5.5.1　第3课时　两角和与差的正切公式

第3课时两角和与差的正切公式第五章

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切

公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.学习目标同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”.导语随堂演练课时对点练一、两角和与差的正切公式二、给值求值(角)三、两角和与差的正切公式的综合应用内容索引一、两角和与差的正切公式问题1请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.问题2同角三角函数中的商数关系是什么？问题3你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β).知识梳理1.两角和的正切公式2.两角差的正切公式√例1

(1)tan255°等于解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°√反思感悟

利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：跟踪训练1

化简求值：二、给值求值(角)问题4根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？提示T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)；√延伸探究

若本例条件不变，求tan(α＋β)的值.反思感悟(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.跟踪训练2

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小.∵α，β为锐角，三、两角和与差的正切公式的综合应用例3设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为A.－3 B.－1 C.1 D.3√解析由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，反思感悟

当化简的式子中出现“tanα±tanβ”与“tanα·tanβ”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.√√解析∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，1.知识清单：(1)两角和与差的正切公式的推导.(2)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：公式中加减符号易记错.课堂小结随堂演练√123412342.tanα＝2，tanβ＝3，则tan(α＋β)等于A.1 B.5 C.－1 D.－5√√123412341课时对点练A.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°基础巩固12345678910111213141516√√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanα·tanβ＝1－(tanα·tanβ－1)＋tanα·tanβ＝2.123456789101112131415√164.若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°等于解析∵28°＋32°＝60°，12345678910111213141516√12345678910111213141516√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161解析原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)8.化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值为____.＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.123456789101112131415169.化简：(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°).解(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44°＝2，同理可得(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)＝(1＋tan4°)(1＋tan41°)＝…＝2，故(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝223.12345678910111213141516(1)求tanα的值；1234567891011121314151612345678910111213141516综合运用√1234567891011121314151611.若tanα，tanβ是方程x2－2x－4＝0的两根，则tan(α＋β)等于解析∵tanα，tanβ是方程x2－2x－4＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝2，tanαtanβ＝－4，12345678910111213141516√解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是A.钝角三角形

B.锐角三角形C.直角三角形

D.无法确定√12345678910111213141516∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.1234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为a2，大正方形的面积为25a2，√解析由题意可知小正方形的边长为a，大正方形的边长为5a，12345678910111213141