3.1.2　第1课时　函数的表示法

第1课时函数的表示法(1)第三章3.1.2函数的表示法一、函数的表示法问题结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？提示解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.例1

中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？解函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}.列表法可将函数表示为月饼数x123456钱数y61218243036图象法可将函数表示为反思感悟理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.跟踪训练1

已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).解用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示.用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示.x1234y－2－3－4－5二、函数的图象例2

作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；解当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分.如图所示.解当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝

的一部分.如图所示.解当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分.如图所示.(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2].反思感悟作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍.(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象.跟踪训练2

作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；解因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示.(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3].解y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示.三、求简单函数的值域例3

求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；解∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}.∴函数的值域为{3,5,7,9,11}.∴函数的值域为[1，＋∞).(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；解配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11].∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).反思感悟求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域.(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.(5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.解∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升.∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3].跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；1.知识清单：(1)函数的表示法.(2)函数的图象及其应用.(3)求函数的值域.2.方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法、数形结合法.3.常见误区：求函数值域时忽略函数的定义域.课堂小结随堂演练1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是A.R

B.(－∞，1)∪(1，＋∞)C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D.(－1,0)1234√解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞).12342.函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3}C.{y|－1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}√解析由对应关系y＝x2－2x得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}.12343.函数f(x)＝

(x∈R)的值域是A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1] D.(0,1)√解析因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，所以函数的值域为(0,1].12344.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝___.3x1≤x<222<x≤4f(x)123解析

∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为A.y＝2xB.y＝2x(x∈R)C.y＝2x(x∈{1,2,3，…})D.y＝2x(x∈{1,2,3,4})16√解析题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}.2.函数y＝－

的图象的大致形状是12345678910111213141516√123456789101112131415163.函数y＝

的值域为A.[－1，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，－1]解析由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以B正确.√123456789101112131415164.李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是√解析由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意.1234567891011121314155.(多选)已知函数f(x＋1)＝x2－3x，且f(a)＝－2，则a的值为A.3 B.2C.1 D.016解析由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3.√√123456789101112131415166.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有A.10个

B.9个

C.8个

D.4个√解析由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.123456789101112131415167.已知x∈Q时，f(x)＝1；x为无理数时，f(x)＝0，我们知道函数表示法有三种：①列表法，②图象法，③解析法，那么该函数y＝f(x)应用_____表示(填序号).③解析因为Q和无理数的元素无法具体表示，所以①列表法，②图象法都无法建立x和y之间的对应关系，所以不能表示函数y＝f(x).123456789101112131415168.试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数_________________________.y＝(x＋1)2(答解析函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同.案不唯一)123456789101112131415169.求下列函数的值域：故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).123456789101112131415161234567891011121314151610.某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.12345678910111213141516解

(1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为x012345y50403020100(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图.12345678910111213141516(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}.123456789101112131415综合运用1611.一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示.某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水.则正确论断的个数是A.0 B.1

C.2

D.3√12345678910111213141516解析由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错.1234567891011121314151612.已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是√12345678910111213141516解析由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈校长家距离不变，除D选项外，其余都不符合，故排除A，B，C.13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.12345678910111213141516x1234f(x)1313g(x)32322或4解析当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.123456789101112131415161234567891011121314151614.在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a<b时，a*b＝b2.