第15讲指数函数

第15讲：指数函数【考点归纳】考点一、指数函数的概念考点二、求指数函数的解析式、函数值考点三、指数函数的图象及应用考点四、指数型函数的定义域和值域考点五、指数型函数的单调性求参数考点六、比较大小考点七、简单的指数不等式的解法考点八、指数函数的应用考点九、指数函数的最值问题考点十、指数函数的综合【知识梳理】知识点一指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．知识点四指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．【例题详解】题型一、指数函数的概念1．（2023高一·江苏）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数，不是指数函数．综上，指数函数的个数为1，故选：B.2．（2324高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的定义，即可证明.【详解】由已知得，即得.故选：C3．（2223高三上·江苏常州）若p：函数是指数函数，，则q是p的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．题型二、求指数函数的解析式、函数值4．（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可.【详解】，故选：A.5．（2324高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．，且【答案】B【分析】根据指数函数的知识求得正确答案.【详解】由指数函数的概念，得且，解得．故选：B6．（2324高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则．【答案】/【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可.【详解】设指数函数且，过点，，解得：，，.故答案为：.题型三、指数函数的图象及应用7．（2324高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的性质判断函数图象【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确，故选：D．8．（2324高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再由及当时函数值的特征判断即可.【详解】函数的定义域为且，故为偶函数，函数图象关于轴对称，因为，故排除C、D；当时，故排除A.故选：B9．（2324高三上·湖南·阶段练习）函数的图象大致为（

）A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，当时，，排除选项B，故选：D题型四、指数型函数的定义域和值域10．（2324高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可.【详解】解：函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为故选：C11．（2324高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由，则，所以的值域为.故选：C12．（2324高一上·河北·阶段练习）已知，（）的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分情况讨论时，时，及时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式.【详解】若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域满足，则，解得；若，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域，满足，成立；若，当时，在上单调递增，此时，则，又不成立，所以此时不成立；综上所述：，故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是对进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可.题型五、指数型函数的单调性求参数13．（2324高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A14．（2324高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.【详解】易知，显然在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，所以.故选：A15．（2324高一上·福建漳州·期末）若函数是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案.【详解】当时，单调递增，且；当时，，，函数单调递增，且，解得；当时，，，.函数单调递增，则，解得；同理可得：当时，，，函数单调递增，且，解得；综上所述：.故选：B.题型六、比较大小16．（2324高一下·安徽）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的单调性判断，根据的单调性判断，进而得到答案.【详解】因为在第一象限为增函数，，所以，因为在第一象限为增函数，，所以，所以，故选：B.17．（2324高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数性质判断即可.【详解】因为在R上单调递增，所以，因为在R上单调递减，所以，所以，即.故选：B.18．（2324高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（

）A．，， B．，，C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性即可结合函数图象求解ABD，利用作差法可得,进而得，即可求解C.【详解】由于函数在区间上是减函数，在为增函数，由于，而，因此，，无法确定正负，如故，AB错误，D正确，由于，则，故，当且仅当时等号成立，又因为不等于0，则等号无法取到，因此，又，所以，由于，，在为增函数，因此故,故C错误，故选：D．题型七、简单的指数不等式的解法19．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简集合，由交集的概念即可求解.【详解】因为集合，，所以.故选：D20．（2324高一上·江苏无锡·期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.【详解】函数为上的奇函数，当时，，则当时，，有，显然，不等式转化或，解得或，所以不等式的解集为.故选：C21．（2324高一上·广东潮州·期末）已知函数，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，解之即可.【详解】因为函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，则不等式等价于，因为函数、在上均为增函数，当时，单调递增，所以，，可得，解得，故原不等式的解集为.故选：A.题型八、指数函数的应用22．（2324高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果.【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍，即，即，即，再过周后该植物的长度为.因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍.故选：C.23．（2324高一上·重庆云阳·阶段练习）第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】B【分析】计算出4次后，容器中的纯酒精小于，得到答案.【详解】进行1次后，容器中的纯酒精为；进行2次后，容器中的纯酒精为；进行3次后，容器中的纯酒精为；进行4次后，容器中的纯酒精为．故连续进行4次后，容器中的纯酒精不足．故选：B24．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据指数式的运算求解.【详解】由题可知，，所以，经过天，数量变为原来的16倍，即，则有，解得，故选:C.题型九、指数函数的最值问题25．（2223高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果.【详解】当时，单调递减，则，当时，单调递减，则，所以当时，，所以，因为在上单调递增，所以，因为对任意的，总存在使得成立，所以，所以，解得，故选：C26．（2223高一上·安徽合肥·期中）已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”，分别讨论和，得到关于的不等式，即可求解出结果．【详解】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”当时，在上单调递增，此时，在处取得最小值，即，解得，故；当时，，即，解得，故．综上，实数的取值范围是．故选：C27．（2122高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题等价于，使得，利用函数的单调性求出最大值即可求解.【详解】解：，使得，等价于，，由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，又在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.题型十、指数函数的综合28．（2324高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明.【答案】(1)(2)是偶函数，证明见解析【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解；（2）由偶函数定义即可判断并得证.【详解】（1）函数是指数函数，且，，可得或舍去，（2）是偶函数

,证明如下：，，，是偶函数．29．（2324高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可；（2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒成立，再利用分离参数法求解即可.【详解】（1）当时，，，令，因为，则，所以，其中，则时，，时，，即，所以的值域为；（2）由，，设，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，因为对任意，存在，使得，则，所以，在上恒成立，令，因为，则，即在上恒成立，则在上恒成立，因为函数在上单调递增，故，所以，即．【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是转化为，在上恒成立.30．（2324高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求在上的解析式；(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用奇函数的性质求得，从而得解；（2）利用奇函数的性质，结合对称性即可得解；（3）将不等式转化为恒成立问题，再利用指数函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，又当时，＝，所以，解得，所以.（2）由（1）得，当时，，当时，，所以，又，所以在上的解析式为.（3）因为当时，，所以由，得，整理得，令，根据指数函数单调性可得是减函数，所以，所以，故实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：（1）若函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则在上单调递增；（2）若函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，则在上单调递减；【专项训练】一、单选题31．（2324高一下·青海海东）已知函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案.【详解】由题意可知，所以，故选：C.32．（2324高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，故排除B,C,当时，且，排除A.故选：D.33．（2324高一下·上海·期中）已知a、，，则下列不等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质即可求解ABC，根据指数函数的单调性即可求解D.【详解】对于A，由于，所以，A正确，对于B，由，则，故B正确，对于C，，满足，但，故C不一定成立，对于D，由于为单调递减函数，所以，则，D正确，故选：C34．（2324高一上·浙江杭州·期末）设函数.若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照从内到外的原则，先计算的值，再代入，即可求出的值.【详解】由于函数，且，则，且，所以，即，得.故选：B.35．（2324高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知不等式化为，结合函数在上单调性，即可判断各选项的正误.【详解】由题意得原不等式可化为，因，所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，．于是且，于是，，，故选：D．36．（2324高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的值域，进而根据高斯函数定义求解即可.【详解】，因为，所以，所以，即，所以，即，所以.故选：C37．（2324高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.【详解】当时，，无论取何值，均符合题意；当时，，只需，解得或；当时，，由题中条件可得，只需对于恒成立，当时，不符合题意；当时，图象为开口向上的抛物线，不能满足对恒成立，不符合题意；当时，的2个根为，需满足，结合，可得，综合上述可知的取值范围是，故选：B.38．（2324高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得.【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的偶函数，当时，，函数在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，因此在上单调递增，而不等式，于是，两边平方得，解得，所以所求不等式的解集为.故选：B二、多选题39．（2324高一上·安徽淮南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．是奇函数C．是偶函数D．对任意的，【答案】CD【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确；B：因为，所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确；C：由上可以确定本选项正确；D：，当时，，而，于是有，当时，，而，于是有，综上所述：对任意的，，因此本选项正确，故选：CD40．（2324高一上·江苏常州·期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据图象的性质可得：，即可求解.【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限，根据图象的性质可得：，即，故选：BD.41．（2324高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可.【详解】当时，单调递增，其值域为，当时，单调递增，其值域为，由题意的值域为，所以，所以，记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：

因为，所以，又因为，所以，所以，要使，则，因为，所以，因为，所以，所以，结合选项可知，实数的值可以是，.故选：BD42．（2324高一上·湖北荆州·期末）已知函数，则（

）A．不关于原点对称B．C．在上单调递减D．的解集为【答案】AC【分析】先求出函数定义域检验选项A；代入求出检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D．【详解】由，得，即定义域为，不关于原点对称，故A正确；因为，，所以，B错误；当时，，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故C正确．对于D，由B知图象关于对称，所以在区间上单调递减，所以在区间和上单调递减．又时，，所以，时，．①当，即时，由得，解得，即；②当时，不等式组无解，不合题意；③当，即时，，，不合题意；④当，即时，，，符合题意．综上所述，的解集为,,，D错误．故选：AC．【点睛】函数图象常见对称性：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称.三、填空题43．（2324高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是.【答案】【分析】将原不等式转化为，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，，又指数函数在R上单调递增，所以，解得，即原不等式的解集为.故答案为：44．（2324高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则.【答案】1【分析】根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案.【详解】由题意知函数的图象经过定点，故,解得,故,故答案为；145．（2324高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数．【答案】【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值.【详解】设，则，可得，即函数的定义域为，则，即，即，解得.故答案为：.46．（2324高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可.【详解】因为，①得，又和分别为偶函数和奇函数，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，设，则只需，易知在上为增函数，，所以，故答案为：.四、解答题47．（2324高一上·上海·假期作业）已知函数，其中.(1)求，并计算的值；(2)作出该函数的图象，并求函数的值域.【答案】(1)；0；(2)作图见解析，【分析】（1）直接代入式子计算、即可；（2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象.【详解】（1），；（2）由（1）知，，，所以为奇函数，图象关于原点对称，且，为增函数，因为，所以，得函数的值域为.的图象如下图，48．（2324高一上·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数．(1)求的定义域及实数a的值；(2)用单调性定义判定的单调性．【答案】(1)定义域为，(2)在、上单调递减【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得；（2）借助函数单调性的定义作差判断即可得.【详解】（1）由：，得，所以的定义域为，因为是奇函数，则，即，即，所以，则，所以；（2），，则，当时，，，，则，即，所以在上单调递减，当，，，，则，即，所以在上单调递减，故在、上单调递减.49．（2324高一上·安徽宿州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点．(1)求实数，的值并指出的