2024年全国一卷数学新高考题型细分S13圆锥曲线单选填空5双曲线（中档中上）

2024年全国一卷新高考题型细分S13——圆锥曲线单选填空5双曲线（中档、中上）试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。《圆锥曲线——单选填空》题目分类有：椭圆（易~中档），双曲线（易~中档），抛物线（易~中档），其他等，大概251道题。双曲线（中档）：（2024年粤J137梅州二模）8．已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（8．C【分析】设,，，把恒是锐角转化为，将向量坐标化可得恒成立，利用二次函数性质分类讨论可得．【详解】由题意可得，所以，设,，，则，，由恒是锐角，得，又，8．C【分析】设,，，把恒是锐角转化为，将向量坐标化可得恒成立，利用二次函数性质分类讨论可得．【详解】由题意可得，所以，设,，，则，，由恒是锐角，得，又，，不等式可化为：，整理得：，记，要使恒成立，由二次函数性质可知，当，即时，，解得；当或，即或时，，解得，综上，.又点N与双曲线顶点不重合，所以，所以的取值范围为.故选：C．（2024年浙J38绍兴四月适）8．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（8．B【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设，由且轴，所以，所以，从而，即，设点，且它在双曲线上，，即，其中8．B【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设，由且轴，所以，所以，从而，即，设点，且它在双曲线上，，即，其中，，从而，.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解.（2024年粤J128深圳二模）14．已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为14．【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可.【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.设的内心为14．【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可.【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.

根据三角形内心的性质可知，，又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，所以，即，因为，所以，所以，所以点在双曲线的左支上，所以.而，所以，所以为双曲线的左顶点.所以，所以，即，所以，渐近线的倾斜角为，所以两条渐近线的夹角为.又因为，所以，而，所以.故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.（2024年湘J51师附二模）8．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（

8．D【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点，由切线长定理和的对称性，可设.由，可得.在中，由余弦定理，.于是根据椭圆和双曲线的定义，.接下来确定的取值范围.设，在中，，于是由余弦定理，，整理得，于是，故，又因为在内单调递增，可知8．D【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点，由切线长定理和的对称性，可设.由，可得.在中，由余弦定理，.于是根据椭圆和双曲线的定义，.接下来确定的取值范围.设，在中，，于是由余弦定理，，整理得，于是，故，又因为在内单调递增，可知，可得，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．（2024年鲁J38济宁三模）8．已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（

8．C【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，8．C【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.（2024年鄂J22黄石二中三模）8．已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（8．D【分析】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解.【详解】因为为双曲线上的动点，所以，则，，联立，消得，因为，且，所以直线是双曲线的切线，切点为，双曲线的渐近线方程为，联立，解得，所以8．D【分析】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解.【详解】因为为双曲线上的动点，所以，则，，联立，消得，因为，且，所以直线是双曲线的切线，切点为，双曲线的渐近线方程为，联立，解得，所以点的坐标为，联立，解得，所以点的坐标为，所以线段的中点为，双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故，则（当且仅当时取等号），由题意可得直线的斜率大于零或不存在，故，当且仅当为右顶点时取等号，所以，所以的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：证明线是双曲线的切线，线段的中点为，是解决本题的关键.（2024年湘J02邵阳一联，末）16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为【答案】【解析】【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为．结合椭圆与双曲线的定义得，，,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，由基本不等式求解即可.【答案】【解析】【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为．结合椭圆与双曲线的定义得，，,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，由基本不等式求解即可.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为：.不妨设点为第一象限的交点，由题意知：，则，由余弦定理得：，所以.当且仅当时取等号，..故答案为：.（2024年苏J09徐州适应，末）14.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于点P，坐标原点O到直线的距离为，的面积为，则C的离心率为【答案】或【解析】【分析】先根据面积关系求出，设，垂足为，在中求出，再在中利用余弦定理求出，进而可得离心率.【详解】，【答案】或【解析】【分析】先根据面积关系求出，设，垂足为，在中求出，再在中利用余弦定理求出，进而可得离心率.【详解】，，又，所以，，又到直线的距离为，所以，得，由双曲线定义得，设，垂足为，如图：则，，则在中，，，在中，由余弦定理可得，即，又，整理得，解得或，则离心率或.故答案为：或.（2024年湘J27长沙一中适应，末）8.已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（【答案】D【解析】【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.【详解】设双曲线焦距为，则、，不妨设渐近线的方程为，如图：因为直线与直线垂直，则直线的方程为，联立可得【答案】D【解析】【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.【详解】设双曲线焦距为，则、，不妨设渐近线的方程为，如图：因为直线与直线垂直，则直线的方程为，联立可得，即点，所以，，因为，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故该双曲线的渐近线方程为.故选：D.（2024年湘J26衡阳八中）7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，设内切圆圆心为I，连接，如图所示，，，即，为等边三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解.（2024年冀J11衡水一模，末）14.已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过作x轴的垂线交C于点P﹒于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为_【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得，，，设，，由得【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得，，，设，，由得，，解得，即，，又，∴，，代入得，因为故解得，故答案为：．（2024年粤J07六校联考）7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，设内切圆圆心为I，连接，如图所示，，，即，为等边三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解.（2024年湘J06雅礼一模，末）8.已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即，又T在上，则，即，解得，，由，故，即距离之和为.故选：A.【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.（2024年闽J06某市期末，末）16.设是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，________；记，则实数a的取值范围为【答案】①②.【解析】【分析】以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设，根据已知得，即可得，，应用两点距离公式求；根据确定【答案】①②.【解析】【分析】以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设，根据已知得，即可得，，应用两点距离公式求；根据确定P的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围．【详解】以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设，则，所以，则，当时，，即，所以，即，可得（负值舍），则，故；若，结合双曲线定义知：P在以A，B为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为，即，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线有交点，即双曲线的渐近线和曲线有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于，所以，故，所以实数a的取值范围为．故答案为：；．【点睛】关键点睛：本题空1的关键是设，从而得到，再结合得到，空2的关键是利用双曲线的定义得到其方程，再联立，解出即可.（2024年湘J04师大附中，末）8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（【答案】A【解析】【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，【答案】A【解析】【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值.（2024年鲁J07淄博一模，末）8.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（【答案】A【解析】【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，则在中，由余弦定理得，，化简得【答案】A【解析】【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值.（2024年鲁J05日照一模，末）8.过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（【答案】C【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】由双曲线方程可知：，可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为【答案】C【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】由双曲线方程可知：，可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为（即），半径为．连接，，，，则，可得，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.（2024年粤J25深圳一调，末）8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（【答案】D【解析】【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，所以，由双曲线定义可得，所以，在中，由余弦定理得，在【答案】D【解析】【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，所以，由双曲线定义可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，设，则，由得，解得，所以，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解.（2024年鲁J04青岛一适，末）8.已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（【答案】A【解析】【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程.【详解】由，可得，而，可知点在的平分线上.圆，圆心为原点，半径，连接，延长【答案】A【解析】【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程.【详解】由，可得，而，可知点在的平分线上.圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，因为且，所以，且为中点，，因此，，点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，可知，由，得，故，双曲线方程为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线.（2024年苏J03南通联考）7.已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（【答案】C【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果．【详解】不妨设椭圆的方程为：，双曲线方程为，因为，为椭圆与双曲线公共的焦点，所以；由椭圆的定义知：，两边平方得：，中，设，由余弦定理得：，所以，即【答案】C【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果．【详解】不妨设椭圆的方程为：，双曲线方程为，因为，为椭圆与双曲线公共的焦点，所以；由椭圆的定义知：，两边平方得：，中，设，由余弦定理得：，所以，即；由双曲线的定义知：，两边平方得：，在中，由余弦定理得：，所以，即；所以，即；因为，所以，即，所以，所以，解得，由于，所以．故选：C．（2024年鄂J11四月模拟，末）14.双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为【答案】2【解析】【分析】先根据几何关系证明点必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.【详解】记与渐近线的交点为，根据题意，作图如下：【答案】2【解析】【分析】先根据几何关系证明点必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.【详解】记与渐近线的交点为，根据题意，作图如下：，，故；则在△中，设，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦点到直线的距离，即，又，故，则在圆上，即与圆相切；显然，则，又，又，故可得，根据对称性，，故，故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点；此时显然有，故双曲线离心率为.故答案：2.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够与渐近线垂直，以及，确定点的位置，进而求解离心率.（2024年闽J02厦门二检）6.设，分别是双曲线（，）的左右焦点，