1.1.1集合（第1课时集合与元素）课件高一上学期数学

第1章集合与逻辑

集合第1课时集合与元素湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的归属关系.2.理解集合基本属性.3.在具体情境中,理解空集的含义.4.掌握集合的分类,熟练记忆常用数集的符号.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一集合与元素1.集合的概念在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或者集.给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素.2.元素与集合的关系

知识点关系概念记法读法元素与集合的归属关系属于S是一个集合,a是S的一个元素

不属于a不是S的元素

(或a

S,a⋷S)

a∈Sa属于Sa∉Sa不属于S名师点睛集合概念的理解(1)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(2)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等,即对象形式多样.过关自诊1.集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(

)D2.设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M之间有何关系?提示

3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8∉M.知识点二集合中元素的基本属性1.互异性:同一集合中的元素是互不相同的.2.确定性:集合中的元素是确定的.3.无序性:集合中的元素没有顺序.名师点睛对集合中元素的基本属性的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能成为集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的属性.过关自诊1.判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)不超过36的非负数;(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;(3)某校2023年在校的所有成绩好的同学;(4)π的近似值的全体.解

(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合.(2)能构成集合.(3)“成绩好”无明确的标准,因此不能构成一个集合.(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值,所以不能构成集合.2.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.解

因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.知识点三常见数集及其表示名称自然数集整数集有理数集实数集符号

NZQR过关自诊用符号“∈”或“∉”填空.∈∉∈∉∈知识点四集合的分类1.有限集:元素个数

的集合.

2.无限集:元素

的集合.

3.空集:没有元素的集合叫空集,记作

;空集也是有限集.

过关自诊方程5x2+2=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?有限无限多⌀提示

该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0,即为空集.重难探究·能力素养速提升探究点一集合中元素的确定性

解

(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)能,因为大于0的整数是确定的.规律方法

集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象,我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.变式训练1下列各组对象不能构成集合的是(

)A.某教室内的全部桌子B.2024年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数B解析

“某教室内的全部桌子”属于确定的概念,故能构成集合;由于“难题”属于不确定的概念,因此“2024年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.探究点二集合中元素的互异性【例2】

已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.解

由题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.变式探究(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a满足的条件.(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.解

(1)由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.(2)若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.规律方法

集合中元素的互异性同一集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.探究点三元素与集合的关系【例3】

已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.解

由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,故x≠-1;规律方法

解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入,检验是否满足集合中元素的互异性.变式训练2用符号“∈”和“∉”填空.∈∈∉学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练1234567891011121.(多选题)下列每组对象,能构成集合的是(

)A.中国各地最美的乡村B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.一切很大的数D.清华大学2023年入学的全体学生BD解析

中国各地最美的乡村,无法确定集合中的元素,故A不正确;一切很大的数,无法确定集合中的元素,故C不正确;根据集合中元素的确定性可知,B,D都能构成集合.故选BD.1234567891011122.下列元素与集合的关系判断正确的是(

)A.0∈N

B.π∈QC.∈Q D.-1∉Z

A解析

0是自然数,π,是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可知,只有A正确.1234567891011123.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数解为元素构成集合M,则M中元素的个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4C解析

由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.1234567891011124.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m为(

)A.2 B.3C.0或3 D.0或2或3B解析

由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.1234567891011125.有下列说法:①N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是(

)A.0 B.1C.2 D.3A解析

N中最小的数为0,所以①错误;由-(-2)∈N,而-2∉N可知②错误;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错误;“小的正数”没有明确的标准,所以④错误.故选A.1234567891011126.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有

个元素.

91234567891011127.有下列说法:①N与N+是同一个集合;②N中的元素都是Z中的元素;③Q中的元素都是Z中的元素;④Q中的元素都是R中的元素,其中正确的有

.(填序号)

②④解析

因为N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.1234567891011128.设x∈R,A表示由3,x,x2-2x构成的集合.(1)求元素x应满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x的值.解

(1)由集合中元素的互异性,可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,解得x≠-1,x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.经检验知,当x=-2时三个元素符合互异性.故x=-2.123456789101112B级关键能力提升练9.已知x∈R,由x,-x,|x|,所组成的集合最多含有元素的个数是(

)A.2 B.3 C.4 D.5A12345678910111210.(多选题)已知集合A中有3个元素2