§5.3　第3课时　公式的综合应用

第3课时公式的综合应用第五章§5.3诱导公式1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明.学习目标同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一～六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为α＋k·(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”.导语随堂演练课时对点练一、利用诱导公式证明恒等式二、诱导公式在实际问题中的应用三、三角函数的综合应用内容索引一、利用诱导公式证明恒等式∴原等式成立.反思感悟

三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.∴原等式成立.二、诱导公式在实际问题中的应用问题1三角形中其中一个角与另外两角和是什么关系？提示互补.问题2直角三角形中，两锐角是什么关系？提示互余.解因为A＋B＋C＝π，所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，所以△ABC为等腰三角形.反思感悟

利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值.跟踪训练2在△ABC中，下列各表达式为常数的是

√解析在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sinC＝2sinC，不为常数；B项，cos(B＋C)－cosA＝－2cosA，不为常数；三、三角函数的综合应用(1)求sin(α＋π)的值；∴5sinβ－5cosβ＋3tanβ反思感悟

用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(1)求m的值；解得m＝－6，m＝6(舍去).1.知识清单：(1)识记诱导公式.(2)三角形角的特点.(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明.2.方法归纳：公式法.3.常见误区：实际问题中角的范围.课堂小结随堂演练1.在△ABC中，cos(A＋B)的值等于

A.cosC

B.－cosCC.sinC

D.－sinC1234√解析由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC.12342.已知sin40°＝a，则cos130°等于√√1234123412344.计算：sin211°＋sin279°＝_____.1解析因为sin79°＝sin(90°－11°)＝cos11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.课时对点练1.sin75°＋cos195°的值为

基础巩固123456789101112131415√16解析sin75°＋cos195°＝sin(90°－15°)＋cos(180°＋15°)＝cos15°－cos15°＝0.123456789101112131415√162.已知角θ的终边过点(－3,4)，则cos(π－θ)等于解析因为角θ的终边过点(－3,4)，√12345678910111213141516123456789101112131415√165.设A，B，C为△ABC的三个内角，下列关系正确的是√解析在△ABC中，可得A＋B＋C＝π，则A＋B＝π－C，由cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，所以A不正确；由sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以B正确；由tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，所以C不正确；12345678910111213141516解析cos213°＝cos(180°＋33°)＝－cos33°6.若cos57°＝m，则cos213°等于√12345678910111213141516123456789101112131415167.若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2020)＝2，则f(2021)＝_____.－2解析∵f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝2，∴f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－2.1234567891011121314151612345678910111213141516所以等式成立.123456789101112131415161234567891011121314151611.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC综合运用√12345678910111213141516解析∵∠ABC＝108°，12345678910111213141516A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.x轴的负半轴上√12345678910111213141516√√∴|cosα|＝－cosα，∴cosα≤0，∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上.12345678910111213141516√所以tanx＝－3，14.计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于√解析∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是

A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和2√解析

∵sin(π－x)＝sinx，∴f(x)＝asinx＋bx＋c，则f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin1－b＋c，∴f(－1)＝－f(1)＋2c. ①把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；1234567891011