第12讲圆与圆的位置关系

第12讲圆与圆的位置关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.知识点1圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.考点一：判断圆与圆的位置关系例1.（多选）（2223高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（

）A．圆C的半径 B．点在圆C的内部C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交【答案】ACD【分析】把圆的方程化成标准形式，再逐项判断得解.【详解】圆，圆心，半径，对于A，圆C的半径，A正确；对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误；对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确；对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确.故选：ACD【变式11】（2324高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（

）A．相交 B．外离 C．外切 D．内含【答案】A【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系.【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部，在圆外部，故两圆一定相交.故选：A.【变式12】（2324高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为；，则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A.【变式13】（2223高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.【详解】的圆心为，半径为1，的圆心为，半径为1，可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B考点二：由圆与圆的位置关系求参数例2.（2324高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标.【答案】内切，公共点为【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，则两圆内切，联立，则，则公共点坐标为.【变式21】（多选）（2324高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（

）A． B．1 C．6 D．8【答案】ACD【分析】由条件可求两圆的圆心与半径，由圆心距为，可得，求解可判断结论.【详解】由，可得圆心为，半径分别为，由，可得，得圆心坐标，半径，则两圆圆心之间的距离为，又两圆有公共点则，解得.故选：ACD．【变式22】（2223高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是.【答案】【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值.【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径，圆化为标准方程为，圆心，半径，由两圆外切，有，即，解得.故答案为：【变式23】（2324高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是.【答案】【分析】将两个圆的方程化为标准形式，再根据两圆相交得到关于的不等式，解不等式即可.【详解】圆化为标准方程得，则圆心，半径，圆化为标准方程为，则圆心，半径，因为两圆相交，所以，即，解得.故答案为：.考点三：求两圆的交点坐标例3.（2324高二上·广东深圳·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为．（写出其中之一即可）【答案】或【分析】先求出圆的方程，再求A，B两点的坐标，最后求直线方程即可.【详解】易知，圆的半径平方为，故圆的方程为，两圆方程作差得，与联立得或不妨令，所以直线PA或PB的方程为或故答案为：或.【变式31】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积．【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为，圆标准方程为，得，半径为，所以到直线的距离为，线段的长度为，所以的面积为．故选：B.【变式32】（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为.【答案】【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解.【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则，设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得，则，解得，所以圆心为，半径，所以，所求圆的方程为.故答案为：.【变式33】（2324高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是．【答案】【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标.【详解】联立两圆方程，解得或，即可得这点的坐标为.故答案为：考点四：由圆的位置关系求圆的方程例4.（2223高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为.【答案】（或）【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解.【详解】法一：由，解得或者，所以圆与圆的交点分别为，则线段AB的垂直平分线的方程为.由，解得，所以所求圆的圆心坐标为，半径为，所以所求圆的方程为.法二：同法一求得，设所求圆的方程为，由，解得，所以所求圆的方程为.法三：设所求圆的方程为，其中，化简可得，圆心坐标为.又圆心在直线上，所以，解得，所以所求圆的方程为.故答案为：（或）【变式41】（2324高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圆系方程可求圆的方程.【详解】由题可先设出圆系方程：，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得，解得，所以圆的方程为：，故A正确.故选：A.【变式42】（2324高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．同理圆C与圆的公共弦是圆的直径设圆C的圆心为，半径为，则，所以，即，解得所以圆C的方程为．故选：A【变式43】（2324高二上·河南洛阳·期末）已知圆：．(1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程；(2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线；（2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可．【详解】（1）由圆：得圆心，半径，当直线斜率存在时，设：，即，所以，解得，所以切线为，即，当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，所以直线的方程为：或；（2）设，则，解得，；或，，故所求圆的方程为或.考点五：相交圆的公共弦方程例5.（多选）（2324高二上·广东东莞·期末）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（

）A．若，则圆和圆相离B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是C．若圆和圆外切，则D．若圆和圆内切，则【答案】BD【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，借助两圆的位置关系进行判断.【详解】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.对A：当时，，因为故两圆相交，故A错误；对B：当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确；对C：由两圆外切，得，故C错误；对D：由，故D正确.故选：BD【变式51】（2324高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可.【详解】两个圆的方程相减，得，故选：C【变式52】（2324高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为.【答案】【分析】将两圆方程作差，消去、项，可得出两圆公共弦所在直线的方程.【详解】将两圆方程作差可得，即.因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【变式53】（2324高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为.【答案】【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】圆：和圆：，两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意.故答案为：.考点六：两圆的公共弦长问题例6.（2324高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)求圆与圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解.（2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点，所以圆心在直线即直线上，所以，又，所以解得，所以圆的标准方程.（2）由（1）得圆的标准方程.又圆，两圆方程相减得公共弦方程为，所以圆心到公共弦的距离为，而圆的半径为，所以圆与圆的公共弦长为.【变式61】（2324高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.(1)求圆的方程；(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.【答案】(1)(2)和圆相交，理由见解析，【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解；（2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得：，所以圆的方程为：（2）由（1）得圆的标准方程为：.∴，，，∵所以圆和圆相交，设交点为A，B，直线AB方程为即：，所以到直线AB的距离所以.两圆公共弦的长.【变式62】（2324高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．(1)求圆的标准方程；(2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解，（2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解.【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为，由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值．圆心到直线的距离．即．．圆的方程为．（2）由圆：和圆：，由于两圆的圆心距为，故两圆相交，两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为．圆心到直线的距离为．弦长．【变式63】（2324高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，．(1)求两圆公共弦所在的直线方程；(2)求两圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解；（2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意两圆，方程相减得，，整理得，即两圆公共弦所在的直线方程为.（2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以两圆的公共弦长为.考点七：确定两圆公切线的条数例7.（2324高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案.【详解】根据题意：圆，，其圆心为，半径；圆，，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆外离，所以公切线条数有4条.故选：D..【变式71】（2324高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，故选：C【变式72】（2324高二上·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（

）A．1条 B．2条C．3条 D．4条【答案】B【分析】通过判断两圆位置关系确定公切线条数.【详解】圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为4，∴圆心距．由，可得两圆相交，∴两圆公切线有2条．故选：B.【变式73】（2324高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有条．【答案】2【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数.【详解】化成标准方程为，圆心，半径，化成标准方程为，圆心，半径，两圆圆心距离，，则两圆相交，因而公切线只有两条．故答案为：2．考点八：求圆的公切线方程例8.（2324高二上·广东广州·期中）已知圆，圆.(1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求两圆的公切线方程.【答案】(1)；(2)和【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可；（2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得.【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3，已知圆，圆，即，两圆方程相减可得公共弦直线方程为，所以点到的距离为，所以公共弦长为，故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为；（2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，由图象可知，有一条公切线为：，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，即，则点到此公切线的距离，解得，所以另一条公切线的方程为，即综上，两圆的公切线方程为和．【变式81】（2324高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为；与圆和圆都相切的直线的方程为.（只需写出一条直线的方程）【答案】（答案不唯一，或亦可）【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程.【详解】由，即，故圆的半径为，圆心坐标为，设直线与圆和圆都相切，若直线斜率不存在，设直线为，需有，解得，故符合要求；若直线斜率存在，设直线为，即，需有，两式相除得，故或，化简得或，由可得，故有或，化简得或，即或，则或，故该直线为或，即或，综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有：、、.故答案为：；（答案不唯一，或亦可）【变式82】（2324高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程.【答案】或（写一条即可）【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解.【详解】圆的圆心为，半径，化为标准方程得，圆心为，半径，如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为，直线的斜率为，直线方程为，联立解得，易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即，则，解得，则公切线的方程为，即.故答案为：或（写一条即可）【变式83】（2324高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.(1)求圆M的一般方程；(2)求圆M与圆O的公切线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.（2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可.【详解】（1）由题意设圆心为，，得，故圆心为，，圆M的标准方程为：，圆M的一般方程为：.（2）由于圆M和圆O的半径均为2，公切线与OM平行，则，设公切线方程为，则，得或，故公切线方程为或.考点九：根据两圆公切线的条数求参数（范围）例9.（2324高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为.【答案】/【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系，求得，结合基本不等式，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，因为有3条公切线，则两圆外切，则，即根据基本不等式可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.【变式91】（2324高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。【详解】根据题意可知，圆外离，，又．故选：D【变式92】（2324高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则.【答案】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得.【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，由可得，即该圆以为圆心，为半径，圆，圆心为，故有且，解得.故答案为：.【变式93】（2324高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，所以两圆相交，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.1．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，即，圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径，公共弦长．故选：B．2．（2324高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4，则PQ为直径的圆的方程为：.将两圆方程相减可得公共弦方程为：.则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：.故选：D3．（2324高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程.【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则，于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，，因此以为直径的圆方程为，圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，所以直线AB的方程为.故选：A4．（2324高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解.【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切，而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，又两圆圆心距离等于两圆半径和，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3，故选：C5．（多选）（2324高二上·安徽淮北·期末）已知圆与圆，则（

）A．两圆的圆心距为B．两圆的公切线有3条C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为D．两圆相交，且公共弦的长度为【答案】AC【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D.【详解】对于A，圆的圆心为，半径为与圆的圆心为，半径为，故两圆的圆心距为，A正确；对于B，由于，即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误；对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得，即公共弦所在的直线方程为，C正确；对于D，由B可知两圆相交，而，到直线的距离为，故两圆公共弦的长度为，D错误，故选：AC6．（多选）（2324高二上·江苏南京·期末）已知圆O：()与圆M：，则下列说法正确的有（）A．若，则两圆外切B．若，直