—5.

设4ABC的外接圆半径为R.

一」U=2/?,

.-.27?=--=5^.

sin4o

故选c.

10.【答案】D

【解析】

【分析】本题考查解三角形的实际应用，解答此类题需要正确画出方位角.

根据图正确表示出方位角，即可求解.

【解答】解：由条件及题图可知，乙4=48=40。，

又「BCD=60°,所以NCBD=30°,所以NDBA=10°,

因此灯塔A在灯塔B南偏西80。.

11.【答案】B

【解析】

【分析】本题为解三角形的题目，考查利用余弦定理解三角形，题目基础.

首先分别求得=4000,AC2=4500,进而利用余弦定理求得cos/CAD的值，即可

求解.

【解答】

解:AD2=602+202=4000,

AC2=602+302=4500.

在△C4D中，由余弦定理，得cosNCAD=丝位空=叱，

2ADAC2

i^CAD=45°.

故选反

12.【答案】D

【解析】

【分析】本题为解三角形实际应用问题，题目基础.

首先设出关键量4B=%,在直角三角形中利用30。角的正切值求解即可.

【解答】

解：RtAABC中，设4B=x,

则由乙4cB=45°可知AC=x,

在RtAABD中，AD=x+20(V3-1),^ADB=30",

W^=tan30。，即日＞=遮,

解得％=20.

则塔高为20米.

故选D

13.【答案】2V3

【解析】

【分析】

此题考查了三角形面积公式，以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解本题的

关键，属于基础题.

由cosC的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式列出

关系式，把a,sinC以及已知面积代入求出6的值即可.

【解答】

-1

解：vA4BC中，cosC=

・••sinC=dl—cos2c=—?

3

a=3A/2,S^ABC=4B，

・••^absinC=4A/3,

即工x3&6x—=4A/3,

23

解得：b=2V3,

故答案为：2®

14.【答案】15

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理、解三角形的实际应用，属于中档题.

根据题意求出PE=DE=10V3,在三角形PDE中，由余弦定理得cos28=

2PDDE

求出1。1利用S讥4。=*即可求出结果.

3PE

【解答】

解：乙CPD=乙EDP-/.DCP=26-0=6,

•••PD=CD=30,乙DPE=4AEP-乙EDP=4。一2。=20,

•••PE=DE=10V3,

在三角形PDE中，由余弦定理得

Q_PD2+DE2-PE2_302+(10V3)2-(10V3)2V3

COSU=~尸—

2PDDE2X30X10732

由图可以2。为锐角，

“屋，

•••PA=PE-sin4d=10A/3x—=15.

2

故答案为15.

15.【答案】⑴手；(2)3

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题.

先求sinB=Jl-g)2=?，再有正弦定理得si/B=sinAsinC,切化弦得£+

1cosAcosC1

----------------।-------=------f•

tanCsinAsinCsinB'

由瓦I•就=I，得accosB=|,再利用余弦定理得(a+c)2=9,解得.

【解答】

解：(1)由cosB=|,BG(0,7F),得sinB=J1一(|了=，.

由匕2=ac及正弦定理，得siMB=sinAsinC.

1cosA,cosCsinCcosyi+cosCsinA

于是--------1--------二--------------------------------

tanZ+高sinAsinCsinZsinC

sin(i4+C)_sinB_1_4巾

sin2Bsin2BsinB7

(2)由瓦？-BC=|,有accosB=

CLC=2,

又由炉=ac及余弦定理，得小+c2-62=2accosB,

即Q2+c2-2=3,a2+2ac+c2=2ac+5,

得(a+c)2=9,

a+c=3.

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，设4P=x千米，根据余弦定理得出

PB2=AP2+AB2-2AP-AB-cosA,BPx2-40V2%+700=0,结合根与系数的关系

求出氏-％2|，即可求出结果.

【解答】

解：设A地东北方向上存在点尸到B的距离为30千米，设4P=x千米，

在ATIBP中，PB2=AP2+AB2-2AP-AB-cosA,

即3。2=%2+402-2x-40cos45°,得/_40V2x+700=0,

设方程一一40&x+700=0的两根为修，久2，

则刀1+x2=40V2,久2=700,

22=

故％—x2|=(%1+%2)—=400,即%—x2|20,

故2城市处于危险区内的时间为为=1(小时).

故答案为1.

17.【答案】150

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理，属于中档题.

在三角形4BC中，由正弦定理得」g=壬，解得M2=100^7〃，在三角形脑VA

sin60°sin45°

中，i=sin60°=可得山高MN的值.

【解答】

解：在三角形ABC中，AC=100V2m,

在三角形M4c中，悬；=解得MA=100Wm,

在三角形中，=sin60°=y,

故MN=150机，即山高MN为150M.

故答案为150.

18.【答案】8

【解析】

【分析】

本题主要考查利用余弦定理解三角形，首先通过siMa+cos2a=1,以及sinA为正数求

出sinA,再结合SMBC=3后，和b-c=2,求出b、c的值，从而解得答案，难度较

易，属于基础题.

【解答】

解：因为A4BC的面积为36,即沁inA=3«K,

由题意知b-c=2,

又siMa+cos2X=1.

故sin.A=，

4

联立解得b=6,c=4（负数舍去），

心+,2_,,21

由余弦定理，得CCKA;2-L,

2bc4

解得a=8（负数舍去）.

故答案为8.

19.【答案】解：（I）由sinB=白导2cs讥8=b,由正弦定理得：2smesinB=sinB,

所以sin8（2s讥C—1）=0,...（3分）

因为s讥BH0,

所